探索学生数学思维障碍提高学生高考复习效率

1探索学生数学思维障碍提高学生高考复习效率江苏省江阴市成化高级中学张龙伍中学一级邮编：214423电话：[phone]内容提要：如何减轻学生高考数学复习的负担？如何提高我们高中数学复习教学的实效性？本文通过对高中学生数学思维障碍的成因及突破方法的探索，其目的是帮助学生突破数学思维障碍，提高复习效率。关键词：思维、数学思维、思维障碍思维是人脑对客观现实的概括和间接的反映，反映的是事物的本质及内部的规律性。所谓高中学生数学思维，是指学生在对高中数学感性认识的基础上，运用比较、分析、综合、归纳、演绎等思维的基本方法，理解并掌握高中数学内容而且能对具体的数学问题进行推论与判断，从而获得对高中数学知识本质和规律的认识能力。高中数学的数学思维虽然并非总等于解题，但我们可以这样讲，高中学生的数学思维的形成是建立在对高中数学基本概念、定理、公式理解的基础上的；发展高中学生数学思维最有效的方法是通过解决问题来实现的。然而，在学习高中数学过程中，我们经常听到学生反映上课听老师讲，听得很“明白”，但到自己解题时，总感到困难重重，无从入手；有时，在课堂上待我们把某一问题分析完时，常常看到学生拍脑袋：“唉，我怎么会想不到这样做呢？”事实上，有不少问题的解答，学生发生困难，并不是因为这些问题的解答太难以致学生无法解决，而是其思维形式或结果与具体问题的解决存在着差异，也就是说，此时，学生的数学思维存在着障碍。这种思维障碍，有的是来自于我们教学中的疏漏，而更多的则来自于学生自身，来自于学生中存在的非科学的知识结构和思维模式。因此，探索高中学生的数学思维障碍对于增强高中数学教学的针对性和实效性有十分重要的意义。一、学生数学思维障碍的形成原因根据布鲁纳的认识发展理论，学习本身是一种认识过程，在这个课程中，个体的学习总是要通过已知的内部认知结构，对“从外到内”的输入信息进行整理加工，以一种易于掌握的形式加以储存，也就是说学生能从原有的知识结构中提取最有效的旧知识来吸纳新知识，即找到新旧知识的“媒介点”，这样，新旧知识在学生的头脑中发生积极的相互作用和联系，导致原有知识结构的不断分化和重新组合，使学生获得新知识。但是这个过程并非总是一次性成功的。一方面，如果在教学过程中，教师不顾学生的实际情况（即基础）或不能觉察到学生的思维困难之处，而是任由教师按自己的思路或知识逻辑进行灌输式教学，则到学生自己去解决问题时往往会感到无所适从；另一方面，当新的知识与学生原有的知识结构不相符时或者新旧知识中间缺乏必要的“媒介点”时，这些新知识就会被排斥或经“校正”后吸收。因此，如果教师的教学脱离学生的实际；如果学生在学习高中数学过程中，其新旧数学知识不能顺利“交接”，那么这时就势必会造成学生对所学知识认知上的不足、理解上的偏颇，从而在解决具体问题时就会产生思维障碍，影响学生解题能力的提高。2二、高中数学思维障碍的具体表现由于高中数学思维障碍产生的原因不尽相同，作为主体的学生的思维习惯、方法也都有所区别，所以，高中数学思维障碍的表现各异，具体的可以概括为：1、数学思维的习惯性由于学生在复习数学的过程中，对一些数学概念或数学原理的发生、发展过程没有深刻的去理解，一般的学生仅仅停留在表象的概括水平上，不能脱离具体表象而形成抽象的概念，自然也无法摆脱局部事实的片面性而把握事物的本质。由此而产生的后果主要表现在以下几个方面：（1）学生在分析和解决数学问题时，往往只顺着事物的发展过程去思考问题，注重由因到果的思维习惯，不注重变换思维的方式，缺乏沿着多方面去探索解决问题的途径和方法。例如，在课堂上我曾要求学生做这样的一题：有4个数顺次成等差数列，把他们分别加上4，3，3，5得到4个数又顺次成等比数列，求原来的4个数。大部分的学生都是这样做的，设原来的4个数为：a-3d，a-d，a+d，a+3d.则由已知得：a-3d+4，a-d+3，a+d+3，a+3d+5成等比数列,得方程组)da)(da()da()da)(da()da(3433533322.