导数及其应用

导数及其应用一、基础知识要记牢(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．二、经典例题领悟好[例1](1)(2013·湖北荆门调研)曲线y＝x2x－1在点(1,1)处的切线方程为________．(2)(2013·广东高考)若曲线y＝ax2－lnx在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.[解析](1)∵点(1,1)在曲线y＝x2x－1上，y′＝－12x－12，∴在点(1,1)处的切线斜率为y′|x＝1＝－12－12＝－1，所求切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2)因为y′＝2ax－1x，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，a＝12.21cnjy.com[答案](1)x＋y－2＝0(2)12解决函数切线的相关问题，需抓住以下关键点：1切点是交点.2在切点处的导数是切线的斜率.因此，解决此类问题，一般要设出切点，建立关系—方程组.3求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异.过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上；在点P处的切线，点P是切点.三、预测押题不能少1．已知偶函数f(x)在R上的任一取值都有导数，且f′(1)＝1，f(x＋2)＝f(x－2)，则曲线y＝f(x)在x＝－5处的切线斜率为()A．2B．－2C．1D．－1解析：选D由f(x＋2)＝f(x－2)，得f(x＋4)＝f(x)，可知函数为周期函数，且周期为4.又函数f(x)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(x－2)＝f(2－x)，即函数的对称轴为x＝2，所以f′(－5)＝f′(3)＝－f′(1)，所以函数在x＝－5处的切线的斜率k＝f′(－5)＝－f′(1)＝－1.利用导数研究函数的单调性一、基础知识要记牢函数的单调性与导数的关系：在区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f′(x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．【出处：21教育名师】二、经典例题领悟好[例2](2013·全国卷Ⅰ节选)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性．[解](1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.故b＝4，a＋b＝8.从而a＝4，b＝4.(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)ex－12.令f′(x)＝0，得x＝－ln2或x＝－2.从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f′(x)0；当x∈(－2，－ln2)时，f′(x)0.故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．利用导数研究函数单调性的一般步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)0或f′(x)0即可．②若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．三、预测押题不能少2．已知函数f(x)＝13x3＋mx2－3m2x＋1，m∈R.(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)若f(x)在区间(－2,3)上是减函数，求m的取值范围．解：(1)当m＝1时，f(x)＝13x3＋x2－3x＋1，又f′(x)＝x2＋2x－3，所以f′(2)＝5.又f(2)＝53，所以所求切线方程为y－53＝5(x－2)，即15x－3y－25＝0.所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为15x－3y－25＝0.(2)因为f′(x)＝x2＋2mx－3m2，令f′(x)＝0，得x＝－3m或x＝m.当m＝0时，f′(x)＝x2≥0恒成立，不符合题意；当m0时，f(x)的单调递减区间是(－3m，m)，若f(x)在区间(－2,3)上是减函数，则－3m≤－2，m≥3，解得m≥3；当m0时，f(x)的单调递减区间是(m，－3m)，若f(x)在区间(－2,3)上是减函数，则m≤－2，－3m≥3，解得m≤－2.综上所述，实数m的取值范围是(－∞，－2]∪[3，＋∞).利用导数研究函数的极值(最值)问题一、基础知识要记牢(1)若在x0附近左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值．(2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．二、经典例题领悟好[例3](2013·福建高考节选)已知函数f(x)＝x－1＋aex(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)求函数f(x)的极值；(2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，求k的最大值．[解](1)f′(x)＝1－aex，①当a≤0时，f′(x)0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．②当a0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝lna.当x∈(－∞，lna)时，f′(x)0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)0，所以f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝lna处取得极小值，且极小值为f(lna)＝lna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在x＝lna处取得极小值lna，无极大值．