圆图深度总结

阻抗匹配与史密斯(Smith)圆图:基本原理本文利用史密斯圆图作为RF阻抗匹配的设计指南。文中给出了反射系数、阻抗和导纳的作图范例，并用作图法设计了一个频率为60MHz的匹配网络。图中红色字体是自己加的，黑色为原文。实践证明：史密斯圆图仍然是计算传输线阻抗的基本工具。在处理RF系统的实际应用问题时，总会遇到一些非常困难的工作，对各部分级联电路的不同阻抗进行匹配就是其中之一。一般情况下，需要进行匹配的电路包括天线与低噪声放大器(LNA)之间的匹配、功率放大器输出(RFOUT)与天线之间的匹配、LNA/VCO输出与混频器输入之间的匹配。匹配的目的是为了保证信号或能量有效地从“信号源”传送到“负载”。在高频端，寄生元件(比如连线上的电感、板层之间的电容和导体的电阻)对匹配网络具有明显的、不可预知的影响。频率在数十兆赫兹以上时，理论计算和仿真已经远远不能满足要求，为了得到适当的最终结果，还必须考虑在实验室中进行的RF测试、并进行适当调谐。需要用计算值确定电路的结构类型和相应的目标元件值。有很多种阻抗匹配的方法，包括:计算机仿真:由于这类软件是为不同功能设计的而不只是用于阻抗匹配，所以使用起来比较复杂。设计者必须熟悉用正确的格式输入众多的数据。设计人员还需要具有从大量的输出结果中找到有用数据的技能。另外，除非计算机是专门为这个用途制造的，否则电路仿真软件不可能预装在计算机上。手工计算:这是一种极其繁琐的方法，因为需要用到较长(“几公里”)的计算公式、并且被处理的数据多为复数。经验:只有在RF领域工作过多年的人才能使用这种方法。总之，它只适合于资深的专家。史密斯圆图:本文要重点讨论的内容。本文的主要目的是复习史密斯圆图的结构和背景知识，并且总结它在实际中的应用方法。讨论的主题包括参数的实际范例，比如找出匹配网络元件的数值。当然，史密斯圆图不仅能够为我们找出最大功率传输的匹配网络，还能帮助设计者优化噪声系数，确定品质因数的影响以及进行稳定性分析。图1.阻抗和史密斯圆图基础基础知识在介绍史密斯圆图的使用之前，最好回顾一下RF环境下(大于100MHz)IC连线的电磁波传播现象。这对RS-485传输线、PA和天线之间的连接、LNA和下变频器/混频器之间的连接等应用都是有效的。大家都知道，要使信号源传送到负载的功率最大，信号源阻抗必须等于负载的共轭阻抗，即：Rs+jXs=RL-jXL图2.表达式Rs+jXs=RL-jXL的等效图在这个条件下，从信号源到负载传输的能量最大。另外，为有效传输功率，满足这个条件可以避免能量从负载反射到信号源，尤其是在诸如视频传输、RF或微波网络的高频应用环境更是如此。史密斯圆图史密斯圆图是由很多圆周交织在一起的一个图。正确的使用它，可以在不作任何计算的前提下得到一个表面上看非常复杂的系统的匹配阻抗，唯一需要作的就是沿着圆周线读取并跟踪数据。史密斯圆图是反射系数(伽马，以符号表示)的极座标图。反射系数也可以从数学上定义为单端口散射参数，即s11。史密斯圆图是通过验证阻抗匹配的负载产生的。这里我们不直接考虑阻抗，而是用反射系数L，反射系数可以反映负载的特性(如导纳、增益、跨导)，在处理RF频率的问题时，L更加有用。我们知道反射系数定义为反射波电压与入射波电压之比:图3.负载阻抗负载反射信号的强度取决于信号源阻抗与负载阻抗的失配程度。反射系数的表达式定义为：注意上面这个反射系数是负载端那一点的反射系数，当位置在Z0线上移动时，反射系数也要改变的，当Z0是无耗线时，反射系数模值不变相位变，当是有耗线时，大小和相位都变。由于阻抗是复数，反射系数也是复数。为了减少未知参数的数量，可以固化一个经常出现并且在应用中经常使用的参数。这里Zo(特性阻抗)通常为常数并且是实数，是常用的归一化标准值，如50、75、100和600。于是我们可以定义归一化的负载阻抗：据此，将反射系数的公式重新写为：从上式我们可以看到负载阻抗与其反射系数间的直接关系。但是这个关系式是一个复数，所以并不实用。