探究凸四边形的求积公式

=1=探究凸四边形的求积公式----扩展的婆罗摩笈多公式和海伦公式〖内容摘要〗若四边形ABCD（如图所示）边长分别为a、b、c、d，两对角线长分别为e、f，其夹角θ（θ＜90°），求四边形（四内角均小于180°的凸四边形）的面积表达式。任意四边形可分为凸四边形和凹四边形，任何凹四边形均可变换成一个凸四边形与一个平行四边形的组合(如图所示)，本文重点探索和研究凸四边形的面积表达式。1、〖扩展的婆罗摩笈多公式〗由三角形面积公式得：S四边形＝(1/2)adsinA+(1/2)bcsinCS2＝(1/4)(adsinA)2+(1/4)(bcsinC)2+(1/2)abcdsinAsinC＝(1/4)(a2d2+b2c2)-(1/4)(adcosA)2-(1/4)(bccosC)2+(1/2)abcdsinAsinC＝(1/4)(ad+bc)2-(1/4)2abcd-(1/4)(a2d2cos2A)-(1/4)(b2c2cos2C)+(1/2)abcdsinAsinC其中：因f2=a2+d2-2adcosA=b2+c2-2bccosC有：a2+d2-b2-c2=2adcosA-2bccosC(a2+d2-b2-c2)2=(2adcosA)2+(2bccosC)2-8abcdcosAcosC得：4(adcosA)2+4(bccosC)2=(a2+d2-b2-c2)2-8abcdcosAcosC代入时有:S2＝(1/4)(ad+bc)2-(1/16)(a2+d2-b2-c2)2-(1/4)2abcd-(1/2)abcdcosAcosC+(1/2)abcdsinAsinCS2＝(1/4)(ad+bc)2-(1/16)(a2+d2-b2-c2)2-(1/4)2abcd-(1/2)abcdcos(A+C)＝(1/16)｛〔4(ad+bc)2+(a2+d2-b2-c2)2〕｝-(1/2)abcd-(1/2)abcdcos(A+C)＝(1/16)｛〔4(ad+bc)2+(a2+d2-b2-c2)2〕｝-(1/2)abcd｛1-cos(A+C)｝＝(1/16)｛〔2(ad+bc)+(a2+d2-b2-c2)〕〔2(ad+bc)-(a2+d2-b2-c2)〕｝-abcdcos2〔(A+C)/2〕＝(1/16)｛〔(a+d)2-(b-c)2〕〔(b+c)2-(a-d)2〕｝-abcdcos2〔(A+C)/2〕=2=＝(1/16)｛〔(a+d)+(b-c)〕〔(a+d)-(b-c)〕〔(b+c)+(a-d)〕〔(b+c)-(a-d)〕｝-abcdcos2〔(A+C)/2〕令2p＝a+b+c+d，代入后化简:S2＝(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)–abcdcos2〔(A+C)/2〕S＝√｛(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)–abcdcos2〔(A+C)/2〕｝此为著名的扩展的婆罗摩笈多公式。2、〖基本形式的婆罗摩笈多公式〗婆罗摩笈多公式的最简单易记的形式，是圆内接四边形面积计算。若四边形ABCD为圆内接四边形时，则有cos〔(A+C)/2〕=0，则上面推导的面积公式为：S＝√｛(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcdcos〔(A+C)/2〕｝＝√｛(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)｝这就是著名的婆罗摩笈多公式。3、〖更特殊的情形----圆内外接四边形面积〗若圆O的圆内接四边形的四边长为a,b,c,d，且外切于圆C，则其面积为：证明：由于四边形内接于圆O，所以：其中p为半周长：又因为四边形外切圆C，所以：则：同理:，，综上：证毕。4、〖三角形面积的海伦公式〗海伦公式给出三角形的面积。它是婆罗摩笈多公式取d＝0的特殊情形。