导数定积分教材分析新(田雄飞)

-1-导数及其应用教材分析北京市第八十中学田雄飞2014．9．22一、导数在高考试题中所涉及的内容、原函数特点1．北京高考导数的题目出现在18题的位置和19题解析几何一起具有选拔一本生源的功能，难度多为中高档题，多和方程，不等式，函数联系，内容可能涉及：函数的单调性，极值点和极值、最值、零点的个数、证明不等式、求参数的取值范围．2．原函数多为①三次函数与指数函数或对数函数的结合的初等函数，②二次函数与指数函数或对数函数结合的初等函数，③分式函数与指数函数或对数函数结合的初等函数，④三次函数或二次函数（文科、2012北京高考理科）．这些函数的特点是求导后中学数学内容可比较好的处理有关问题，⑤原函数是三次函数或二次函数与三角函数结合而成的初等函数．以下就依使用新教材以来的高考题为例来说．如：2010北京高考理（18）已知函数221lnxkxxxf0k1当2k时，求曲线xfy在点1,1f处的切线方程2求xf的单调区间．题目特点是②二次函数与指数函数或对数函数结合的初等函数．解：（I）当2k时，2()ln(1)fxxxx，1'()121fxxx由于(1)ln2f，3'(1)2f，所以曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为3ln2(1)2yx即322ln230xy（II）(1)'()1xkxkfxx，(1,)x.当0k时，'()1xfxx.所以，在区间(1,0)上，'()0fx；在区间(0,)上，'()0fx.故()fx得单调递增区间是(1,0)，单调递减区间是(0,).-2-当01k时，由(1)'()01xkxkfxx，得10x，210kxk所以，在区间(1,0)和1(,)kk上，'()0fx；在区间1(0,)kk上，'()0fx故()fx得单调递增区间是(1,0)和1(,)kk，单调递减区间是1(0,)kk.当1k时，2'()1xfxx故()fx得单调递增区间是(1,).当1k时，(1)'()01xkxkfxx，得11(1,0)kxk，20x.所以在区间1(1,)kk和(0,)上，'()0fx；在区间1(,0)kk上，'()0fx故()fx得单调递增区间是1(1,)kk和(0,)，单调递减区间是1(,0)kk综上：．．．．．．．．2011北京高考理（18）已知函数2()()xkfxxke．（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的(0,)x，都有()fx≤1e，求k的取值范围．题目特点是②二次函数与指数函数或对数函数结合的初等函数．2012北京高考理18已知函数012aaxxf，bxxxg3．1若曲线xfy与曲线xgy在它们的交点c,1处具有公共切线，求ba,的植；2当ba42时，求函数xgxf的单调区间，并求其在区间1,上的最大值．题目特点是④三次函数或二次函数．2013年北京高考理科卷18.设l为曲线C：lnxyx在点(1，0)处的切线.(I)求l的方程；(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方-3-题目特点是③分式函数与指数函数或对数函数结合的初等函数．解：1设,lnxxxf则2'ln1xxxf。所以11'f。所以直线l的方程为1xy2令xfxxg1，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于0xg1,0xx。xg满足01g，且22''ln11xxxxfxg当10x时，012x，0lnx，所以,0'xg故xg单调递减；当1x时，012x，0lnx，所以,0'xg故xg单调递增；所以，01gxg1,0xx。所以除切点之外，曲线C在直线L的下方。如：2013年北京高考文科18已知函数xxxxxfcossin2。1如曲线xfy在点afa,处与直线by相切，求a与b的值；2如曲线xfy与直线by有两个不同的点，求b的取值范围。题目特点是⑤原函数是三次函数或二次函数与三角函数结合而成的初等函数，这样的函数一定有较强的运算技巧或特殊的设置和提示。解：由xxxxxfcossin2求导，得xxxfcos2'。如果写成xxxxfcos2'则没法做了。如：2014年北京高考理科18已知函数()cossin,[0,]2fxxxxx，（1）求证：()0fx；（2）若sinxabx在(0,)2上恒成立，求a的最大值与b的最小值.题目特点是⑤原函数是三次函数或二次函数与三角函数结合而成的初等函数，这样的函数一定有较强的运算技巧或特殊的设置和提示。-4-3．根据函数的单调性求参数的取值范围常用0'xf或0'xf来求．这里之所以加“=”号其原因主要是高等数学中对函数单调性的定义要比高中数学中的定义要宽泛．中学数学中指的是严格单调．例：若331fxaxx在区间0,1上是减函数，则实数a的取值范围是.-5-二、导数在高考中的地位和作用导数是研究函数的有力工具，是对学生进行理性思维训练的良好素材．导数在处理单调性、最值等问题时,能降低思维难度,简化解题过程.其地位由解决问题的辅助工具上升为解决问题的有力工具，因此导数的应用是导数的重点内容．从近几年的高考命题分析,对导数主要考查导数的几何意义、导数的基本性质和应用以及综合推理能力,这三个热点.可分为三个层次：第一层次是主要考查导数的概念和某些实际背景(如瞬时速度、加速度、切线的斜率等)，求导公式(mxc,(m为有理数)，xxaexxaxxlog,ln,,,cos,sin)这些基本初等函数的导数和求导四则运算法则，特别是理科复合函数的导数，对学生来讲这是一个难点，很容易出错一定加强练习．