实验五傅立叶变换与频率域滤波

实验五傅立叶变换与频率域滤波一、实验目的1.理解傅立叶变换；2.熟悉MATLAB中各种傅立叶变换相关的函数；3.掌握频域滤波的步骤以及MATLAB的实现方法；4.理解频域滤波器与空域滤波器的关系。二、实验内容及步骤1、傅立叶变换及傅立叶反变换（1）傅立叶变换相关函数MATLAB提供了几个和傅立叶变换相关的函数。其说明如下：F=fft2(f);二维傅立叶变换real(F);傅立叶变换的实部imag(F);傅立叶变换的虚部abs(F);获得傅立叶频谱fftshift(F);将变换的原点移至频率矩形的中心ifft2(F);二维傅立叶反变换iffshift(F);反中心平移（2）傅立叶频谱傅立叶频谱反映了图像的频率成分。幅值谱的能量往往集中于中低频部分，并且中低频部分的能量反映了图像的实体。图像的噪声往往集中于高频部分。下面的例子对课本中123页的图Fig4.03(a).jpg进行傅立叶变换，得到傅立叶频谱。例：x=imread('Fig4.03(a).jpg');F=fft2(x);%二维傅立叶变换FP=sqrt(real(F).^2+imag(F).^2);%计算傅立叶频谱，或者使用abs()函数imshow(uint8(FP))%显示傅立叶频谱，直流成分分布在四个边角figure(2);imshow(uint8(fftshift(FP)))%中心平移的频谱图思考题1：对课本125页的图Fig4.04(a).jpg进行傅立叶变换，得到傅立叶频谱，为清楚地显示该谱，将其进行对数变换处理，增强其灰度细节。结果类似于图5_1。图5_1Fig4.04(a)的傅立叶谱x=imread('Fig4.04(a).jpg');F=fft2(x);FP=sqrt(real(F).^2+imag(F).^2);Image=log(1+double(fftshift(FP)));imshow(x);figure(2);imshow(Image,[]);（3）傅立叶变换对将一幅图像进行傅立叶变换，再进行傅立叶反变换，可以得到原始图像。下面的例子对课本中134页的图Fig4.11(a)进行傅立叶变换，然后再进行傅立叶反变换，观察并了解实现过程。理论上，经过傅立叶变换和傅立叶反变换，应该得到原始图像。比较fa和f，基本差不多。查看变量C的内容，可以看到他们之间还是有细微的差别的。例：closeallf=imread('Fig4.11(a).jpg');F=fft2(f);%傅立叶变换ff=ifft2(F);%反傅立叶变换fa=real(ff);%取实部subplot(2,2,1),imshow(f);subplot(2,2,2),imshow(F);%只显示变换的实部subplot(2,2,3),imshow(ff,[]);subplot(2,2,4),imshow(fa,[]);figure(2)C=fa-double(f);%反变换回来的图像和原图相减imshow(C,[]);%两者是有差别的2、频率域滤波按照频域滤波的步骤，在MATLAB中是很容易编程实现频域滤波。由于滤波器就是频率域中的函数，关键是如何构造滤波器函数。频域滤波的步骤为：对图像进行傅立叶变换DFT，即F（u,v）；傅立叶变换原点中心平移；用滤波器函数H(u,v)乘以F（u,v）；将原点反中心平移；傅立叶反变换；取上一步结果中的实部，即频域滤波后的结果。（1）低通滤波低通滤波是使低频部分通过，而使高频部分受到抑制，从而使图像变得平滑。常用的低通滤波有理想低通滤波、巴特沃斯低通滤波和高斯低通滤波。下面的例子实现了对课本135页图Fig4.11(a)进行理想低通滤波处理，截止频率D0＝30。理想低通滤波函数：001((,)0Huv，Du,v)D，D(u,v)D，221/2(,)[(/2)(/2)]DuvuMvN例：closeallclearallf=imread('Fig4.11(a).jpg');%------构造理想低通滤波器----------[HhHw]=size(f);%以图像的行列值作为滤波器的行列H(1:Hh,1:Hw)=0;%滤波器的初值为0x0=Hh/2;y0=Hw/2;%滤波器的中心点forx=1:Hhfory=1:Hwif(sqrt((x-x0)*(x-x0)+(y-y0)*(y-y0))30)%理想低通滤波器D0=30H(x,y)=1;endendend%-----------傅立叶变换及频域滤波---------F=fft2(f);F=fftshift(F);%中心平移FF=F.*H;%频域滤波。