S＝√｛p(p-a)(p-b)(p-c)｝5、〖对角线e、f及其夹角为θ的四边形面积〗若四边形的对角线为e、f，对角线夹角为θ时，则四边形的面积S＝(1/2)efsinθ(此公式为四边形的其本面积公式之一)=3=解：S四边形＝(1/2)e1f1sinθ+(1/2)f1e2sinθ+(1/2)e2f2sinθ+(1/2)f2e1)sinθ＝(1/2)(e1f1+f1e2+e2f2+f2e1)sinθ＝(1/2)efsinθ〖特殊情形〗若四边形的两对角线相互垂直(sinθ＝1)时，四边形的面积可以表达为两对角线乘积一半。6、〖对角线夹角为θ的四边形面积〗若四边形的对角线夹角为θ时，则四边形的面积S＝(1/4)│(a2-b2+c2-d2)│tanθ证明：因：a2＝e12+f12-2e1f1cos(180°-θ)b2＝f12+e22-2f1e2cosθc2＝e22+f22-2e2f2cos(180°-θ)d2＝f22+e12-2f2e1cosθ得：a2-b2+b2-d2＝-2(e1f1+f1e2+e2f2+f2e1)cosθ又因：(1/2)(e1f1+f1e2+e2f2+f2e1)sinθ＝S四边形所以：S＝(1/4)│(a2-b2+c2-d2)│tanθ证毕。7、〖两对角线长为e、f的四边形面积〗若四边形的两对角线为e、f时，则四边形的(Bretschneide)面积公式：S＝(1/4)√｛4e2f2-(a2-b2+c2-d2)2｝(可视为海伦公式的推广)证明：因：a2＝e12+f12-2e1f1cos(180°-θ)b2＝f12+e22-2f1e2cosθc2＝e22+f22-2e2f2cos(180°-θ)d2＝f22+e12-2f2e1cosθ得：a2-b2+b2-d2＝-2(e1f1+f1e2+e2f2+f2e1)cosθ(a2-b2+b2-d2)2＝4(e1f1+f1e2+e2f2+f2e1)2cos2θ(a2-b2+b2-d2)2＝4(ef)2cos2θ(其中：因e1+e2＝e，f1+f2＝f)又因：S＝(1/2)efsinθ，S2＝(1/4)(ef)2sin2θ＝(1/4)(ef)2(1+cos2θ)得：S2＝(1/4)e2f2-(1/4)(ef)2cos2θ＝(1/4)e2f2-(1/4)2(a2-b2+b2-d2)2所以：S＝(1/4)√｛4e2f2-(a2-b2+c2-d2)2｝证毕。8、〖平行四边形的面积公式〗=4=若四边形为平行四边形，其边长分别为a、b（a≥b），两对角线的夹角为θ(θ＜90°)，且tan(θ/2)≤(b/a)时，则平行四边形的面积S＝(1/2)(a2-b2)tanθ。证明：因：四边形为平行四边形，则在〖命题6〗中，有c=a，d=b，所以：S＝(1/4)│(a2-b2+a2-b2)tanθ│＝(1/2)│(a2-b2│tanθ同时：由题意设两对角线分别为2x、2y，有：a2＝e2＋f2＋2efcosθ，b2＝x2＋y2－2xycosθ，xy＝(a2－b2)/(4cosθ)，x2＋y2＝(a2＋b2)/2得：x4－[(a2＋b2)/2]x2＋[(a2－b2)/(4cosθ)]2＝0依题意，方程的根判别式应大于等于零，即B2－4AC≥0故有：{－[(a2＋b2)/2]}2－4[(a2－b2)/(4cosθ)]2≥0，[(a2＋b2)2－[(a2－b2)2/cos2θ≥0（因a≥b，0＜α＜90。，有a2≥b2，cosθ＞0)进而得：(a2＋b2)≥(a2－b2)/cosθ，(1－cosθ)/(1＋cosθ)≤b2/a2，tan2(θ/2)≤b2/a2，tan(θ/2)≤b/a。证毕。9、〖两对角线夹角为θ的圆内接四边形面积〗若四边形ABCD为圆内接四边形，四边形的边长分别为a、b、c、d，求圆内接四边形的面积S和两对角线长度e、f，以及两对角线的夹角θ。