导数,推理证明,圆锥曲线

第1页（共22页）高二数学复习一．选择题（共12小题）1．（2015•四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）2．（2015•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=13．（2015•新课标II）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2C．D．4．（2015•广西模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=2，BC=，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为（）A．B．C．D．5．（2015•路南区校级模拟）在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=，侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（）A．2πB．C．4πD．第2页（共22页）6．（2015•石家庄校级模拟）已知△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC=2，将△ABC绕BC旋转得△PBC，当直线PC与平面PAB所成角的正弦值为时，P、A两点间的距离是（）A．2B．4C．2D．27．（2015•浙江）函数f（x）=﹣（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A．B．C．D．8．（2015•聊城二模）函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．第3页（共22页）9．（2015•上饶一模）函数的大致图象为（）A．B．C．D．10．（2015•潍坊模拟）下列四个图中，函数y=的图象可能是（）A．B．C．D．11．下列推理形式正确的是（）A．大前提：老虎是食肉者小前提：老李是食肉者结论：所以老李是老虎B．大前提：凡对顶角都相等小前提：∠A=∠B结论：∠A和∠B是对顶角C．大前提：白马是马小前提：白马有四条腿结论：马有四条腿D．大前提：所有演说家都是骗子小前提：所有说谎者都是演说家结论：所有说谎者都是骗子第4页（共22页）12．将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910…按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为（）A．B．C．D．二．解答题（共9小题）13．（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．14．（2015•陕西）如图，椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2．第5页（共22页）15．（2015•新课标II）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．16．（2015•广东）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．（1）证明：BC∥平面PDA；（2）证明：BC⊥PD；（3）求点C到平面PDA的距离．17．（2015•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．第6页（共22页）18．（2015•新课标II）设函数f（x）=emx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．19．（2015•南昌校级模拟）设a，b是非负实数，求证：a3+b3≥（a2+b2）．20．（2015•余杭区模拟）已知数列{an}的前n项和Sn=﹣an﹣（）n﹣1+2（n为正整数）．（Ⅰ）令bn=2nan，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令cn=an，Tn=c1+c2+…+cn试比较Tn与的大小，并予以证明．21．（2015•张家港市校级模拟）设函数f（x）=x﹣sinx，数列{an}满足an+1=f（an）．（1）若a1=2，试比较a2与a3的大小；（2）若0＜a1＜1，求证：0＜an＜1对任意n∈N*恒成立．第7页（共22页）高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2015•四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，则，相减，得（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以=﹣，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3．将x=3代入y2=4x，得y2=12，∴，∵M在圆上，∴，∴r2=，∵直线l恰有4条，∴y0≠0，∴4＜r2＜16，故2＜r＜4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2＜r＜4，故选：D．2．（2015•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1【解答】解：由题意，=，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，第8页（共22页）∴双曲线的方程为．故选：D．3．（2015•新课标II）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2C．D．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．4．（2015•广西模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=2，BC=，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为（）A．B．C．D．【解答】解：取AC的中点为F，连接BF、DF．因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1∥BB1，又因为DF是三角形ACC1的中位线，故DF=CC1=BB1=BE，故四边形BEDF是平行四边形，所以ED∥BF．第9页（共22页）过点F作FG垂直与BC交BC与点G，由题意得∠FBG即为所求的角．因为AB=1，AC=2，BC=，所以∠ABC=，∠BCA=，直角三角形斜边中线BF是斜边AC的一半，故BF=AC=CF，所以∠FBG=∠BCA=．故选A．5．（2015•路南区校级模拟）在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=，侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（）A．2πB．C．4πD．【解答】解：过点P作PH⊥平面ABC于H，则∵AH是PA在平面ABC内的射影∴∠PAH是直线PA与底面ABC所成的角，得∠PAH=60°，∴Rt△PAH中，AH=PAcos60°=，PH=PAsin60°=设三棱锥外接球的球心为O，∵PA=PB=PC，∴P在平面ABC内的射影H是△ABC的外心由此可得，外接球心O必定在PH上，连接OA、OB、OC∵△POA中，OP=OA，∴∠OAP=∠OPA=30°，可得PA==∴三棱锥外接球的半径R=OA=1因此该三棱锥外接球的体积为V=πR3=故选：D第10页（共22页）6．（2015•石家庄校级模拟）已知△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC=2，将△ABC绕BC旋转得△PBC，当直线PC与平面PAB所成角的正弦值为时，P、A两点间的距离是（）A．2B．4C．2D．2【解答】解：过C作CE⊥BD，E为垂足，由于PA⊥平面BCD，∴平面BCD⊥平面PBA，由两个平面互相垂直的性质可知：CE⊥平面PBA，∴∠CPE就是直线PC与平面PAB所成角，∵直线PC与平面PAB所成角的正弦值为，PC=，∴CE=，设CD=x，则BD=，∴••，∴x=1，∵PC=，∴PD=，∴PA=2PD=2．故选：C．【点评】本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．7．（2015•浙江）函数f（x）=﹣（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）第11页（共22页）A．B．C．D．【考点】函数的图象．菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用．【分析】由条件可得函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据但是当x趋向于0时，f（x）＞0，结合所给的选项，得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=﹣（﹣x）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0），由于它的定义域关于原点对称，且满足f（﹣x）=﹣（﹣+x）cosx=（﹣x）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称．故排除A、B．当x=π，f（x）＞0，故排除D，但是当x趋向于0时，f（x）＞0，故选：C．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断，奇函数的图象特征，函数的定义域和值域，属于中档题．8．（2015•聊城二模）函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．菁优网版权所有【专题】数形结合．【分析】先利用绝对值的概念去掉绝对值符号，将原函数化成分段函数的形式，再结合分段函数分析位于y轴左右两侧所表示的图象即可选出正确答案．第12页（共22页）【解答】解：∵y==当x＞0时，其图象是指数函数y=ax在y轴右侧的部分，因为a＞1，所以是增函数的形状，当x＜0时，其图象是函数y=﹣ax在y轴左侧的部分，因为a＞1，所以是减函数的形状，比较各选项中的图象知，C符合题意故选C．【点评】本题考查了绝对值、分段函数、函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题．9．（2015•上饶一模）函数的大致图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象；指数函数的图像与性质．菁优网版权所有【专题】压轴题；数形结合．【分析】观察题设中的函数表达式，应该以1为界来分段讨论去掉绝对值号，化简之后再分段研究其图象．【解答】解：由题设条件，当x≥1时，f（x）=﹣（x﹣）=当x＜1时，f（x）=﹣（﹣x）=﹣（﹣x）=x故f（x）=，故其图象应该为综上，应该选D【点评】本题考查绝对值函数图象的画法，一般要先去掉绝对值号转化成分段函数再分段做出图象．第13页（共22页）10．（2015•潍坊模拟）下列四个图中，函数y=的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用．【分析】根据四个选择项判断函数值的符号即可选择正确选项．【解答】解：当x＞0时，y＞0，排除A、B两项；当﹣2＜x＜﹣1时，y＞0，排除D项．故选：C．【点评】本题考查函数的性质与识图能力，属中档题，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项．11．下列推理形式正确的是（）A．大前提：老虎是食肉者小前提：老李是食肉者结论：所以老李是老虎B．大前提：凡对顶角都相等小前提：∠A=∠B结论：∠A和∠B是对顶角C．大前提：白马是马小前提：白马有四条腿结论：马有四条腿D．大前提：所有演说家都是骗子小前提：所有说谎者都是演说家结论：所有说谎者都是骗子【考点】演绎推理的基本方法．