实验一线性连续定常系统模型

实验一线性连续定常系统模型一、实验目的1．掌握线性连续定常系统的状态空间模型，学会在MATLAB中建立系统状态空间表达式的方法。2．熟悉线性连续定常系统的状态空间表达式、传递函数等数学模型的相互转换，学会用MATLAB实现系统的模型转换。3．掌握线性连续定常系统的对角线标准形变换和约当标准形变换，学会用MATLAB进行线性变换。二、实验原理1．由传递函数建立状态空间表达式设线性连续定常系统的传递函数为11101110121210121210()()()nnnnnnnnnnnnnnnnnnbsbsbsbYsGsUssasasaNssssbbsasasassDs（1）NsDs只含有两两互异极点时的情况设Ds可分解为：12nDsspspsp则1()()()ninniiNscYsGsbbUsDssp若令状态变量为1()()iiXsUssp（1,2,,in），则1()()()niiniYscXsbUs因此，状态变量和输出满足以下关系：1,1,2,,iiiniinixpxuinycxbu将上式写成矩阵形式，可得系统的状态空间表达式为：111222121201101nnnnnnxpxxpxxpxxxycccbux（2）NsDs含有重极点时的情况例如Ds可分解为：314nDsspspsp则131112324111()ninniiYsNsccccGsbbUsDsspspspsp若令状态变量为1,3111()(),1,2,3()1,4,5,,iiiiXsUsispXsUsinsp则1,11,1,11,11,311,14,1,2,3,4,5,,iiiiiiiiniiiiniixpxxixpxuixpxuinycxcxbu，故系统状态空间表达式为：11111121121311344411121311121344101001101nnnnnnxpxxpxxpxuxpxxpxxxxycccccbuxx2．状态空间表达式转化为传递函数矩阵设线性连续定常系统的状态空间表达式为nnnrmnmrxAxBuyCxDu其中12nxxxx为n维状态变量，12ruuuu为r维输入变量，12myyyy为m维输出变量，nnA为nn维系统矩阵，nrB为nr维输入矩阵，mnC为mn维输出矩阵，mrD为mr维前馈矩阵。系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系如下：1112121222112()()()()()()(()()()()()()()rrmmmrGsGsGsGsGsGsnumsssdensGsGsGsG=CIABD其中，)(snum表示传递函数矩阵的分子阵，其维数是mr，)(sden表示传递函数阵的按s降幂排列的分母。3．对角线标准型变换对于线性连续定常系统xAxBuyCxDu，如果其系统矩阵A特征值12,,,n两两互异，则必存在非奇异变换矩阵P，通过变换xPx，可将原状态空间表达式转化为对角线标准型xAxBuyCxDu，满足121n0APAP0，1BPB，CCP，DD非奇异变换矩阵P由矩阵A的特征向量iv（1,2,,in）组成，即12nPvvv特征向量满足iiiAvv，其中1,2,,in4．约旦标准型变换对于线性连续定常系统xAxBuyCxDu，设其系统矩阵A具有m重特征值1，其余为nm个两两互异特征值12,,,mmn，并且在求解11iAvv时只有一个独立特征向量1v（即特征值1的几何重数为1），则必存在非奇异变换矩阵Q，通过变换x=Qx，可将原状态空间表达式转化为约旦标准型x=Ax+Buy=Cx+Du，满足1111121100mmnAQAQ，1BQB，CCQ，DD非奇异变换矩阵Q由矩阵A的广义特征向量()1iQ（1,2,,im）和特征向量jQ（1,2,,jmmn）组成，即(1)(2)()1111mmnQQQQQQ其中，广义特征向量()1iQ满足(1)11(2)(1)111()(1)111()()()mmIAQ0IAQQIAQQ，特征向量jQ满足jijAQQ（1,2,,jmmn）。5．MATLAB相关函数命令简介（1）传递函数模型tf()G=tf(num,den)：返回连续系统的传递函数模型，其中01bbbnumm为传递函数的分子多项式系数构成的行向量，011aadenn为分母多项式系数构成的行向量，即系统传递函数为11101110()mmmmnnnbsbsbsbGssasasa（2）零极点增益模型zpk()G=zpk(z,p,k)：返回连续系统的零极点增益模型，其中12mzzzz为传递函数的零点组成的行向量，12npppp为极点组成的行向量，k为系统增益，即系统传递函数为1212()mnkszszszGsspspsp（3）状态空间模型ss()sys=ss(A,B,C,D)：返回连续系统的状态空间模型，其中A为系统矩阵，B为输入矩阵，C为输出矩阵，D为前馈矩阵，即系统状态空间表达式为xAxBuyCxDu（4）系统模型相互转换tf2ss()、zp2ss()、ssdata()[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)：将传递函数转换为状态空间表达式；[A,B,C,D]=zp2ss(num,den)：将零极点形式传递函数转换为状态空间表达式；[A,B,C,D]=ssdata(sys)：由传递函数建立状态空间表达式。（5）矩阵的对角线标准型eig()[V,D]=eig(A)：返回矩阵的特征值和特征向量，其中对角线矩阵D为A的对角线标准型，其对角线上元素为A的各个特征值，矩阵V的每一列均为A的特征向量，满足AVVD（6）矩阵的约旦标准型jordan()[V,J]=eig(A)：返回矩阵的约旦标准型J和变换矩阵V，其中矩阵V的每一列均为A的（广义）特征向量，满足1JVAV三、实验内容1．线性连续定常系统的数学模型及其相互转换（1）已知某线性连续定常系统的传递函数为3223()251sGssssa．试建立该系统的TF模型或ZPK模型；b．将给定传递函数转换为状态空间表达式，并验证所得状态空间表达式是否正确。（2）已知某线性连续定常系统的传递函数为24()(1)(3)Gssssa．试建立该系统的TF模型和ZPK模型；b．分别利用ss()函数、tf2ss()函数和zp2ss()函数将所给传递函数转换为状态空间表达式，并比较这3种方法生成状态空间表达式是否相同。若不相同，试分析其原因。（3）已知某系统状态空间表达式为101111200200311101110xxuyx，试利用MATLAB方法求解该系统的传递函数矩阵。2．状态空间模型的线性变换及其标准型（1）已知某线性连续定常系统的状态方程为010000102302uxx，将此状态方程化为对角线标准型或约旦标准型。（2）已知某线性连续定常系统的状态空间表达式为01023110uyxxx，某非奇异变换阵为2003T，试确定经线性非奇异变换xTx后的系统状态空间表达式。并比较变换前后两系统的传递函数是否相同。