第三讲 金融工程定价方法

第三讲金融工程定价技术本讲内容–1.状态定价技术–2.构建无风险组合定价技术–3.风险中性定价技术–4.鞅及鞅测度金融工具定价的关键（1）金融工具的现金流（2）恰当的折现率状态价格定价技术假如一份风险证券A，现在的市场价格是PA，1年后市场价格会出现两种可能的情况：价格上升到uPA，其概率为q；或者下降到dPA，出现的概率为1-q。即1年后会出现两种不同的价格状态。uPAdPAPAq1-q状态价格定价技术(续)定义两基本证券（假想证券）：–基本证券1：在1年后如果市场出现上升状态，其市场价值为1元，如处于下跌状态，则其价值为零，其市场价格记为πu；–基本证券2：在1年后如果市场出现上升状态，其市场价值为0元，如处于下跌状态，则其价值为1，其市场价格记为πd。用基本证券复制风险证券A组合B：–购买uPA份基本证券1；–购买dPB份基本证券2。由无套利原理可知，复制与被复制证券市价的现值相等：PA=πuuPA+πddPA即：πuu+πdd=1（1）对风险证券A定价组合C：–购买一单位基本证券1；–购买一单位基本证券2。1年后组合C现金流为？组合C是一个无风险组合，其收益率应为无风险收益率rf，有πu+πd=1/(1+rf)（2）将式（1）、（2）两个方程联立成方程组，可得：πu=[(1+rf)–d]/[(1+rf)(u-d)]πd=[u-(1+rf)]/[(1+rf)(u-d)]例1假如证券A现在的市场价格为PA=100元，rf=2%，d=0.98,u=1.07，见图；证券B1年后的状态价格见图。10798PA=10010398.5PB解依题意有–πu=[(1+rf)–d]/[(1+rf)(u-d)]=0.435730–πd=[u-(1+rf)]/[(1+rf)(u-d)]=0.544662对A证券定价–PA=πuuPA+πddPA=0.435730×107+0.544662×98=100对证券B定价–PB=πuuPB+πddPB=0.435730×103+0.544662×98.5=98.52941问题问题1：基本证券1的市场价格和基本证券2的市场价格是由证券A的状态价格确定，为什么可以用来复制证券B？状态价格的涵义：–两个基本证券的参数[πu，πd]唯一地确定了某个市场，则刻画在这个市场里的证券价格变化的参数u和d必须满足以下方程组–πuu+πdd=1–πu+πd=1/(1+rf)两组不同的[πu，πd]刻画了两个不同的市场。用证券B的状态价格来复制证券B？问题2：基本证券都是假想证券，能不能用一个证券来复制另一个证券？用证券A复制证券B组合D：△份证券A和现值为L的无风险证券。其现在的价格为：–I=100△+L（3）1年后，无论市场状况如何，组合D的市场价值都与证券B一样。如出现上升的状态，有–Iu=△×107+L×1.02=103如出现下降的状态，有–Id=△×98+L×1.02=98.5将以上两个方程联立成方程组，可解得△=0.5,L=49.5/1.02代入式（3）可得证券B现在的价值I=98.52941远期/期货合约的价值设X为远期/期货合约在到期日T标的资产的交割价格。则对于一项远期合约多头来说，其在T时刻的价值为S(T)-X。组合：–一项价值为S(t)的标的资产多头；–数量为Xe-rf(T-t)的现金空头(以无风险利率rf借入)组合现金流分析–t时刻：组合价值为S(t)-Xe-rf(T-t)–T时刻：组合价值为S(T)-X这一组合复制了远期合约的多头。根据无套利原则，该远期合约在t时刻的价值一定等于该组合在t时刻的价值。即–ƒ(t)=S(t)-Xe-rf(T-t)t≤T远期/期货价格如果在t时刻订约，则远期价格等于T时刻的交割价格，即F(t,T)=X，且合约的价值为零，则有–S(t)-Xe-rf(T-t)=0–即，X=S(t)erf(T-t)故远期/期货价格为–F(t,T)=S(t)erf(T-t)支付已知现金红利资产远期合约定价设I为现金红利在t时刻的现值。组合–一项价值为S(t)的标的资产多头；–数量为Xe-rf(T-t)+I的现金空头(以无风险利率rf借入)组合现金流分析–t时刻：组合价值为S(t)-Xe-rf(T-t)-I–T时刻：组合价值为S(T)-X这一组合复制了支付已知现金红利资产远期合约的多头。根据无套利原则，该远期合约在t时刻的价值一定等于该组合在t时刻的价值。即–ƒ(t)=S(t)-I-Xe-rf(T-t)t≤T关于远期汇率的案例一客户要求某银行报出一年后交割的DM对US$的汇价。有关数据如下：交割数量(A)：1,980,000DM即期汇率(S)：US$1=1.8000DM即期利率：一年期的美元利率(ib)为6%，一年期的DM利率为(iq)10%。问：该银行如何确定一年期的DM/US$的远期汇率(F)？远期汇率的确定过程US$DM即期远期(一年)-1,980,000+1,980,000-1,800,000以10%的利率贷出DM1年+1,800,000-1,000,000卖出即期美元(价1.8000)+1,000,000以6%的利率借US$1年-1,060,000+1,060,000以价F卖出远期DM①②③④A/(1+iq)=1,980,000/(1+10%)=1,800,000[A/(1+iq)]/s=1,800,000/1.8=1,000,000{[A/(1+iq)]/s}(1+ib)=1,000,000(1+6%)=1,060,000F=S(1+iq)/(1+ib)=1.8(1+10%)/(1+6%)关于远期利率的案例一客户要求某银行从现在(t)开始6个月内提供为其6个月的￡100万的贷款。在现货市场上，利率的报价为：6个月期(T)的利率(is)为9.5%，12个月期(T)的利率(iL)为9.875%。该银行如何确定该6×6的远期利率（iF）？