我们可以把史密斯圆图当作上述方程的图形表示。为了建立圆图，方程必需重新整理以符合标准几何图形的形式(如圆或射线)。首先，由方程2.3求解出；并且令等式2.5的实部和虚部相等，得到两个独立的关系式：重新整理等式2.6，经过等式2.8至2.13得到最终的方程2.14。这个方程是在复平面(r,i)上、圆的参数方程(x-a)2+(y-b)2=R2，它以(r/r+1,0)为圆心，半径为1/1+r.更多细节参见图4a。图4a.圆周上的点表示具有相同实部的阻抗。例如，r＝1的圆，以(0.5,0)为圆心，半径为0.5。它包含了代表反射零点的原点(0,0)(负载与特性阻抗相匹配）。Fr和Fi和r，x是圆的关系，不是直接关系，当Fr，Fi取某个值时，要依据2个圆相交轨迹，查出r和x，所以不是直接对应的关系，不能搞混淆了。注意r不是圆的半径，圆的半径是r的函数。图中表的0和1，都是F的标度，不是r的；同样，在电抗圆里，也是同样的，别混淆。图中上半部分x为正数，为感性；下半部分x为负数，为容性。ZL/Z0=r+jx半径为1的圆，代表反射系数的模值为1，因为反射系数定义为反射电压/入射电压，比值为1时，说明全部都反射了，所以是全反射，即全反射圆。但从上面圆的公式里看到，半径为1的圆，r=0，即圆上任何一点，阻抗里都只有虚部，只有电抗。即说明，只有虚部的阻抗，能量会全反射。而且这个虚部包括了所有的虚部情况。本来(Fr，Fi)的位置应该由2个圆相交来定，所以不应该在上面的这个单组圆系里讨论某个点代表的物理意义，但是下面这几个特殊情况可以讨论一下:短路只有一个点，最左侧的点；注意没有短路圆。最左侧的点，F=(ZL-Z0)/(ZL+Z0)=-1，推导出ZL=0，短路。由ZL=0也能推导出F=-1，即最左侧的点。怎样理解射频里ZL=0，短路？ZL=0就一定是短路吗？开路也只有一个点，最右边这个点(1，0)。最右侧的点，F=(ZL-Z0)/(ZL+Z0)=1，推导出ZL=无穷大，开路。由ZL=无穷大也能推导出F=1，即最右侧点。但从圆的方程式看，当r=无穷大时，圆的半径变成0，圆变成点(1，0)；即说明r=无穷大（阻抗实部无穷大）和ZL=无穷大（阻抗无穷大）是等效的。没有开路圆，因为开路时，圆缩成一个点了。注意没有开路圆。开路，短路各自是一个点，都在全反射圆上，都是全反射的一种，说明全反射不光只有短路和开路，只要是纯电抗，都全反射。注意(1,0)这个特殊的点，所有圆周都经过这个点，从电阻圆方程看出，不管r是多大，即和r无关，包括全反射圆，所有不同实部r的圆和开路点，都要经过这个点。这个从上面圆的方程里能推导出来，但上面也推导出了这个点代表开路。那为啥所有不同实部r的圆都要经过开路点，在物理上怎么解释？不同实部的圆相交，有啥物理意义？分析1：虽然不同实部的圆都要经过开路点（1,0），但是经过这个点和由r=无穷大确定这个点是有区别的，经过这个点的圆，它的实部是确定的，有限大小的；但是由r=无穷大确定这个点是，实质上这个点代表一个圆，只是因为半径趋于0，所以缩成一个点。所以说，尽管所有不同实部r的圆都要经过开路点（1,0），但不是说这些圆都代表开路，相反，这些圆都不开路，其实部都是有限大小的。分析2：圆图里的任何一个阻抗点，都是由一个实部圆和一个虚部圆相交共同确定，所以某个实部圆只能确定阻抗的电阻部分，而不能确定虚部，而且任一个实部圆，包括了所有可能的电抗，那么自然的，也包括虚部无穷大的点，即开路点。所以所有实部圆都要经过开路点。同理，所有虚部圆也都要经过开路点。在作史密斯电阻圆图时，有一些需要注意的问题。下面是最重要的几个方面：所有的圆周只有一个相同的，唯一的交点(1,0)。代表0、也就是没有电阻(r=0)的圆是最大的圆。无限大的电阻对应的圆退化为一个点(1,0)实际中没有负的电阻，如果出现负阻值，有可能产生振荡。选择一个对应于新电阻值的圆周就等于选择了一个新的电阻。