第3章人身保险的数理基础

第3章人身保险的数理基础寿险精算概论利息理论生命表和生存函数生存年金人寿保险保费的确定健康和人身意外伤害保险保费的确定第3章人身保险的数理基础3.1寿险精算概论基本概念保险精算：运用数学、统计学、金融学、保险学及人口学等学科的知识和原理，对保险业经营管理中的各个环节进行数量分析，为保险业提高管理水平、制定策略和做出决策提供科学依据和工具的一门学科。寿险精算：在对人身保险事故出险率及出险率的变动规律加以研究的基础上，考虑资金投资回报率及其变动，根据保险种类、金额、期限、保险金给付方式、保险费缴纳方式及保险人对经营费用的估计等，对投保人需缴纳的保险费水平、保险人在不同时期必须准备的责任准备金以及人身保险的其它方面进行的科学精确的计算。第3章人身保险的数理基础3.1寿险精算概论早期寿险业务的局限性承包的对象单一，限制较多业务量小缺乏严密的科学基础寿险精算的理论渊源1693年，哈雷，世界上第一张完整的生命表辛普森，据哈雷的生命表构造了保险费率表多德森，根据年龄的差异确定了更精确的保险费率表莫伊维，死亡法则，年金问题1762年，世界上第一家真正的寿险公司---英国公平保险公司的成立标志着现代寿险制度的建立第3章人身保险的数理基础3.1寿险精算概论寿险精算的意义人寿保险中存在着被保险人生死不确定性的风险，这些风险需通过科学的方法来预测、运用定量的方法来分析寿险经营的特性（收入和支出在时间上的不配比）决定了其必须要进行大量的定量分析总之，人寿保险的科学运营客观上离不开精算，寿险精算使人寿保险的经营科学化，确保了经营的稳定性和盈利水平寿险精算的基础---概率论随机事件及其概率随机变量及其分布大数定律和中心极限定理第3章人身保险的数理基础3.2利息理论终值函数和现值函数A(0)：本金，常记为KI(t)：(0,t)时间区间内产生的利息A(t)=A(0)+I(t)=K+I(t)：终值函数(3.2.1)a(t)=A(t)/A(0)=A(t)/K：单位货币经t时期后的价值(3.2.2)a(0)=1A(t)=A(0)·a(t)=K·a(t)：单位货币的终值在时期之初的价值：K个货币单位的资本的现值函数)(1ta)(1tA第3章人身保险的数理基础3.2利息理论利息计算的方法：单利与复利单利法：仅对本金计息，对利息不再付息。以i表示实际利率，则其终值函数的形式为：a(t)=1+i·t(3.2.3)复利法：不仅对本金计息，还对产生的利息计息。以i表示实际利率，则其终值函数形式为：(3.2.4)利息的度量实际利率：计算利息的期间长度与基本的时间单位一致，则资本在该段时间内获取利息的能力就是实际利率，又称为有效利率，以i表示。某时期内实际利率=该时期内得到的利息总额/本金tita)1()(第3章人身保险的数理基础3.2利息理论利息的度量名义利率：当计算利息的期间长度与基本的时间单位不一致时，则原来规定的以基本时间单位为基础的利率就是名义利率，以表示，其中m表示在基本的时间单位内计息的次数。名义利率和实际利率的相互转化：(3.2.5)实际贴现率：若计算贴现额的期间长度与基本的时间单位一致，实际贴现率就是到期末的总贴现额与到期日应付额之比，以d表示。)(mi1111)()(mmmmmiimii第3章人身保险的数理基础3.2利息理论利息的度量名义贴现率：当计算贴息额的期间长度与基本的时间单位不一致时，则原来规定的以基本时间单位为基础的贴现率，以表示，其中m表示在基本的时间单位内贴现的次数。名义贴现率和实际贴现率的相互转化：(3.2.6))(mdmmmmmddmdd)()(1111第3章人身保险的数理基础3.2利息理论利息力利息力：简称息力，是衡量在某个确切时点上利率水平的指标。