此方程组对多数同学来讲，是比较难解的。为此我们不妨进行换位思考，即逆向思维。设成等比数列的4个数为：a，aq，aq2，aq3，故a-4，aq-3，aq2-3，aq3-5成等差数列。列方程组得)aq()a()aq()aq()aq()aq(34325332232.化简整理得12122122)qq(a)qq(aq.由上面两式相比可得q=2，a=1，所以原来的4个数为：-3，-1，1，3.（2）缺乏足够的抽象思维能力，学生往往善于处理一些直观的或熟悉的数学问题，而对那些不具体的、抽象的数学问题常常不能抓住其本质，转化为已知的数学模型或过程去分析解决。例：在复习函数的图象时，有这样的一道题：已知函数y=f(x-1)的图象，叙述作y=f(-x-2)的图象的过程。对于具体的函数题目大部分学生都会做，但这样的一般式不少学生就无从下手，成绩较好的学生也感到有点困惑，其主要原因是缺乏抽象思维能力，不能利用图象的变换来准确求解。2、数学思维的差异性由于每个学生的数学基础不尽相同，其思维方式也各有特点，因此不同的学生对于同一数学问题的认识、感受也不会完全相同，从而导致学生对数学知识理解的偏颇。这样，学生在解决数学问题时，一方面不大注意挖掘所研究问题中的隐含条件，抓不住问题中的确定条件，影响问题的解决；另一方面学生不知道用所学的数学概念、方法为依据进行分析推理，对一些问题中的结论缺乏多角度的分析和判断，缺乏对自我思维进程的调控，从而造成障碍。在复习函数对称性时，有这样一个题目：如函数y=f(x)满足f(2＋x)=f(2－x)对任意实数x都成立，证明函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称.对于这个问题，一些基础较好的同学可以理解，但中等成绩的学生就不大会做(主要反映过程写不清楚)，成绩较差的学生就不用说了，于是我就动员学生看书，在函数这一3章节中找相关的内容看，待看完奇、偶函数、反函数与原函数的图象对称性之后，学生也就能较顺利的解决这一问题了。然后告诉学生一般的结论：若f(a+x)=f(b-x),xR恒成立，则y=f(x)的图象关于x=2ba对称。并用课本上学的知识证明它。3、数学思维定势的消极性由于高三学生已经有相当丰富的解题经验，因此，有些学生往往对自己的某些想法深信不疑，很难使其放弃一些陈旧的解题经验，思维陷入僵化状态，不能根据新的问题的特点作出灵活的反应，常常阻抑更合理有效的思维甚至造成歪曲的认识。如：在复习抛物线的时候，有这样的一道题：动点P到直线x+y-4=0的距离等于它到点M（2，2）的距离，则点P的轨迹是（）A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线本题就有不少的学生选B.这是受抛物线的定义的影响,错误的认为它符合抛物线的定义,从而造成错误的认识.实际上忽略了抛物线中定点和定直线的位置关系,应选A.由此可见，学生数学思维障碍的形成，不仅不利于学生数学思维的进一步发展，而且也不利于学生解决数学问题能力的提高。所以，临近高考时在数学教学中注重突破学生的数学思维障碍就显得尤为重要。三、高中学生数学思维障碍的突破1、注重基础知识，培养复习信心。在复习中，教师必须着重了解和掌握学生的基础知识状况，要照顾到学生认知水平的个性差异，强调学生的主体意识，发展学生的主动精神，培养学生良好的意志品质；同时要培养学生学习数学的兴趣。兴趣是最好的老师，学生对数学学习有了兴趣，才能产生数学思维的兴奋灶，也就是更大程度地预防学生思维障碍的产生。教师可以帮助学生进一步明确学习的目的性，针对不同学生的实际情况，因材施教，分别给他们提出新的更高的奋斗目标，使学生有一种“跳一跳，就能摸到桃”的感觉，提高学生抓好高中数学复习的信心。例：二次函数中最大、最小值尤其是含参数的二次函数的最大、小值的求法学生普遍感到比较困难，为此我作了如下题型设计，对突破学生的这个难点问题有很大的帮助，而且在整个操作过程中，学生普遍（包括基础差的学生）情绪亢奋，思维始终保持活跃。