作图经过等式2.15至2.18的变换，2.7式可以推导出另一个参数方程，方程2.19。同样，2.19也是在复平面(r,i)上的圆的参数方程(x-a)2+(y-b)2=R2,它的圆心为(1,1/x)，半径1/x。更多细节参见图4b。图4b.圆周上的点表示具有相同虚部x的阻抗。例如，x=1的圆以(1,1)为圆心，半径为1。所有的圆(x为常数)都包括点(1,0)。与实部圆周不同的是，x既可以是正数也可以是负数。这说明复平面下半部是其上半部的镜像。所有圆的圆心都在一条经过横轴上1点的垂直线上。因为Zload/Z0=r+jx，一般Z0=50，所以r，x也反应了Zload的实部和虚部的大小，也就是负载阻抗的大小。所有圆都经过(1，0)这个点。x可以很小，所以圆的半径可以无穷大。x可以为负数，所以有2组对称的圆。当x无穷大时，圆的半径无穷小，成为(1，0)这个点。注意(1，0)这个点，前面分析了：它代表唯一的开路点，并且r=无穷大（阻抗实部无穷大）和ZL=无穷大（阻抗无穷大）是等效的，都是开路。这里又有：当x无穷大时，圆的半径无穷小，成为(1，0)这个开路点。所以(1，0)这个点，可以理解r=无穷大或者x无穷大或者ZL=无穷大，都代表开路点。注意(1,0)这个特殊的点，所有电抗圆都经过这个点，从电抗圆方程看出，不管x是多大，即和x无关，都要经过这个点。那为啥这个开路点，在所有的圆上呢？即所有不同虚部的圆，都经过它。这个怎么理解？分析：虽然不同虚部的圆都要经过开路点（1,0），但是经过这个点和由x=无穷大确定这个点是有区别的，经过这个点的圆，它的虚部是确定的，有限大小的；但是由x=无穷大确定这个点是，实质上这个点代表一个圆，只是因为半径趋于0，所以缩成一个点。所以说，尽管所有不同虚部x的圆都要经过开路点（1,0），但不是说这些圆都代表开路，相反，这些圆都不开路，其虚部x都是有限大小的。只有当x=无穷大时，这个点代表一个圆，只是因为半径趋于0，所以缩成一个点。不同虚部的圆都要经过这个点，因为这个点同时代表了实部等于无穷大的开路圆，而任何一个虚部圆，和所有实部圆都有交点，即包括了所有实部的情况，当然也包括实部等于无穷大的情况，所以不同虚部的圆都要经过这个点。完成圆图为了完成史密斯圆图，我们将两簇圆周放在一起。可以发现一簇圆周的所有圆会与另一簇圆周的所有圆相交。若已知阻抗为r+jx，只需要找到对应于r和x的两个圆周的交点就可以得到相应的反射系数。可互换性上述过程是可逆的，如果已知反射系数，可以找到两个圆周的交点从而读取相应的r和x的值。过程如下：确定阻抗在史密斯圆图上的对应点找到与此阻抗对应的反射系数()已知特性阻抗和，找出阻抗将阻抗转换为导纳找出等效的阻抗找出与反射系数对应的元件值(尤其是匹配网络的元件，见图7)推论因为史密斯圆图是一种基于图形的解法，所得结果的精确度直接依赖于图形的精度。下面是一个用史密斯圆图表示的RF应用实例：例:已知特性阻抗为50，负载阻抗如下：Z1=100+j50Z2=75-j100Z3=j200Z4=150Z5=(开路)Z6=0(短路)Z7=50Z8=184-j900对上面的值进行归一化并标示在圆图中(见图5)：z1=2+jz2=1.5-j2z3=j4z4=3z5=8z6=0z7=1z8=3.68-j18S图5.史密斯圆图上的点现在可以通过图5的圆图直接解出反射系数。画出阻抗点(等阻抗圆和等电抗圆的交点)，只要读出它们在直角坐标水平轴和垂直轴上的投影，就得到了反射系数的实部r和虚部i(见图6)。该范例中可能存在八种情况，在图6所示史密斯圆图上可以直接得到对应的反射系数：1=0.4+0.2j2=0.51-0.4j3=0.875+0.48j4=0.55=16=-17=08=0.96-0.1j图6.从X-Y轴直接读出反射系数的实部和虚部圆图的另一种理解，把左边的归一化阻抗直角坐标，捏成右边的F复平面上圆用导纳表示史密斯圆图是用阻抗(电阻和电抗)建立的。一旦作出了史密斯圆图，就可以用它分析串联和并