通常用表示时刻t的息力，的定义是：(3.2.7)本质上，息力表示在时刻t上的瞬时利息率，是时刻t时瞬时获取利息的能力，它是对利息最基本的度量。根据息力的定义，对公式(3.2.7)两边积分得tdttdatadttdAtAt)()(1)()(1)(ln)(ln00tasaddsttstt第3章人身保险的数理基础3.2利息理论利息力由上面的积分表达式可得(3.2.8)该式表明：投入单位货币的本金，在息力已知的条件下，经过时期t后的终值a(t)可按公式(3.2.8)计算。反过来，经过时期t后的单位货币资本，在息力已知的条件下，它在该时期之初的现值为(3.2.9)t)exp()(00dsetatsdstst)exp()(010dsetatsdsts第3章人身保险的数理基础3.2利息理论利率、贴现率和息力之间的关系(3.2.10)1)1(111111)1ln()(11111)(1)()()(temddmiimddmiiiViiidmmmmmmmmt累积或终值因子表示常用贴（折）现因子第3章人身保险的数理基础3.2利息理论现金流的现值与终值的计算现金流：在不同时点上发生的一系列的资本流出或流入已知利息率，求a(t)。设本金为1，经过时期t后终值为：单利：复利：实际利率：名义利率：其中t既可以是整数也可以是分数。tita1)(tita)1()()1()1)(1()(21tiiitamtmmita)(1)(第3章人身保险的数理基础3.2利息理论现金流的现值与终值的计算已知利息率，求。设时期t之末的终值为1，表示时期t之初的现值，则：单利：复利：实际利率：名义利率：其中t既可以是整数也可以是分数。11)1()(titatita)1()(1112111)1()1()1()(tiiitamtmmita)(11)()(1ta)(1ta第3章人身保险的数理基础3.2利息理论现金流的现值与终值的计算已知贴现率，求a(t)。单贴现率：复贴现率：实际贴现率：名义贴现率：其中t既可以是整数也可以是分数。dttdta/10,)1()(1tdta)1()(11211)1()1()1()(tdddtamtmmdta)(1)(第3章人身保险的数理基础3.2利息理论现金流的现值与终值的计算已知贴现率，求。单贴现率：复贴现率：实际贴现率：名义贴现率：其中t既可以是整数也可以是分数。tdta1)(1tdta)1()(1)1()1()1()(211tdddtamtmmdta)(11)()(1ta第3章人身保险的数理基础3.2利息理论确定年金年金：在一定时期内在相等的时间间隔上所作的一系列给付。并不局限于每年给付一次，只要相等时间间隔每次的给付额可以是固定量，也可以是非固定量确定年金：年金的一种形式，只要事先约定，就必定支付的年金。仅与利率有关，而与人的生死无关分类：期初付年金、期末付年金即期年金、延期年金第3章人身保险的数理基础3.3生命表和生存函数生命表生命表：又称死亡表，生命表所考察的一群人是一个特定的生存集合，根据是否考虑人数的随机波动，可分为随机生存组和确定性生存组。几个基本栏目：x：被观察的人口年龄：生存数，指x岁的生存人数：死亡数，指x岁的人在一年内死亡的人数：年生存率，指x岁的人在一年后仍生存的概率：年死亡率，指x岁的人在一年内死亡的概率xlxdxpxq第3章人身保险的数理基础3.3生命表和生存函数生命表生命表的选择类型按对象：国民生命表、经验分布表按性别：男子表、女子表、男女混合表按测定死亡率时观察期间的取法：选择表、综合表、截断表按业务：寿险生命表、年金生命表不同寿险业务的精算，应结合不同分类，选择适当的生命表作为预定死亡率的基础选择生命表作为精算基础时，应考虑生命表人群的死亡状况与计算对象的死亡状况接近。