(2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋1ex.直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，等价于关于x的方程kx－1＝x－1＋1ex在R上没有实数解，即关于x的方程：(k－1)x＝1ex(*)在R上没有实数解．①当k＝1时，方程(*)可化为1ex＝0，在R上没有实数解．②当k≠1时，方程(*)化为1k－1＝xex.令g(x)＝xex，则有g′(x)＝(1＋x)ex.令g′(x)＝0，得x＝－1，当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，＋∞)g′(x)－0＋g(x)－1e当x＝－1时，g(x)min＝－1e，同时当x趋于＋∞时，g(x)趋于＋∞，从而g(x)的取值范围为－1e，＋∞.所以当1k－1∈－∞，－1e时，方程(*)无实数解，解得k的取值范围是(1－e,1)．综合①②，得k的最大值为1.1求函数y＝fx在某个区间上的极值的步骤：第一步：求导数f′x；第二步：求方程f′x＝0的根x0；第三步：检查f′x在x＝x0左右的符号；①左正右负⇔fx在x＝x0处取极大值；②左负右正⇔fx在x＝x0处取极小值.2求函数y＝fx在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤：第一步：求函数y＝fx在区间a，b内的极值极大值或极小值；第二步：将y＝fx的各极值与fa，fb进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.21*cnjy*com三、预测押题不能少3．已知函数f(x)＝ax－2x－3lnx，其中a为常数．(1)当函数f(x)的图像在点23，f23处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在32，3上的最小值；(2)若函数f(x)在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝a＋2x2－3x，由题意可知f′23＝1，解得a＝1.故f(x)＝x－2x－3lnx，∴f′(x)＝x－1x－2x2，由f′(x)＝0，得x＝2.于是可得下表：x3232，22(2,3)3f′(x)－0＋f(x)1－3ln2∴f(x)min＝f(2)＝1－3ln2.(2)f′(x)＝a＋2x2－3x＝ax2－3x＋2x2(x0)，由题意可得方程ax2－3x＋2＝0有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x1，x2，并令h(x)＝ax2－3x＋2，21*cnjy*com则Δ＝9－8a0，x1＋x2＝3a0，x1x2＝2a0，也可以为Δ＝9－8a0，－－32a0，h00，解得0a98.故a的取值范围为0，98.导数与不等式的交汇导数已由解决问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，利用导数解决函数的单调性与最值的命题趋势较强，各套试题多以压轴题呈现，大多将导数与函数、不等式、方程、数列交汇命题，考查不等式证明，方程根的讨论，求参数范围．一、经典例题领悟好[例1](2013·辽宁省五校模拟)已知函数f(x)＝alnx＋1(a0)．(1)当x0时，求证：f(x)－1≥a1－1x；(2)在区间(1，e)上f(x)x恒成立，求实数a的范围．(1)学审题——审结论之逆向分析结论――→构造函数φ(x)＝f(x)－1－a1－1x――→求导φ′(x)―→φ(x)最小值―→结论．(2)学审题——审条件之审视结构条件――→转化ax－1lnx―――――→构造函数g(x)＝x－1lnx――→求导g′(x)＝lnx－x－1xlnx2――――→构造函数h(x)＝lnx－x－1x――→求导h′(x)―→h(x)h(1)＝0―→g′(x)0―→g(x)g(e)―→a的范围．用“思想”——尝试用“函数与方程思想”解题(1)证明：设φ(x)＝f(x)－1－a1－1x＝alnx－a1－1x(x0)，则φ′(x)＝ax－ax2.令φ′(x)＝0，则x＝1，易知φ(x)在x＝1处取到最小值，故φ(x)≥φ(1)＝0，即f(x)－1≥a1－1x.(2)由f(x)x得alnx＋1x，即ax－1lnx.令g(x)＝x－1lnx(1xe)，则g′(x)＝lnx－x－1xlnx2.令h(x)＝lnx－x－1x(1xe)，则h′(x)＝1x－1x20，故h(x)在定义域上单调递增，所以h(x)h(1)＝0.因为h(x)0，所以g′(x)0，即g(x)在定义域上单调递增，则g(x)g(e)＝e－1，即x－1lnxe－1，所以a的取值范围为[e－1，＋∞)．1本题三次利用函数思想，第2问中首先分离常数，变为ax－1lnx，再构造函数gx，求其最值确定a的范围.2导数综合应用题型中应用函数思想的常见类型：①构造新函数求最值解决不等式恒成立问题；②构造新函数利用性质解决不等式证明问题；③构造新函数求零点解决方程解的问题.二、预测押题不能少1．已知函数f(x)＝ex(x2＋ax－a)，其中a是常数．(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若存在实数k，使得关于x的方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，求k的取值范围．解：(1)由f(x)＝ex(x2＋ax－a)可得，f′(x)＝ex[x2＋(a＋2)x]．当a＝1时，f(1)＝e，f′(1)＝4e.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝4e(x－1)，即y＝4ex－3e.(2)令f′(x)＝ex[x2＋(a＋2)x]＝0，解得x＝－(a＋2)或x＝0.当－(a＋2)≤0，即a≥－2时，在区间[0，＋∞)上，f′(x)≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以方程f(x)＝k在[0，＋∞)上不可能有两个不相等的实数根．当－(a＋2)0，即a－2时，f′(x)，f(