平面外一点在此平面内摄影的定位

平面外一点在此平面内射影的定位在此次实习中，我任教的年级是高二，内容是立体几何，其中点到平面的距离，直线与平面所成的角，二面角的大小，棱柱和棱锥体积的计算是学习的重点和难点，也是高考的热点。解决这几类问题通常都需要过一点引平面的垂线，而我在讲课、批改作业和答疑的过程中，发现学生在具体求解时，很难确定射影点的位置，导致整道题目无从下手。经过总结，我归纳出通常有两种方法可以确定一点在平面内射影的位置一．通过证明线面垂直这种方法通常先过这一点作平面内一条直线的垂线，然后再证明这条垂线就是平面的垂线那么要证明线面垂直，一般可以通过两种方法：1）直线与平面垂直的判定定理2）平面与平面垂直的性质定理（这两种方法都可以用来证明线面垂直，可以根据具体的题目选择方便的一种。）实际上这两种方法都用到的证明思路是：线线垂直线面垂直面面垂直已知：PA垂直于△ABC所在平面，∠ABC=90，PA=3，AB=3，BC=4求：二面角A－PC－B的大小【分析】要求二面角的大小，除了用射影面积法，其它的方法都要找到这个二面角的平面角，找二面角的平面角通常有三种方法，在这里用三垂线法，用三垂线法的关键是过其中一个半平面内的一点作另一个半平面的垂线。在此题中可过点A做平面PBC的垂线或过点B做平面PAC的垂线，就把问题的关键转化为找到射影点。解：过点A分别作AE⊥PB，AF⊥PC，交PB于点E，交PC于点F，连接EFPABPBCPABBCBCABBCPAABCPA平面平面平面平面AE⊥平面PBC（*这里就是先作平面内一直线的垂线，然后再证它是平面的垂线）根据三垂线定理的逆定理得EF⊥PC于是∠AFE是二面角A－PC－B的平面角在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，则AC=5，在Rt△PAB中，PA=3，AB=3，则AE=223在Rt△PAC中，PC=34，AF=3415，517sinAFAEAFECBPFEA二面角A－PC－B的大小是517arcsin通过这道例题我们可以了解运用这种方法的关键：先作一直线的垂线，然后再证明此垂线是平面的垂线。这种方法充分运用了立几中线线垂直、线面垂直和面面垂直之间的关系。二．某些特殊的结论在平时做的练习中有些特殊的结论可以直接确定一点在平面内的射影位置。1．过平面内的∠EAF顶点A的斜线AP与这个角的两条边AE、AF所成角相等，则斜线AP上的任意点在平面内的射影在∠EAF的角平分线上。（证明的过程省略，这是课本中的一个例题）运用这种方法，可以很快的判断出射影点的位置，特别是在解答填空和选择题的时候非常方便。例：正方体1111DCBAABCD中，若E，F分别为棱AB，11DC的中点，求直线11BA与平面ECFA1所成的角的大小【分析】这是此次实习中阶段考的最后一道填空题，得分的同学非常少。如果用了上面的结论，题目就变的非常简单，但是多数同学没有想到用这个结论，就很难确定1B点在平面ECFA1内射影的位置，整道题就无从下手，花了很多时间也不能解答。解：由于在正方体中，且E，F分别是棱AB，CD的中点所以得到直线11BA与FA1所成角和直线11BA与EA1所成角相等，运用上面的结论，就可以得到直线11BA在平面ECFA1的射影是∠EA1F的角平分线。由于四边形ECFA1是菱形，所以FEA1的角平分线就是CA1所在直线。所以直线11BA与平面ECFA1所成的角是CAB11，大小是33arccos2．例、P为△ABC所在平面外的一点，且PA、PB、PC与平面所成的角相等求证：P在平面内的射影是△ABC的外心。证明：过点P作PO⊥平面，O为垂足，连接AO，BO，CO∵Rt△POA，Rt△POB，Rt△POC中，由题设知∠PAO=∠PBO=∠PCO，PO为公共的直角边∴△POA=△POB=△POC∴AO=BO=CO∴点O是ABC的外心。DBαAFPCETAD1DFEBA1B1CC1COABP若已知PA=PB=PC，既P到ABC的距离相等，那么点P在平面内的射影是△ABC的外心。利用这个结论解题：△ABC的边长为5，12，13，P到三顶点的距离都是7，则点P到平面ABC的距离为多少？【分析】要求点P到平面的距离，就是求点P和点P在平面ABC内的射影之间的距离，那么就要确定点P在平面内的射影位置，由上面的例题，可知，P在平面内的射影是△ABC的外心解：∵PA=PB=PC∵P在平面内的射影是△ABC的外心又∵△ABC的边长为5，12，13∴△ABC是直角三角形，外心是直角三角形斜边AC的中点O∴点P到平面ABC的距离是线段PO的长度在Rt△PAO中，PO=22AOPA=25类似的，我们还能得到以下结论：P为△ABC所在平面外的一点，1）若P到直线AB，AC，BC的距离相等，那么点P在平面内的射影是△ABC的内心。2）若平面PAB，PBC，PCA与平面所成的二面角大小相等，那么点P在平面内的射影是△ABC的内心。3）若直线PA与BC，PC与AB互相垂直，那么点P在平面内的射影是△ABC的垂心。4）若直线PA，PB，PC两两互相垂直，那么点P在平面内的射影是△ABC的垂心。5）若平面PAB，平面PBC，平面PCA两两互相垂直，那么点P在平面内的射影是△ABC的垂心。有了上述这些结论，我们就可以很快的判断出某个点在某一平面内的射影的位置方便解题。如：设PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=3，PB=4，PC=6，求点P到平面ABC的距离（有了上面的结论，我们可以很快的判断出点P在平面ABC内的射影是的垂心，然后就能很快得到答案）以上就是我此次实习中根据学生们在实际解题中碰到的困难总结的一些心得，我觉得以上只是解题大致的方法，遇到具体的题目可以根据以上的方法巧妙解题。郑蕾数学与应用数学（1）班B99111129AOBPC