实验二Matlab求解数学问题2

实验二MATLAB求解数学问题2.1实验目的掌握MATLAB在大学数学问题中的基本应用，会使用MATLAB软件求解高等数学、线性代数和概率统计中的常见问题。2.2实验要求掌握MATLAB简单符号计算，学会使用MATLAB函数进行简单的符号运算，会使用MATLAB求极限、积分、微分方程运算，会使用MATLAB求解线性方程组，矩阵的秩、行最简型，会使用MATLAB生成随机数，计算密度函数与分布函数的值。2.3知识概要2.3.1定义符号变量MATLAB提供了两个建立符号对象的函数：sym和syms，两个函数的用法不同。(1)sym函数sym函数用来建立单个符号量，一般调用格式为：符号量名=sym('符号字符串')该函数可以建立一个符号量，符号字符串可以是常量、变量、函数或表达式。应用sym函数还可以定义符号常量，使用符号常量进行代数运算时和数值常量进行的运算不同。(2)syms函数函数sym一次只能定义一个符号变量，使用不方便。MATLAB提供了另一个函数syms，一次可以定义多个符号变量。syms函数的一般调用格式为：syms符号变量名1符号变量名2…符号变量名n用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符(‘)，变量间用空格而不要用逗号分隔。2.3.2高等数学中的简单应用1.复合函数运算在MATLAB中，符号表达式的复合函数运算主要是通过函数compose来实现的。compose函数的调用格式如下：compose(f,g)：返回复合函数))((ygf例将txf和yxtan复合到一个函数中。命令：2.极限运算在MATLAB中，符号极限由函数limit来实现。Limit函数的调用格式如下：●limit(F,x,a)：返回符号表达式F当ax时的极限。●limit(F,a)：返回符号表达式F由findsym(F)返回的独立变量趋向于a时的极限。●limit(F)：返回符号表达式F由findsym(F)返回的独立变量在a=0处的极限值。●limit(F,x,a,'right')或limit(F,x,a,'left')：求取单侧极限，参数中'right'，'left'表明取极限的方向。例求22lim(11)xxxxx。3.导数运算在MATLAB中，微分和求导都可以由函数diff实现。diff函数可同时处理数值和符号两种情况下的求导和微分。该函数的调用格式如下所示。●diff(F)：对findsym函数返回独立变量求微分，F为符号表达式。●diff(F,'a')：对a变量求微分，F为符号表达式。●diff(F,n)：对findsym函数返回的独立变量求n次微分，F为符号表达式。●diff(F,'a',n)或diff(F,n,'a')：对变量a求n次微分，F为符号表达式。例求5(1)()1xfxx的二阶导数。4.不定积分和定积分运算MATLAB中，用符号工具箱的int函数求函数的不定积分和定积分。int函数的调用格式如下所示。●int(F)：对findsym函数返回独立变量求不定积分，F为符号表达式。●int(F,v)：对v变量求不定积分，F为符号表达式。●int(F,a,b)：对findsym函数返回独立变量求从a到b的定积分，F为符号表达式。●int(F,v,a,b)：对v变量求从a到b的定积分，F为符号表达式。例求不定积分dxxn。例求定积分109dxx。5.空间解析几何与向量代数运算空间解析几何将平面图形与方程结合起来，从而可以用代数方法研究几何问题。1)空间向量运算例已知向量}1,1,2{a，}2,1,1{b，计算ba，ba，ba，ba。6.级数运算级数是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种重要工具，是高等数学的重要组成部分。在MATLAB中，可以用symsum函数求级数的和。该函数的调用格式如下：●symsum(s)：求符号表达式s相对于符号变量k的和，k由findsym函数确定，取值从0到k-1。●symsum(s,v)：求符号表达式s相对于符号变量v的和，v从0到v-1。●symsum(s,a,b)和symsum(s,v,a,b)：指定符号表达式s从v=a累加到v=b。例求级数10nik、121kk和0kkx)1(x。7.微分方程运算微分方程可以通过函数dsolve求解，该函数的调用格式为：●r=dsolve('eq1,eq2,…','cond1,cond2,…','v')●r=dsolve('eq1','eq2',…,'cond1','cond2',…,'v')输入参数eq1,eq2,…表示微分方程，v为独立变量，cond1,cond2,…表示边界条件和/或初始条件。