张量练习题

一．填空1．已知矢量kjti)t(2t3)t-(2t(t)A323，则)(lim1tAt。2．数量场22arcsinyxzu的等值面方程为。3．数量场zxyzxyu在点（1,2,3）处沿矢径方向的的方向导数为。4．设,242kzjxyixA则ArotAdiv5．在三维欧氏空间中,写出下列和式的所有项jiijxxa=6．kk=7．已知张量,,tsrrstlkjiijklgggBBggggAA则BABA8．Ricci符号.eijk9．给定一个二阶张量的协变分量,ijT则jlikijggT10．ijkT为三阶张量的分量，则ijklT二．计算1．一曲线的矢量方程为kttjtittr)62()34()1()(22求在t=2处的单位切向矢量解：在t处曲线的切向矢量为ktjittr)64(42)(在t=2处有6)2(244)2(rkjir故所求的单位切向矢量为kji3132322．求矢量场kzyjyxixyA222的矢量线方程。解：矢量线满足的微分方程为222zydzyxdyxydx由此有xdx=ydy及ydyxdxx解得xCzCyx2122（21,CC为常数）。3.求矢量场kxyzjzxyiyzxA)()()(在点(1,2,3)处沿方向kjin22的环量面密度.解：kjin3232310故方向余弦为32cos32cos31cos又)()()(xyzRzxyQyzxP319)cos)()cos)()cos)(yxxzzyMnPQRpQR4．求矢量场kCjxiyA（C为常数）沿下列曲线：0,222zRyx的环量。解：所给曲线的参数方程为0,sin,coszRyRx于是环量llCdzxdyydxldA=20222222)cossin(RdRR5.已知一斜角直线坐标系的协变基为jigikgkjg321,,(1)求度量张量ijijgg,；(2)求出它的逆变基的直角坐标表达式。.解：(1)jiijggg211121112ijg311131113411ijijgg(2)jijiggg32132131113111341gggggg三．证明1．度量张量G的协变分量分别为ijg，证明：0;kijg（0ijkg）1．证明：mjkimmikmjkijkijgggg,;又jiijgggjkiikjkjijkikijggggg,,,而jkimjkimmikmjgikjg0;kijg2．证明矢量场kzyjzxyiyxA)62()24()2(为调和场，并求其调和函数。证明：证明：620241012DA则0642Adiv0Arot所以所给矢量场为调和场。设调和函数为v,则CzyzxyyxCdzzydyxyxdxCdzzyxRdyyQdxxPvzyxzyx22200000032)62()4(2),,()0,,0()0,0,(