常微分方程试题库试卷库2

常微分方程期终考试试卷(1)一、填空题（30%）1、方程(,)(,)0MxydxNxydy有只含x的积分因子的充要条件是（）。有只含y的积分因子的充要条件是______________。２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。４、若12(),(),,()nXtXtXt为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。５、形如___________________的方程称为欧拉方程。６、若()t和()t都是'()xAtx的基解矩阵，则()t和()t具有的关系是_____________________________。７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。二、计算题（６０％）1、3()0ydxxydy２、sincos2xxtt３、若2114A试求方程组xAx的解12(),(0)t并求expAt４、32()480dydyxyydxdx５、求方程2dyxydx经过（0，0）的第三次近似解6.求1,5dxdyxyxydtdt的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（１０％）１、n阶齐线性方程一定存在n个线性无关解。常微分方程期终试卷(2)一、填空题30%1、形如____________的方程，称为变量分离方程，这里.)().(yxf分别为x.y的连续函数。2、形如_____________的方程，称为伯努利方程，这里xxQxP为)().(的连续函数.n，可化为线性方程。是常数。引入变量变换1.03、如果存在常数使得不等式,0L_____________对于所有称为利普希兹常数。都成立，（LRyxyx),(),,21函数),(yxf称为在R上关于y满足利普希兹条件。4、形如_____________-的方程，称为欧拉方程，这里是常数。,,21aa5、设是的基解矩阵，是)()(tAxxt)()(tfxtAx的某一解，则它的任一解可表为)(t_____________-。一、计算题40%1.求方程的通解。26xyxydxdy2.求程xyexydxdy的通解。3.求方程texxx25'6''的隐式解。4.求方程）的第三次近似解。、通过点（002yxdxdy二、证明题30%1.试验证t=122ttt是方程组x'=tt22102x,x=21xx，在任何不包含原点的区间abt上的基解矩阵。2.设t为方程x'=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明:t1(t0)=(t-t0)其中t0为某一值.常微分方程期终试卷(3)一.解下列方程(10%*8=80%)2.dxdy=6xy-x2y3.'y=22)12(yxy4.x'y=22yx+y6.{y-x(2x+2y)}dx-xdy=08.已知f(x)xdttf0)(=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。二．证明题(10%*2=20%)9.试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、N试同齐次函数，且xM+yN0,则)(1yNxM是该方程的一个积分因子。常微分方程期终试卷（4）一、填空题1、（）称为变量分离方程,它有积分因子()。２、当（）时，方程0),(),(dyyxNdxyxM称为恰当方程，或称全微分方程。３、函数),(yxf称为在矩形域Ｒ上关于y满足利普希兹条件，如果（）。４、对毕卡逼近序列，())()(1xxkk。５、解线性方程的常用方法有（）。６、若),,2,1)((nitXi为齐线性方程的n个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为（）。７、方程组xtAx)(（）。８、若)(t和)(t都是xtAx)(的基解矩阵，则)(t和)(t具有关系：（）。９、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部（）时，零解是稳定的，对应的奇点称为（）。１０、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时，则当（）时，零解是渐近稳定的，对应的奇点称为（）。当（）时，零解是不稳定的，对应的奇点称为（）。１１、若)(t是xtAx)(的基解矩阵，则xtAx)()(tf满足)(0tx的解（）。二、计算题求下列方程的通解。１、1sin4xedxdyy。２、1)(122dxdyy。３、求方程2yxdxdy通过)0,0(的第三次近似解。求解下列常系数线性方程。４、0xxx。５、texx。试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：６、5,!yxdtdyyxdtdx。三、证明题。１、１、设)(t为方程Axx（Ａ为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即))0(E，证明)(t)()(001ttt其中0t为某一值。常微分方程期终考试试卷（5）一．填空题（30分）1．)()(xQyxPdxdy称为一阶线性方程，它有积分因子dxxPe)(，其通解为_________。2．函数),(yxf称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件，如果_______。3．若)(x为毕卡逼近序列)(xn的极限，则有)()(xxn______。4．方程22yxdxdy定义在矩形域22,22:yxR上，则经过点（0，0）的解的存在区间是_______。5．函数组ttteee2,,的伏朗斯基行列式为_______。6．若),,2,1)((nitxi为齐线性方程的一个基本解组，)(tx为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为________。7．