远期利率的确定过程即期6个月12个月-1000000+1000000-954,654以9.5%的利率贷出6个月+954,654以9.875%的利率借款12个月-1,048,926+1,048,926以iF的利率贷出6个月①②③国债期货的定价方法：现金-持有定价法(1)买入100000美元面值的一种可交割债券；（2）通过回购协议为债券融资；（3）卖出一份期货合约；（4）持有债券直到交割月份的最后一日；（5）根据期货空头头寸交割债券。现金-持有策略图借入现金买入债券根据期货空头交割债券偿还现金及利息借入现金并支付利息现在用现买入债券收取发票金额持有债券并赚取利息债券期货到期日对期权定价一个股票现在的价格为$20三个月后，该股票的价格或者是$22，或者是$18，如下图设无风险利率为12%。StockPrice=$22StockPrice=$18Stockprice=$20StockPrice=$22OptionPrice=$1StockPrice=$18OptionPrice=$0Stockprice=$20OptionPrice=?ACallOptionA3-monthcalloptiononthestockhasastrikepriceof21.对看涨期权进行复制考虑一个组合：Δ单位股票现值为L的无风险资产则有方程组22Δ+Le0.12×0.25=118Δ+Le0.12×0.25=0解得：Δ=0.25，L=-4.3672则期权的价格为20Δ+L=20×0.25-4.3672=0.633动态复制技术：例有证券A、B，证券A的价格运动规律如左图，证券B在第二期期末3种不同状态下的价格如右图。96.04107PA=10098114.49104.86期初第1期期末第2期期末PBuPBdPBuu=107.67PBud=102.97PBdd=98.48PB=?期初第1期期末第2期期末解先看右上方的二叉树，假设用△u份证券A和现在市场价值为Lu的无风险证券来构筑证券B的组合。见图。104.86114.49107114.49△u+1.02Lu107△u+Lu104.86△u+1.02Lu可联立方程组•114.49△u+1.02Lu=107.67•104.86△u+1.02Lu=102.97•解出△u=0.488，Lu=50.78,则PBu=107△u+Lu=103解（续）对于右下方的二叉树，可建立方程组104.86△d+1.02Ld=102.9796.04△d+1.02Ld=98.48解得，△d=0.509,Ld=48.62,PBd=98△d+Ld=98.5再看左方的二叉树，如图。10710098107△+1.02L100△+L98△+1.02L解（续）可用△份证券A和价值为L的无风险证券的组合来复制证券B。可得方程组107△+1.02L=10398△+1.02L=98.5解得，△=0.5，L=48.53故证券B现在的市场价格为PB=100△+L=98.52941问题1：如采用连续复利利率计算，以上过程如何变化？二叉树与Black-Scholes模型（1）相同点–对股价运动规律的假定一样–确定折现率的方法：构建无风险组合（2）不同点–具体描述现金流的方法证券价格变化与随机过程弱式有效市场中的证券价格变化随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。随机过程的分类：–Discretetime;discretevariable–Discretetime;continuousvariable–Continuoustime;discretevariable–Continuoustime;continuousvariable严格地说，证券价格的变化过程属于离散变量的离散时间随机过程，但我们近似地将其看为连续变量的连续时间随机过程。MarkovStochasticProcessMarkovStochasticProcess–在这个过程中，只有变量的当前值才与未来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。Cramer-Levy(克拉默-列维)定理设X1、X2为独立随机变量，则X1+X2~（μ，σ2），当且仅当X1~（μ1，σ12），X2~（μ2，σ22），且μ=μ1+μ2，σ2=σ12+σ22维纳过程(AWienerProcess)维纳过程是一个拥有零均值和年变动率为1.0的MarkovStochasticProcess。设在微小的时间段t内变量z的变化值为z。则一个维纳过程具有二种特征：(1)–由(1)可知，在一个微小的时间间隔t内,z～N（m,s）,且•Meanofz=0•Standarddeviationofz=√t•VarianceofΔz=Δt(2)对于任意两个不同时间间隔t，z的值相互独立。zt(0,1)whereisarandomdrawingfrom维纳过程（续）在一个相当长的时间段T内，[z(T)–z(0)]～N（m,s）,且–Meanof[z(T)–z(0)]=0–Varianceof[z(T)–z(0)]=Nt=T–N=T/n–Standarddeviationof[z(T)–z(0)]is推论–①在任意长度的时间间隔T内，遵循维纳过程的变量的变化值服从具有均值为0，标准差为的正态分布。–②对于相互独立的正态分布，方差具有可加性，标准差不具有可加性。TT一般维纳过程(GeneralizedWienerProcess)定义–漂移率(DriftRate)是指单位时间内变量z均值的变化值(设为a)。–方差率(VarianceRate)是指单位时间的方差(设为b2)。变量x的一般维纳过程可表示为：dx=adt+bdz式中，dz为维纳过程在很小的一段时间间隔Δt内，Δx值的变化遵循Δx=aΔt+bε√t式中，ε～N(0，1)一般维纳过程（续）推论1：Δx～N(m，s)Δx的均值=atΔx的标准差=b√