解：在△ABC和△ADC中，应用余弦定理得：e2=a2+b2-2abcosB=c2+d2-2cdcosD因：四边形为圆内接四边形，有cosD=-cos(180°-B)=-cosB得：a2+b2-2abcosB=c2+d2+2cdcosB从而有：2cosB=(a2+b2-c2-d2)/(ab+cd)所以有：e2=a2+b2-2abcosA=a2+b2-〔ab(a2+b2-c2-d2)/(ab+cd)〕=〔ab(c2+d2)+cd(a2+b2)〕/(ab+cd)e=√｛〔ab(c2+d2)+cd(a2+b2)〕/(ab+cd)｝(伽罗瓦对角线)同理有：f=√｛〔bc(a2+d2)+ad(b2+c2)〕/(ad+bc)｝(伽罗瓦对角线)由四边形面积公式S=(1/2)efsinθ，得圆内接四边形面积：S=(1/2)√｛〔ab(c2+d2)+cd(a2+b2)〕/(ab+cd)｝=5=×√｛〔bc(a2+d2)+ad(b2+c2)〕/(ad+bc)｝×sinθ=(1/2)sinθ√｛〔ab(c2+d2)+cd(a2+b2)〕(ad+bc)/〔(ab+cd)(ad+bc)〕｝×√｛〔bc(a2+d2)+ad(b2+c2)〕(ab+cd)/〔(ad+bc)(ab+cd)〕｝化简得：S内接四边形=(1/2)(ac+bd)sinθ(亦可由托勒密定理ef=ac+bd直接推得)S内接四边形=(1/2)efsinθ=(1/2)(ac+bd)sinθ〖新命题〗圆内接四边形的两对角线夹角cosθ＝│(a2-b2+c2-d2)│/2(ac+bd)证明：在〖命题9〗中结合〖命题5〗，因S＝(1/4)│(a2-b2+c2-d2)│tanθ得：S内接四边形=(1/2)(ac+bd)sinθ＝(1/4)(a2-b2+c2-d2)tanθ从而有：cosθ＝│(a2-b2+c2-d2)│/2(ac+bd)圆内接四边形两对角线夹角：θ＝arccos｛│(a2-b2+c2-d2)│/2(ac+bd)｝。10、〖应用广义托勒密(Ptolemy)定理求四边形面积〗托勒密(Ptolemy)定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)。若：圆内接四边形ABCD，则：AC·BD=AB·CD+AD·BC．从而有〖命题9〗面积公式。(简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，得证)广义托勒密定理：若四边形ABCD边长分别为a、b、c、d，对角线长分别为e、f，则有：e2·f2=a2·c2+b2·d2-2abcd·cos(A+C)。若凸四边形则：AC·BD≤AB·CD+AD·BC。证明：参照〖命题1〗由三角形面积公式得：S四边形＝(1/2)adsinA+(1/2)bcsinCS2＝(1/4)(adsinA)2+(1/4)(bcsinC)2+(1/2)abcdsinAsinC＝(1/4)(a2d2+b2c2)-(1/4)(adcosA)2-(1/4)(bccosC)2+(1/2)abcdsinAsinC其中：因f2=a2+d2-2adcosA=b2+c2-2bccosC有：a2+d2-b2-c2=2adcosA-2bccosC得：4(adcosA)2+4(bccosC)2=(a2+d2-b2-c2)2+8abcdcosAcosCS2＝(1/4)(a2d2+b2c2)–(1/16)(a2+d2-b2-c2)2-2abcdcosAcosC+(1/2)abcdsinAsinCS2＝(1/4)(a2d2+b2c2)+(1/16)(a2+d2-b2-c2)2-(1/2)abcdcos(A+C)参照〖命题7〗依三角形余弦定理，得：a2＝e12+f12-2e1f1cos(180°-θ)=6=b2＝f12+e22-2f1e2cosθc2＝e22+f22-2e2f2cos(180°-θ)d2＝f22+e12-2f2e1cosθ得：a2-b2+b2-d2＝-2(e1f1+f1e2+e2f2+f2e1)cosθ＝-2efcosθ(a2-b2+b2-d2)2＝4(ef)2cos2θ又因：S＝(1/2)efsinθ，S2＝(1/4)(ef)2sin2θ＝(1/4)(ef)2(1+cos2θ)S2＝(1/4)e2f2-(1/4)2(a2-b2+b2-d2)2