对混叠现象的几点理解

对混叠现象的几点理解一、目的分析混叠产生的原因，加深对混叠现象的理解。二、理论分析混叠现象产生的根源在于采样，如果采样不能够采集原信号足够多的信息的话，就会出现混叠的现象。三、实例分析这里用一个例子进行分析。Eg1：原信号如下：()cos(2)cos(23)fttt图1连续信号对原来的信号进行展开得到如下式子：222323()0.50.50.50.5jtjtjtjtfteeee对应的相位是2223230.5,00.5,00.5,00.5,0jtjtjtjteeee对其进行采样，按照频率4Hz来采样，即每秒钟采样4次，从时刻-0.5s开始采样，得到的结果如下图所示，图2连续信号采样后对应的离散信号图3连续信号采样后对应的离散信号（附加连续函数提示）为了更清晰，我们把连续信号的图形加到离散的采样信号结果中。通过上图我们可以看出，发生了混叠现象，混叠就是高频成分的采样值表现形式和结果同低频一样，导致最终总体信号的表现形式为加倍了得低频成分。3322224444226644442222(2)(2)444422443()cos(2)cos(2)440.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.522cos()4nnnnjjjjnnnnjjjjnnnnjjjjnnjjnnfneeeeeeeeeeeeeen从上面的推倒可以看出，原来的cos(2)4n，3cos(2)4n的现在变成了22cos()4n。这种现象的发生，就是混叠，原因就是因为对于3Hz的分量，采样频率仅为4Hz，无法完成反映出信号的变化情况。往往在信号处理的最后一步是把离散的信号还原成原始信号，这就需要插值，而插入点得幅值选取是根据周围点幅度得来的，所以，插值后的结果往往就是低频的连续信号，而高频信号成分则变成了低频。Eg2：带相位偏差的混叠现象。()cos(2)cos(23)42fttt图4：连续函数将连续信号进行展开得到下式：(2)(2)(23)(23)44222223234422()cos(2)cos(23)420.50.50.50.50.50.50.50.5jtjtjtjtjjjjjtjtjtjtfttteeeeeeeeeeee对于上式，我们可以很容易的看出各个谐波分量的幅值和相位。各个谐波的相位和其对应的cos型分量的相位是完全一致的。同时我们也可以展成如下形式2223234422222323()cos(2)cos(23)420.50.50.50.50.5(cossin())0.5(cossin())44440.5(cossin())0.5(cossin())222222(4jjjjjtjtjtjtjtjtjtjtfttteeeeeeeejejejejej22232322)()()44422jtjtjtjtjjjeeee上面式子的结果，是在进行计算的时候，经常得到的情况，其谐波幅值都为标准的复形式。谐波的幅值和相位信息就含在了该复数中。以22()44j举例，其幅值为22222241()()441616162，其相位为22arctan(/)arctan(1)444。所以，依次可以得到各个谐波对应的相位22232322(),44422(),444(),22,22jtjtjtjtjejejeje这也验证了，相位谱是奇函数，这一结论。同时，值得注意的是：2244cos(2)0.50.54jjjtjtteeee其中，两个谐波对的谐波幅值互为共轭，两个基本谐波2jte也是互为共轭，所以乘以复数幅值后的谐波分量也互为共轭。下面看以下经过4Hz采样后的情况。如下图所示。图5连续函数采样后对应的离散点列（附加连续函数，便于观察）66()()()()24244242()()(2)(2)24242222()()(242422()cos(2)cos(23)44420.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.5nnnnjjjjnnnnjjjjnnnjjjnnfneeeeeeeeeee)()2242422222422422222220.50.50.50.50.5(0.50.5)(0.50.5)2222(())(())442442222222()()44442()4njnnnnjjjjjjjjnnjjjjjjnnjjnnjjeeeeeeeeeeeeeeejjjejejeje这里222220.3926990.392699220.392699022228-421()==2-24162222222144442-2]1122-22-2220.3826[(0.92380.3826)(0.92380.3826)]0.3826[]0.3826[nnjjnnjjnnjjjjnnjjjjeejejeeeeeee（）（[（）（）.392699]2=0.7652cos(0.392699)4n）由上面的推倒可以看出，发生了混叠，这里的混叠跟Eg1中的有一定的区别，这里由于相位不同的原因，cos(2),cos(23)4442nn在采样点处的值，并不相同，但是通过观察可以发现图6中的第二副图可以发现，其采样点已经具有了蓝色信号所示的低频频率特性了，并且在心得体会“信号相位的几点理解”中已经证明，任何两个同频cos型的波形，其和仍为该频率下的cos型波形，只不过幅值和相位会发生相应的变化。最后的第四幅图验证了上面公式推导结果的正确性，也说明了混叠的含义是指，高频成分因为采样而在采样点处表现为低频，并和原来的低频成分进行了相加的混合，使得结果呈现出低频特性，并且，幅值和相位都发生了响应的变化。图6四、收获与总结1、谐波函数的函数值不一定都是负数Eg：当用8Hz的采样频率去采样函数cos(24)x后，会得到如下结果：24cos(24)cos()cos()=1-18112211cos()cos()22cjnjnnnTneenn函数值，这里可以看出谐波的函数值jne，jne是实数，虚部为0。其函数值取1，-1。2、相位改变对幅度频谱是否有影响，有，怎么影响。假设任一CT波形：2(2)22cos(2)jftjftjjftjjftfteeeeee其中||1je，所以相位的改变不改变谐波的幅值，也就是说，连续信号的幅度谱和相位谱是相互独立的相互不影响。不同相位的信号可以有相同的幅度谱，但相位谱一定不同。不同幅度的信号，可以有相同的相位谱，但振幅谱一定不同。对于DT波形，情况有些变化。我们的DT信号是由CT信号采样后得来的。112211221cos(2)cos(2)11221122ccccccjfnjfnffjjjfnjfnffjjfnTfnfeeeeeeee（1）这里首先研究2cff的情况，这是上式变为：1122(2)1cos(2)cos(2)11221122112211cos221111coscos()2222ccccjfnjfnffjjjjnjjnjjnnjjnjjnjjnjnjnjnjjnjjnfnTfnfeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee对比可以看出现在，两个谐波的幅值受到的影响，产生这一现象的原因是因为采样和采样频率带来的影响。通过分析上述公式，我们可以看出je这个幅值，cos-sinjje其模值始终为1，但是，如果出现2cosjjee的情况，就不能保证谐波的幅值了，上面的公式推证就很清楚的体现了这一点，所以在进行频谱分析的时候，如果是临界采样图7cos(2*pi*ft)图7cos(2*pi*ft+pi/2)由上图可以看出，当临界采样的时候，相位的变化，影响了采样的结果，进而影响了对应谐波的幅值。（2）下面研究2cff的情况，这里采用定量分析的方法，令3cff，在这种情况下有下面的等式。112222331cos(2)cos(2)11221122ccccjfnjfnffjjnnjjjjfnTfnfeeeeeeee