第3章人身保险的数理基础3.3生命表和生存函数生存函数保险领域常用的死亡法则AbrahamdeMoivre死亡法则：为极限（最终）年龄Gompertz死亡法则：令，对上式积分得（C为常数）Makeham死亡法则：（A、C为常数）,0,)(xxklx)(h11为比例系数xxhdaehxxaCxxaCA第3章人身保险的数理基础3.4生存年金生存年金：年金的一种形式，以人的生存作为年金支付的条件，按期作一连串的给付。生存年金与确定年金的联系和区别联系：都为年金的一种形式，有年金的特点和性质区别：1.生存年金以特定的人的生存为给付条件；确定年金与特定的人或年金受领人的生死无关。2.生存年金的给付期间或给付次数，事先无法确定；而确定年金的给付期间或给付次数，事前可以确定。3.生存年金的有关计算，除考虑利息率外，还必须考虑特定的人或年金受领人的生存率；而确定年金中的计算，一般只考虑利息率。第3章人身保险的数理基础3.4生存年金生存年金的分类：终身年金：生存中终身均予给付定期生存年金：以某一特点期间为限+仍生存延付年金：生存一定期间或到达一定年龄后+仍生存即时年金：从订约年度开始+生存生存年金的例子：投保人或被保险人分期缴付的保险费退休年金：从退休之日开始每隔一定时期所作的一系列给付第3章人身保险的数理基础3.5人寿保险保费的确定保费的概念和构成：保费：保险人为履行一定的保险责任向投保人收取的实际金额，通常称为“毛保费”纯（净）保费：恰能满足保额支付开业费用、代理手续费，法律纠纷费、行政管理费、死亡调查费风险加成税收利润毛保费附加保费费用支付费用负荷毛保费第3章人身保险的数理基础3.5人寿保险保费的确定保费的支付方式：趸缴保费：一次性付清定期缴纳均衡保费：定期缴纳固定款额定期缴纳非均衡保费：定期缴纳可变款额保费的计算特点和原则：计算特点：在过去资料的基础上，形成对未来的预期原则：充足性：收入和成本持平公平性：视被保险人的情况区别对待适量性：制定保费时应同时考虑双方的利益第3章人身保险的数理基础3.5人寿保险保费的确定精算中：期望收支平衡原则（期望损失为零原则）纯保费的精算现值=保额的精算现值费用负荷毛保费的精算现值=保额的精算现值+费用的精算现值毛保费的精算现值=纯保费的精算现值+附加保费的精算现值预期比率：利息率、死亡率及费用率人寿保险纯保费的确定：趸缴纯保费的计算原则趸缴纯保费的精算现值=保额的精算现值第3章人身保险的数理基础3.5人寿保险保费的确定人寿保险纯保费的确定：自然保费和均衡保费：自然保费是指每期按被保险人当期的出险频率计算的保费；均衡保费是指每期缴纳相同的保费。均衡纯保费的计算：根据等值方程可知，对保额、保险期限确定的同一险种来说，趸缴纯保费的精算现值与均衡纯保费的精算现值应相等，都等于保额的精算现值，所以我们可以利用已求出的趸缴纯保费来计算定期缴纳均衡纯保费。即均衡纯保费的精算现值=趸缴纯保费的精算现值=保额的精算现值第3章人身保险的数理基础3.5人寿保险保费的确定人寿保险附加保费与毛保费的确定：费用负荷毛保费的计算费用分析按经营过程各环节的费用分类：承保费（发行费）：一般按保单来收取维持费（揽收费）：与费用负荷毛保费成比例理赔费：一般与保额成比例一般费用：其他费用都归于此类按费用是否与保费或保额有关分类：第3章人身保险的数理基础3.5人寿保险保费的确定人寿保险附加保费与毛保费的确定：费用负荷毛保费的计算费用分析按费用是否与保费或保额有关分类：每保单固定费用：一般为常数与保费相关的费用：设成保费的一定