默认的独立变量是t，用户也可以使用别的变量来代替t，只要把别的变量放在输入变量的最后即可。字母D代表微分算子，即d/dt，字母D后面所跟的数字代表几阶微分，如D2代表22dtd。跟在微分算子后面的字母是被微分的变量，如D3y代表33dtyd。注意，在符号变量中不能再出现字母D。初始/边界条件可用这样的形式给出：y(a)=b或Dy(a)=b。此处的y是被微分变量，a和b是常量。如果初始条件的个数少于被微分变量的个数，则解中会出现C1，C2这样的不定常数。函数的输出结果可能存在如下3种情况：⑴一个方程和一个输出，则返回符号矢量中非线性方程的联立解。⑵几个方程与相同个数的输出，返回的结果按字母顺序排序，并且分配给输出参数。⑶几个方程和一个输出，则返回解的结构。如果函数找不到显示解，它会试图计算隐式解。返回隐式解时，会给出警告信息并返回一个空的sym。此时可以用MATLAB函数ode23或ode45求数值解。在一些有非线性方程的情况下，输出结果可能与更低阶的微分方程或积分等价。例求解微分方程12dyydx程序：例求解微分方程012cos0022xxdxdyyyxdxyd2.3.3MATLAB在线性代数中的应用1解线性方程组Ax=b1)若矩阵A是一个非奇异方阵，可知1xAb。在MATLAB中可以使用\Ab或()*invAb求得x。例解方程组12323343125082xxxxxx解：2)矩阵A是一般矩阵,则需要使用rref将矩阵化行最简型进行求解。例12342341232232201xxxxxxxxxx解2求线性组合将一个向量u表达为其它向量V={v1,v2,v3,…,vn}的线性组合。例令v1=[1203]';v2=[2012]';v3=[1110]';，试判断向量u=[5-340]'是否为V={v1,v2,v3}的线性组合?解所以，得到12323Vvvv。2.3.4MATLAB在概率统计中的应用1概率密度函数值在MATLAB中，使用函数pdf计算概率密度函数值()yfx。命令：pdf格式为：Y=pdf(‘name’,k,A)Y=pdf(‘name’,k,A,B)Y=pdf(‘name’,k,A,B,C)说明：返回以name为分布，在随机变量X=k处，参数为A、B、C的概率密度值；对离散型随机变量X，返回X=k处的概率值，name为分布函数名。2分布函数值使用函数cdf用来计算随机变量X≤k的概率之和，即分布函数值()pFx。命令：cdf格式：cdf(‘name’,k,A)cdf(‘name’,k,A,B)cdf(‘name’,k,A,B,C)说明：返回名称为name的分布在k处的分布函数值。3分位点的求法已知概率值，求对应的分布函数的x，即计算1()xFp。在Matlab中，所使用的函数是icdf，其使用格式：icdf(‘name’,p,a1,a2,a3)。4生成随机数生成某分布函数的随机数，在使用MATLAB进行模拟仿真时经常用到，其函数及格式是命令：random格式：random(‘name’,k,A)random(‘name’,k,A,B)random(‘name’,k,A,B,C)5常见分布及其在MATLAB中的标识name分布bino二项分布poissPoisson分布geo几何分布unif均匀分布密度函数exp指数分布密度函数norm正态分布密度函数chi2卡方分布t或Tt分布f和FF分布密度函数例求标准正态分布在0.5处的密度函数与分布函数值，并求概率为0.95处的分位点。6样本的均值与方差对于样本x=[x1,x2,…,xn]，常用的数字特征定义如下样本均值：211niixxn样本方差：212)(11niixxnS样本标准差：21)(11niixxnS在MATLAB中所使用的函数是：mean、var和std。命令：mean(X)计算样本均值。命令：var(X)计算样本方差212)(11niixxnSvar(X,1)计算样本二阶中心距2211()niiSxxn命令：std(X)%返回向量（矩阵）X的样本标准差。例求下列样本的样本方差和样本标准差，方差和标准差14.7015.2114.9014.9115.3215.32解：在MATLAB编辑器中建立M文件fff.m：运行结果：练习1、求极限1)30tansinlim()xxxx2)2lim(1)nnxn2、求积分1)sinxxdx2)1sinxatdt3、求矩阵的行列式与逆矩阵（1）023213336；（２）024201120；4、解线性方程组：（1）12323123410222xxxxxxxx；（2）123413413412223xxxxxxxxxx；5、设样本X为12.84、8.76、9.54、12.67、7.4、5.98、15.6，求该样本的样本均值、方差与标准差。