抛物线练习题及答案

抛物线练习题及答案1．抛物线24yx上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A．1716B．1516C．78D．0B．提示：用抛物线的定义．2．已知两点M（－2，0），N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足|MN→|·|MP→|＋MN→·NP→=0，则动点P（x,y）的轨迹方程是（）A．y2=8xB．y2=－8xC．y2=4xD．y2=－4xB．提示：坐标代入．3．已知P是抛物线y=2x2+1上的动点，定点A（0，―1），点M分PA→所成的比为2，则点M的轨迹方程是（）A、y=6x2―31B、x=6y2－31C、y=3x2+31D、y=―3x2―1B．提示：用坐标转移法．4．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y2=23x上，另一个顶点在原点，则这个三角形的边长是．12．提示：有两个顶点关于x轴对称，进而得到直线的倾斜角是6和56．5．对正整数n，设抛物线xny)12(22，过)0,2(nP任作直线l交抛物线于nnBA,两点，则数列)1(2nOBOAnn的前n项和公式是．)1(nn．提示：求出数列的通项公式．6．焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x＋1截得的弦长为15，求抛物线的标准方程．解：y2=12x或y2=－4x．提示：设抛物线方程后，用韦达定理及弦长公式．7．定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求出点M的坐标．解：M（52,42）或（52,42）．提示：数形结合得到当且仅当AB过焦点时M到y轴距离最小．设出此时的直线方程，用弦长公式解得直线AB的斜率，并得到AB的坐标．8．在直角坐标系中，已知点0,2pF（p0）,设点F关于原点的对称点为B，以线段FA为直径的圆与y轴相切.（1）点A的轨迹C的方程；（2）PQ为过F点且平行于y轴的曲线C的弦，试判断PB与QB与曲线C的位置关系.21MM是曲线C的平行于y轴的任意一条弦，若直线FM1与BM2的交点为M，试证明点M在曲线C上．(1)解：设A（x,y），则22px2y)2px(22,化简得：y2=2px（2）由对称性知，PB和QB与曲线C的位置关系是一致的，由题设，不妨P（p,2p）而1)2p(2p0pkPB∴直线PB的方程为y=x+2p,代入y2=2px，消去y得到关于x的一元二次方程x2+px+4p2=0,=0∴直线PB和QB均与抛物线相切.（3）由题意设)t,p2t(M21，)t,p2t(M22，则直线FM1：)2px(2pp2tty2；直线BM2：)2px(2pp2tty2联立方程组解得M点坐标为23t2p(，)tp2，经检验，)2(2)(2322tpptp，∴点M在曲线C上．