若)(t是xtAx)('的基解矩阵，则向量函数)(t=_______是)()('tfxtAx的满足初始条件0)(0t的解；向量函数)(t=_____是)()('tfxtAx的满足初始条件)(0t的解。8．若矩阵A具有n个线性无关的特征向量nvvv,,,21，它们对应的特征值分别为n,,21，那么矩阵)(t=______是常系数线性方程组Axx'的一个基解矩阵。9．满足_______的点),(**yx，称为驻定方程组。二．计算题（60分）10．求方程0)1(24322dyyxdxyx的通解。11．求方程0xedxdydxdy的通解。12．求初值问题0)1(22yyxdxdy1,11:yxR的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。13．求方程ttxx3sin9''的通解。14．试求方程组)('tfAxx的解).(t1)(,3421,11)0(tetfA15．试求线性方程组52,1972yxdtdyyxdtdx的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。三．证明题（10分）16．如果)(t是Axx'满足初始条件)(0t的解，那么)(exp)(0ttAt常微分方程期终考试试卷(6)三．填空题（共30分，9小题，10个空格，每格3分）。1、当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。2、________________称为齐次方程。3、求dxdy=f(x,y)满足00)(yx的解等价于求积分方程____________________的连续解。4、若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，则方程),(yxfdxdy的解y=),,(00yxx作为00,,yxx的函数在它的存在范围内是__________。5、若)(),...(),(321txtxtx为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。6、方程组xtAx)(/的_________________称之为xtAx)(/的一个基本解组。7、若)(t是常系数线性方程组Axx/的基解矩阵，则expAt=____________。8、满足___________________的点（**,yx），称为方程组的奇点。9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。二、计算题（共6小题，每题10分）。1、求解方程：dxdy=312yxyx2、2、解方程：(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=03、讨论方程23dxdy31y在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解4、求解常系数线性方程：texxxtcos32///5、试求方程组Axx/的一个基解矩阵，并计算3421,为其中AeAt6、试讨论方程组cydtdybyaxdtdx,（1）的奇点类型，其中a,b,c为常数，且ac0。三、证明题（共一题，满分10分）。试证：如果Axxt/）是（满足初始条件)(0t的解，那么)(t)(0ttAe常微分方程期终试卷(7)一、选择题1．n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．（A）n（B）n-1（C）n+1（D）n+22．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件．（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非充分3.方程21ddyxy过点)1,2(共有（）个解．（A）一（B）无数（C）两（D）三4．方程xxyxydd（）奇解．（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个5．方程yxydd的奇解是（）．（A）xy（B）1y（C）1y（D）0y二、计算题1.x'y=22yx+y2.tgydx-ctydy=03.0dd)2(yxxyx4.1ddxyxy5.0d)ln(d3yxyxxy三、求下列方程的通解或通积分1.)1(dd2yxxyy2.2)(ddxyxyxy3.xyxy2e3dd四．证明1.设)(1xy，)(2xy是方程0)()(yxqyxpy的解，且满足)(01xy=)(02xy=0，0)(1xy，这里)(),(xqxp在),(上连续，),(0x．试证明：存在常数C使得)(2xy=C)(1xy．2．在方程0)()(yxqyxpy中，已知)(xp，)(xq在),(上连续．求证：该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切．常微分方程期终试卷(8)一、填空（每空3分）1、称为一阶线性方程，它有积分因子，其通解为。2、函数),(yxf称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件，如果。3、若)(,),(),(21txtxtxn为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是。4、形如的方程称为欧拉方程。5、若)(t和)(t都是xtAx)('的基解矩阵，则)(t和)(t具有的关系：。6、若向量函数);(ytg在域R上，则方程组0000),;(),;(yyttytgdtdy的解存在且惟一。7、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部，零解是稳定的，对应的奇点称为。二、求下列方程的解1、0)4()3(2dyxydxxy（6分）2、dxyxxdyydx)(22（8分）3、22)'2()1'(yyy（8分）4、xyexydxdy（8分）5、texxx25'6''（6分）6、txx3sin1''（8分）7、'21''xx（8分）三、求方程