换元法在高中数学解题中的应用-高中数学解题方法

03、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法主要有：（1）局部换元。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。（2）三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x＋1x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α，α∈[0,2]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。（3）均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S2＋t，y＝S2－t等等。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t0和α∈[0,2]。一、方法简解：1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。2.设f(x2＋1)＝loga(4－x4)（a1），则f(x)的值域是_______________。3.已知数列{an}中，a1＝－1，an1·an＝an1－an，则数列通项an＝___________。4.设实数x、y满足x2＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。5.方程1313xx＝3的解是_______________。6.不等式log2(2x－1)·log2(2x1－2)〈2的解集是_______________。二、举例分析：例1.实数x、y满足4x2－5xy＋4y2＝5（①式），设S＝x2＋y2，求1Smax＋1Smin的值。（93年全国高中数学联赛题）例2．△ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，1cosA＋1cosC＝－2cosB，求cosAC2的值。（96年全国理）例3.设a0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a2的最大值和最小值。例4.设对所于有实数x，不等式x2log241()aa＋2xlog221aa＋log2()aa14220恒成立，求a的取值范围。（87年全国理）例5.已知sinθx＝cosθy，且cos22θx＋sin22θy＝10322()xy(②式)，求xy的值。例6.实数x、y满足()x192＋()y1162＝1，若x＋y－k0恒成立，求k的范围。三、巩固训练：1.已知f(x3)＝lgx(x0)，则f(4)的值为_____。A.2lg2B.13lg2C.23lg2D.23lg42.函数y＝(x＋1)4＋2的单调增区间是______。A.[-2,+∞)B.[-1,+∞)D.(-∞,+∞)C.(-∞,-1]y,,－22x3.设等差数列{an}的公差d＝12，且S100＝145，则a1＋a3＋a5＋……＋a99的值为_____。A.85B.72.5C.60D.52.54.已知x2＋4y2＝4x，则x＋y的范围是_________________。5.已知a≥0，b≥0，a＋b＝1，则a12＋b12的范围是____________。6.不等式xax＋32的解集是(4,b)，则a＝________，b＝_______。7.函数y＝2x＋x1的值域是________________。8.在等比数列{an}中，a1＋a2＋…＋a10＝2，a11＋a12＋…＋a30＝12，求a31＋a32＋…＋a60。9.实数m在什么范围内取值，对任意实数x，不等式sin2x＋2mcosx＋4m－10恒成立。10.已知矩形ABCD，顶点C(4,4)，A点在曲线x2＋y2＝2(x0,y0)上移动，且AB、AD始终平行x轴、y轴，求矩形ABCD的最小面积。yDCABOx