建模第3章

第三章微积分建模方法第一节微积分建模的思想和方法微积分是人类智慧最伟大的成就之一.微积分基本上是牛顿和莱布尼兹发现的,分为微分学与积分学两大类,微分（导数）主要是研究函数的变化率问题，就是用变化的观点考察问题，从变化中认识与解决问题；积分与微分互为逆运算.微积分基本定理将二者结合在一起.例1、旅馆定价某旅馆共有200套房间，当旅馆把每套房每日定价为80美元时，所有房间都有人住，若每日房价调高a美元,则有a套空房，且每套占用房每天的费用为22美元．为使收益最大，旅馆应把房价定为多少？解设每套房每日定价为x美元,则占用房数为：200-（x-80）=280-x，收益为：R（x）=(x-22)(280-x),令03022xR，得x=151（美元）．而R=-20,所以R（x）存在极大值，且极值点唯一，所以当房价定为151美元时，获利最大．例2、信鸽的飞行距离我们知道，信鸽白天力图避免在水面上飞行，这可能是因为水面上空的向下气流会造成飞行困难.假设在距离岸边B处3英里的C岛上放飞信鸽,鸽巢在海岸的A处，距离B处8英里.设鸽子在水面上空飞行所需单位能耗率为它在陆地飞行的1.28倍.为使它回到鸽巢所需总能耗最低，飞行路线如何选择？解设信鸽从C岛上沿直线飞往岸边的D处，然后再沿DA飞行（如下图），设鸽子在陆地飞行能耗率为b,则其在水面上空飞行所需能耗率为1.28b,设BD=x,所需总能耗为：2928.1xby+bx)8(,令0928.12bxbxy，得x=3.75（英里）BxxxxCAD8-x3例3、天然气的消耗在2000（0t）年,世界上天然气的消耗量大约是86.3兆立方英尺，并且在以每年2.5%的比率呈自然指数增长，在该年天然气的储存量大约是5450兆立方英尺，而且没有发现新的储藏量，试问天然气的储存量何时将被用尽？解：设x年后天然气用尽，则有：解得：x≈38.7(年)即大约到2039年天然气的储存量将被用尽.从以上几例可以看出,利用此法建模的基本思想是:首先建立变量间的函数关系或积分关系,然后通过求导或积分进行求解.第二节森林救火模型森林失火了，消防站接到报警后,派消防队前去救火,派的人越多,森林的损失越小,但救援开支会越大,综合考虑森林损失费和救援费与消防队员人数之间的关系,使总费用最小来决定派出队员的人数.1.问题分析（1）火灾损失与森林被烧面积有关，而被烧面积又与从起火到火灭的时间有关，而这时间又与消防队员人数有关.（2）救援开支由两部分构成：①灭火剂的消耗与消防队员酬金（与人数和时间有关）；②运输费（与人数有关）.（3）在无风的情况下，可认为火势以失火点为圆心，均匀向四周蔓延。半径与时间成正比，从而被烧面积应与时间的平方成正比.2.模型假设(1)火灾损失与森林被烧面积成正比记开始失火的时刻为t=0，开始灭火的时刻为t1t，火被完全扑灭的时刻为t2t，设在时刻t森林被烧面积为)(tB，1C表示森林单位面积损失费，则总损失为1C)(2tB。(2)被烧面积与时间的关系dtdB表示单位时间被烧面积(燃烧速度，2m/min),当t=0与t2t时最小，为零，当t1t时最大，记bdtdB1tt＝，由前面分析，)(tB与2t成正比,故不妨设在区间[0,1t]与[1t,2t]上，dtdB都是t的线性函数.在[0,1t]上，斜率为，称为火势蔓延速度(燃烧速度的变化速度22min/m),在[1t,2t]上,斜率为x,其中x为消防队员人数,为每个队员的平均灭火速度(控制蔓延速334433443.865450025.00025.0xxtedte度的变化率，22min/m/人).（3）救援开支设x为消防队员人数，灭火剂消耗与单位时间消防队员酬金为2C,运输费平均每人费用为3C,则救援费为：xcttxc3122)(。3．模型建立与求解由假设2知，森林被被烧的最大面积)(2tB＝221bt总费用xcttxcbtcc312221)(21,此式中2t与是变量，其余为常数。而2t1txbttxb12,所以从而总费用可化为一元函数C=xCxxbCxbCbtC322111)(221,令0dtdC,可得到应派出的队员人数为:图1单位时间被烧面积与t的关系4.结果解释:(1)从结果看，xx即，这表示为了能把火扑灭，派出的消防队员的总灭火速度要大于火势蔓延速度，这保证使燃烧速度趋于零.bx1t2t2t2tdB/dt2322122CbCbCxx(2)而x的第一项是综合考虑了各种因素,使总费用最低.当队员灭火速度和救援费用系数3C增大时,队员数减少;当火势蔓延速度和开始救火时的火势b增加时,队员数增加,这些与常识是一致的.此模型中最难估计的参数是b,可根据现场失火情况及燃烧时间来估计.第三节库存模型已知某产品日需求量100件，每次订货费5000元，贮存费每日每件1元。试安排该产品的订货计划，即多少天订货一次（生产周期），每次订货多少，使总费用最小.解的特例:(1)每天订货一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元,每天费用5000元.(2)10天订货一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100=4500元，订货费5000元，总计9500元。平均每天费用950元.(3)50天订货一次，每次5000件，贮存费4900+4800+…+100=122500元，订货费5000元，总计127500元。