注意必须是点乘FFS=ifftshift(FF);g=ifft2(FFS);%傅立叶反变换g=uint8(real(g));%取变换后的实部%显示并比较结果figure(1),imshow(f);title('原图')figure(2),imshow(H);title('理想低通滤波器')figure(3),imshow(log(abs(F)+1),[]);title('频率谱')%对数变换，便于显示结果figure(4),imshow(log(abs(FF)+1),[]);title('频域滤波')figure(5),imshow(g,[]);title('滤波结果')思考题2：参考上例，使用理想低通滤波器对图Fig4.11(a).jpg进行频域滤波。将理想低通滤波器的截止频率D0分别设为15、30、80，对结果进行分析与比较。clearallf=imread('Fig4.11(a).jpg');%------构造理想低通滤波器----------[HhHw]=size(f);%以图像的行列值作为滤波器的行列H(1:Hh,1:Hw)=0;%滤波器的初值为0x0=Hh/2;y0=Hw/2;%滤波器的中心点forx=1:Hhfory=1:HwH(x,y)=1/(1+(sqrt((x-x0)*(x-x0)+(y-y0)*(y-y0))/15)^4);%巴特沃斯低通滤波器D0=15endendend%-----------傅立叶变换及频域滤波---------F=fft2(f);F=fftshift(F);%中心平移FF=F.*H;%频域滤波。注意必须是点乘FFS=ifftshift(FF);g=ifft2(FFS);%傅立叶反变换g=uint8(real(g));%取变换后的实部%显示并比较结果imshow(f);title('原图')figure(2);imshow(H);title('理想低通滤波器')figure(3);imshow(g,[]);title('滤波结果')思考题3：构造巴特沃思低通滤波器，并使用它对图Fig4.11(a).jpg进行低通滤波处理。其中阶数n=2，截止频率D0分别为15、30、80，和思考题2使用理想低通滤波器滤波结果进行比较和分析。注：巴特沃思低通滤波器（BLPF）的传递函数为：201(,)1[(,)/]nHuvDuvD，221/2(,)[(/2)(/2)]DuvuMvNf=imread('Fig4.11(a).jpg');%------构造理想低通滤波器----------[HhHw]=size(f);%以图像的行列值作为滤波器的行列H(1:Hh,1:Hw)=0;%滤波器的初值为0x0=Hh/2;y0=Hw/2;%滤波器的中心点forx=1:Hhfory=1:HwH(x,y)=1/(1+(sqrt((x-x0)*(x-x0)+(y-y0)*(y-y0))/30)^4);%巴特沃斯低通滤波器D0=30endendend%-----------傅立叶变换及频域滤波---------F=fft2(f);F=fftshift(F);%中心平移FF=F.*H;%频域滤波。注意必须是点乘FFS=ifftshift(FF);g=ifft2(FFS);%傅立叶反变换g=uint8(real(g));%取变换后的实部%显示并比较结果imshow(f);title('原图')figure(2);imshow(H);title('巴特沃斯低通滤波器')figure(3);imshow(g,[]);title('滤波结果')（2）高通滤波高通滤波是使高频部分通过，而使低频部分受到抑制，从而使图像边缘锐化。常用的高通滤波有理想高通滤波、巴特沃斯高通滤波和高斯高通滤波。思考题4：参考理想低通滤波器的构造方法，构造理想高通滤波器，并使用它对图Fig4.11(a).jpg进行理想高通滤波处理。截止频率D0分别为15、30、80，对结果进行分析和比较。三、频域滤波器的空间形式由卷积定理我们知道，空间域滤波和频域滤波之间存在对应关系。频域滤波器在空间域存在对应的空间域滤波器。。对频域滤波器进行反傅里叶变换、中心平移，然后取其实部，就得到对应的空间滤波器。例：closeallclear%-------构造理想低通滤波器－－－－H(1:256,1:256)=0;x0=256/2;y0=256/2;forx=1:256fory=1:256if(sqrt((x-x0)*(x-x0)+(y-y0)*(y-y0))30)%注1H(x,y)=1;endendendfigureimshow(H,[])fh=ifft2(H);%频域滤波器进行傅立叶反变换fh=fftshift(fh);figureimshow(log(1+abs(real(fh))),[])title('理想低通滤波器的空间形式')思考题5：观察截止频率分别为15、30、80时，理想低通滤波器的空间形式。了解：频域滤波器越窄，在空域的滤波器越宽，即空域滤波模板越大，滤除的低频成分越多，图像越模糊；以及理想低通滤波器的截止频率越小振铃现象越明显。四、实验报告及要求1、按照上述实验步骤把实验结果截图，并附上文字说明。2、回答思考题，写出实现的命令及实验结果截图。3、使用word文档写报告，交电子文档；