常微方程发展概况

动运是物质的固有属性。整个世界充满着物质有规律的运动。运动着的物质相互且以无限错综的关系联系着。数学是从量和形的侧面研究物质运动变化客观规律制约，且以无限错综的关系联系着。数学是从量和形的侧面研究物质运动变化客观规律的科学。由于物质运动的复杂性，人们经常遇到一些量对另外一些量的依存规律是未知的，对于所要求的依存规律——未知函数，往往能作出满足某种条件的关系式。这类关系式就叫做泛函方程，微分方程是泛函方程中重要的一种方程。按习惯性的说法，所谓微分方程，就是联系着自变量、未知函数及其导函数的关系式。仅含一个自变量的微方程称为常微分方程。常微分方程产生于人类的生产实践，它的雏型出现比微积分的发明还早。耐普尔(JohnNapier1550——1617)发明对数、伽利略（GalieoGalilei，1564——1642）研究自由落体运动，笛卡尔(Descartevs，1596——1650)在光学问题中由切线性质定出镜面的形状等，实际上都需要建立和求解微分方程。三百多年前在牛顿(Newton，1642一1727)和莱布尼兹(Leibnitz，1646—1716)奠定微积分的基本思想的同时，他们也正式提出了微分方程的概念。从十七世纪末到十八世纪，为与微积分和代数的发展水平相适中，当时常微分方程研究的中心问题是如何求出通解的表达式。伯努利一家对分离变量法和换元法，欧拉(LeonhardEuler，1707——1783)对降阶法积分因子法，求常系数齐次线性方程的通解，达朗贝尔(D.Allmbert，1717——1783)关于非齐次线性方程通解的迭加原理，拉格朗日(Lagrange，1736一1813)对齐次线性方程通解经常数变易法得出非齐次线性方程的特解，克莱洛(Clairaut，1713一1765)关于全微分方程的充要条件和奇解的概念，以及十九世纪末引进的算子方法和拉普拉斯(Lapace，1749—1827)变换，都是这方面的重大成就。欧拉还第一个考虑了一般常微分方程解的存在问题，提出了现时称为“歇拉折线法”的近似方法，这种方法尽管当时还未达到近代分析要求的严格性，但为以后对于解的存在性的严格证明和导数的计算提供重要的途径。到十八世纪末，常微分方程已发展成为一个重要的数学分支，成为当时工程技术、物理、力学等学科的基本工具之一。十九世纪初，由于生产发展对科学技术日益精密的要求和与之相应的数学各分支的迅猛发展，整个数学进入一个理论上的发展阶段。在微分方程模型建立过程中,平衡原理扮演着重要的角色.微分方程模型通常均是建立在平衡原理基础之上的.``平衡是我们在现实生活中随处可见的现象.如：物理学中的能量守恒和动量守恒等定律以及力的平衡等都是在描述物理中的一些平衡现象.再如考虑一段时间内（或一定范围内）物质的变化,容易发现这段时间内物质的改变量与它的增加量和减少量之差也处于平衡的状态,这种平衡规律称为物质平衡.所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理无疑应该是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题.作为例子,我们介绍著名的Malthus模型,它是最简单的生态学模型。给定一个种群,我们的目的是确定种群的数量是如何随着时间而发展变化的.为此,我们作出如下假设:模型假设:121()H初始种群规模已知00()xtx，种群数量非常大,世代互相重叠,因此种群的数量可以看作是连续变化的；221()H种群在空间分布均匀,没有迁入和迁出(或迁入和迁出平衡)；321()H种群的出生率和死亡率为常数,即不区分种群个体的大小、年龄、性别等.421()H环境资源是无限的.确定变量和参数:为了把问题转化为数学问题,我们首先确定建模中需要考虑的变量和参数:t:自变量，x(t):t时刻的种群密度,b:瞬时出生率,d:瞬时死亡率.模型的建立与求解:考查时间段[,]ttt(不失一般性,设0t),由物质平衡原理,在此时间段内种群的数量满足:tt时刻种群数量–t时刻种群数量=t内新出生个体数–t内死亡个体数,即()()()(),xttxtbxttdxtt亦即()()()(),xttxtbdxtt令0t，可得()()():()dxtbdxtrxtdt满足初始条件0(0)NN的解为()00().bdtrtxtxexe于是有0r，即bd，则有lim(),txt0r，即bd，则有0lim(),txtN0r，即bd，则有lim()0.txtMalthus模型的积分曲线()xt呈“J”字型,因而种群的指数增长又称为“J”型增长.常微分方程经典阶段：18世纪及其以前尽管在NapierJohn所创立的对数理论（讨论过微分方程的近似解）以及daVinciLeonardo的饿狼扑兔问题中都已涉及到微分方程的思想萌芽,但人们通常认为常微分方程的开端工作是由意大利科学家Galileo完成的.现在通常称为弹性理论这一领域中的问题促进了微分方程的研究.17世纪欧洲的建筑师们在建筑教堂和房屋时,需要考虑垂直梁和水平梁在外力作用下的变形,以及当外力撤销时梁的恢复程度,也就是梁的弹性问题.当时的建筑师们处理此类问题大多依赖于经验.Galileo从数学角度对梁的性态进行了研究,将研究成果记录在《关于两门新科学的对话》一书中,这些研究成果成为常微分方程开端.常微分方程解析理论阶段：19世纪19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段.作为微分方程向复数域的推广,微分方程解析理论是由Cauchy开创的.在Cauchy之后,重点转向大范围的研究。20世纪中期以后20世纪中期起，常微分方程的发展既深又广，进入了一个新的阶段，包括了四个方面的工作。第一是由于工程技术的需要而产生新型问题和新的分支。如：泛函微分方程、随机微分方程、分数阶微分方程、时标动力学方程等.第二是由于应用问题需要解析形式的解，虽然明知一般非线性问题得不到精确的解析形式的解，但退而要求给出近似的解析形式的解。这方面包括PLK（庞加莱-莱特希尔-郭永怀）方法、WKB（文策尔-克拉默斯-布里尤安）方法、КБМ（克雷洛夫-博格柳博夫-米特罗波利斯基）方法、多尺度法、匹配法、奇摄动法、区域分析法，等等；以及由于电子计算机的出现而产生的其他近似的解析形式的解的求法。第三是电子计算机的出现与发展对于常微分方程研究的推动及由此产生的成果。包括常微分方程的数值求解法（如“刚性”方程的求解），常微分方程的数值模拟，（如用于洛仑茨方程的定性研究），常微分方程中若干公式的机器推导(如中心焦点判定公式的机器推导)，等等。常微分方程由解析解难求而转到定性研究，当定性研究也困难时,又转而用计算机“强攻”,得出一定的数值模拟结果后，为定性研究提供了感性的新信息。这方面的发展正在兴起。第四是常微分方程理论本身向高维数、抽象化的方向发展。包括从普通空间常微分方程向抽象空间常微分方程发展，具体动力系统向抽象动力系统发展，实域定性理论向复域定性理论发展，二维平面上的一维积分曲线的研究向四维空间中二维积分曲面的研究发展等等。常微分方程在实际问题中有着广泛的应用.为了弄清楚一个实际系统随时间变化的规律,需要讨论微分方程解的各种性态.通常有三种主要方法:求方程的解析解(包括级数形式的解);求方程的数值解;对解的性态进行定性分析.三种方法各有特点和局限性,在ODEs的研究中,它们相互补充,相辅相成。