第二层次是导数的应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的单调性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、函数的零点、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起，设计综合试题．在高考中导数的应用主要有以下四方面：①导数的几何意义；②可导函数的单调性与其导数的关系；③可导函数的极值与其导数的关系；④可导函数的最值与其导数的关系.我这里只提到了可导函数，关于不可导的函数不会考原因是课本对不可导的函数没有给出精确的定义，如：xy，xy1在0x处都不可导，但没法解释．因为这里要用到左、右导数的概念左、右极限的概念．一般来讲，函数xfy在点0x连续不一定可导，而可导一定连续．另外导数的思想方法和基本理论有着广泛的应用，在中学数学的许多问题上起到居高临下和以繁化简的作用．应用导数解题可以灵活的使用二阶导数．三、本单元的考纲要求、复习措施：1．了解导数的概念，能利用导数定义求导数．掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念．在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念．2．熟记基本导数公式，掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间，求一个函数的最大(小)值的问题，掌握导数的基本应用．3．了解函数的和、差、积的求导法则的推导，掌握两个函数的商的求导法则．能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数．4．了解复合函数的概念（理科）．会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合．掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题．-6-总之，这部分内容一定要注重求导数的运算，有的学生这里是弱点。５．文科和理科的区别是文科没有复合函数的求导．导数是新教材增加的内容，近几年的高考试题逐步加深．有关导数的高考题主要考查导数的几何意义、函数的单调性、极值，应用问题中的最值．由于导数的工具性，好多问题用导数处理显得简捷明了．用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多，因此，导数在函数中的应用作为高考命题重点应引起高度注意．考查的方向还是利用导数求函数的极大(小)值，求函数在连续区间[a，b]上的最大值或最小值，或利用求导法解应用题．研究函数的单调性或求单调区间等，这些已成为高考的一个新的热点问题．利用导数的几何意义作为解题工具，有可能出现在解析几何综合试题中，复习时要注意到这一点.6．强调学生解题的规范性，比如求函数的单调区间、极值是否要列表？参数的讨论是否要有综上？结合前几年高考题，重点知识点重点突破．重视转化、数形结合、分类讨论和分离常数等思想方法的运用．这是一个很重要的难点．如以下两个例题。例1．(2011年海淀理科二模）已知函数221()()ln2fxaxxxaxx.()aR.（I）当0a时，求曲线()yfx在(e,(e))f处的切线方程（e2.718...）；（II）求函数()fx的单调区间.解：（I）当0a时，()lnfxxxx，'()lnfxx，所以()0fe，'()1fe，所以曲线()yfx在(e,(e))f处的切线方程为yxe.（II）函数()fx的定义域为(0,)21'()()(21)ln1(21)lnfxaxxaxxaxaxxx，（作图分析）①当0a时，210ax，在(0,1)上'()0fx，在(1,)上'()0fx所以()fx在(0,1)上单调递增，在(1,)上递减；②当102a时，在(0,1)和1(,)2a上'()0fx，在1(1,)2a上'()0fx所以()fx在(0,1)和1(,)2a上单调递增，在1(1,)2a上递减；③当12a时，在(0,)上'()0fx且仅有'(1)0f，-7-所以()fx在(0,)上单调递增；④当12a时，在1(0,)2a和(1,)上'()0fx，在1(,1)2a上'()0fx所以()fx在1(0,)2a和(1,)上单调递增，在1(,1)2a上递减．综上：……例２．（2010年4月北京市西城区高三抽样测试文科）已知函数2()()exfxxmxm（mR）.（Ⅰ）若函数()fx存在零点，求实数m的取值范围；（Ⅱ）当0m时，求函数()fx的单调区间；并确定此时()fx是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）设()fx有零点，即函数2()gxxmxm有零点，所以240mm，解得4m或0m（Ⅱ）2()(2)e()e(2)exxxfxxmxmxmxxm，[来源:学*科*网]令()0fx，得0x或2xm，因为0m时，所以20m，当(,2)xm时，()0fx，函数()fx单调递增；当(2,0)xm时，()0fx，函数()fx单调递减；当(0,)x时，()0fx，函数()fx单调递增.此时，()fx存在最小值.()fx的极小值为(0)0fm.根据()fx的单调性，()fx在区间(2,)m上的最小值为m，解()0fx，得()fx的零点为2142mmmx和2242mmmx，结合2()()exfxxmxm，可得在区间1(,)x和2(,)x上，()0fx.因为0m，所以120xx，并且221444(2)222mmmmmmxmm24442mmm422mm4(2)102mm，-8-即12xm，综上，在区间1(,)x和2(,)x上，()0fx，()fx在R上的最小值为m．四、本单元明年高考预测（重点、新题型）导数是高中数学中是解决实际问题的强有力的数学工具，