平均每天费用2550元.10天订货一次每天的平均费用最小吗?解:设T天订货一次，则每次的订货量为100T件，贮存费为100[（T-1）+(T-2)+…+1]=50T(T-1),则总费用)(TC=5000+50T(T-1),每天的平均费用为：),1(505000)()(TTTTCTC求导并令导数为零得：05050002T,解得10T(天).所以10天订货一次每天的平均费用最小，每次订货1000件.说明:以上方法是将订货量当作离散量来解决的,也可以作为连续量处理.一般情形:工厂要定期地订购各种原料,存在仓库里供生产之用.原料存的太多,储存费用高,太少则不满足需求.(1)在不允许缺货的情况下只考虑两种费用:一次性订货费和货物的贮存费,制定最优存贮策略,即多长时间订一次货,每次订多少货,使总费用最少.1.模型假设(1)产品每天的需求量为常数r；(2)每次订货费为1c,每天每件产品贮存费为2c；(3)T天订货一次（周期）,每次订货Q件，当贮存量为零时，Q件产品立即到来；(4)为方便起见，时间和消耗量都作为连续量处理.求T,Q使每天总费用的平均值最小2.模型建立贮存量表示为时间的函数)(tq,t=0时订货Q件，)0(q=Q,)(tq)以需求速率r递减，)(Tq=0.一周期贮存费为:C=1c+Tdttqc02)(1c+QTc212=1c+2221rTc,每天的平均费用为Tcc1+rTc212,21212,2,0)(crcQrccTTc所以解得令特别地:对于例1中的数据：1c=5000,r=100,2c=1,代入上式解得：T=10(天),Q=1000(件)，此时总费用最少.模型解释:(1)产品每天的需求量r和每次订货费1c增加时,由上述公式可推得Q应增加;(2)每天每件产品贮存费2c减少时,Q应减少，符合常识.T)(tqTtQ第四节租与买的选择例、租飞机与买飞机某航空公司为了发展业务，需要增加5架飞机，若购买一架飞机则需一次支付5000万美元，使用寿命为15年；若租一架飞机每年需支付600万美元现金（均匀货币流），设银行年利率为4℅，租和买哪个合算？1.问题分析买一架飞机需一次支付5000万美元,租一架飞机使用15年的租金为600×15=9000万美元,显然买要比租合算,但是没有考虑利率的影响.每年的租金不变,但是存入时间是变化的,两种方案所支付的价值无法比较,必须找到一个相同的时间点进行比对.2.模型假设(1)若采用购买方式,不考虑飞机的维修费;(2)租金采用均匀货币流,资金的流入为连续的,设年利率为r,采用连续复利;(3)设购进飞机的时间设为0t.3.模型建立(1)解决贴现问题若在0t时存入A美元,按连续复利计算,则T年后的存款额为rTAe．若T年后的存款额为A,则现在应存入rTAe现金,称rTAe为T年前的贴现价值．(2)问题求解若支付方式以购进时间为准每年租金600美元,连续交15年,连续复利r=4%的贴现价值为:6804)1(15000150006006.015004.004.01500eedteatt5000,因此购买飞机比租飞机合算.当连续复利r=10%时,4864)1(6000600511.01500．edteat5000此时租飞机比购买飞机合算.若支付方式以15年后的价值作比较购买一架飞机15年后的价值为1515000rea租飞机付的租金15年后的价值为)1(600600151502rtrerdtea当r=4%时,91501a万美元,124502a万美元,此时购买飞机比租飞机合算.当r=10%时,224501a万美元,209402a万美元,此时租飞机比购买飞机合算.可见,不论用何算法,最后得到的结论是一致的,即:当利率低时应考虑购买飞机,相反则应采用租的方式.4.模型说明我们在建模时仅仅考虑了利率,如果是购买飞机,每年的维修与保养费用都是一笔不小的开支;若租飞机,其维修与保养费是由出租方与承租方哪方承担,题目中都未说明,在现实中,这些问题都需考虑.习题三1.某零售电器商店每年销售额2500台电视机，分若干批进货，每次订购需付20美元的订货费，库存一台电视机每年需花费10美元，（平均库存量为批量的一半），为了使订货费和库存费最小，商店应按多大的批量进货？每年订几次？2．假定一个雪球是半径为r的球，融化时体积的变化率正比于雪球的表面积，已知2h内融化了其体积的1/4，问其余部分多长时间融化完？3.某厂商的总收益函数与总成本函数分别为32,33022qqCqqR.(q为产量),厂商想追求最大利润,而政府对产品征税,假定每单位产品的纳税率为k,求:(1)征税收益的最大值及此时的税率;(2)厂商纳税前后的最大利润.4.在森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度与开始救火时的火势b有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.5.试在允许缺货的情况下讨论库存问题.6.在第四节租飞机与买飞机模型中,每年的租金支付按照离散型的处理(非均匀货币流),其他条件不变,问题如何求解?7.某大学王老师自31岁开始建立自己的养老金,他把已有的积蓄3万元也一并存入,已知月利率为0.01(连续复利),每月存入300元,试问王老师60岁退休时,他的养老金有多少?又若他退休后每月从银行提取1000元作为生活费,多少年后他的养老金将用完?