设计如下：1〉求出下列函数在x∈[1，4]时的最大、最小值：(1)y=（x－2）2＋1，(2)y=（x＋2）2＋1，(3)y=（x－6）2＋32〉求函数y=x2－2tx＋t2＋2，x∈[1，4]时的最小值。3〉求函数y=x2－4x＋3，x∈[m，m＋3]的最小值。上述设计层层递进，每做完一题，适时指出解决这类问题的要点，大大地调动了学生学习的积极性，提高了课堂效率,巩固了复习效果。2、重视思想方法，提高数学意识。所谓数学基本思想方法，包含两层含义：一是中学数学应掌握的主要的4类数学思想：函数与方程思想、数形结合思想分类讨论思想、等价转化思想；二是应掌握的常用数学方法，如分析法、综合法、反证法、类比法、归纳法、代人法、4比较法、图象法、配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、向量法等。这些基本思想方法需要在复习中加以提炼和概括。数学意识是学生在解决数学问题时对自身行为的选择，它既不是对基础知识的具体应用，也不是对应用能力的评价，数学意识是指学生在面对数学问题时该做什么及怎么做，至于做得好坏，当属技能问题，有时一些技能问题不是学生不懂，而是不知怎么做才合理，有的学生面对数学问题，首先想到的是套那个公式，模仿那道做过的题目求解，对没见过或背景稍微陌生一点的题型便无从下手，无法解决，这是数学意识落后的表现。数学教学中，在强调基础知识的准确性、规范性、熟练程度的同时，我们应该加强数学意识教学，指导学生以意识带动双基，将数学意识渗透到具体问题之中。例：已知实数x、y满足1)3(2)1(222yxyx，则点P(x,y)所对应的轨迹为（）（A）圆(B)椭圆(C)双曲线(D)抛物线。在复习圆锥曲线时，我拿出这个问题后，学生一着手就简化方程，化简后得到的是含有xy项的二元二次方程，但按中学数学知识我们无法确定它的轨迹，学生们看不出结果就再找自己运算中的错误（怀疑自己算错），而不去仔细研究此式的结构。如果我们对基本解法进行换位思考，把原方程变形为2/1)3()1(22yxyx，进而可以看出其几何意义为点P（x,y）到点（1，3）及直线x＋y＋1=0的距离相等，又点（1，3）不在直线x＋y＋1=0上，从而由抛物线的定义可知其轨迹为抛物线，选D。这里对原方程的适当变形实际上是数学的转换意识在起作用。因此，在数学教学中只有加强数学意识的教学，如“因果转化意识”“类比转化意识”等的教学，才能使学生面对数学问题得心应手、从容作答。所以，提高学生的数学意识是突破学生数学思维障碍的一个重要环节。3、暴露思维框架，消除思维定势。在高中数学教学中，尤其在复习阶段，我们不仅仅是复习数学知识，培养学生的思维能力也应是我们的教学活动中相当重要的一部分。而诱导学生暴露其原有的思维框架，包括结论、例证、推论等对于突破学生的数学思维障碍会起到极其重要的作用。如在复习均值不等式的应用时，我列举了这样的一道例题：已知x0,y0且191yx，求x+y的最小值。这是一道常见的例子，但学生经过一番思索后，有两种答案：12与16。于是与学生进行了探讨。学生1：因为x0,y0,所以191yxxy92，于是xy6，从而x+y2xy2×6=12.故x+y的最小值为12。5学生2：∵x0,y0,191yx，∴x+y=(x+y)(yx91)=10+xy+yx910+2yxxy9=16∴当xy=yx9且191yx，即x=2且y=12时，x+y有最小值16。显然学生1的解法是错误的，主要是由于利用均值不等式解题时要注意条件：一正、二定、三相等。在多次利用均值不等式时要使每次取等号的条件相同，防止思维定势的消极作用的影响。于是在复习教学中，教师要采取一些有效的方法来使学生的错误观点暴露出来。例如，教师可以与学生谈谈心，可以用精心设计的诊断性题目，事先了解学生可能产生的错误想法，运用延迟评价的原则，即待所有学生的观点充分暴露后，再提出矛盾，以免暴露不完全，解决不彻底。有时也可