导数放缩必备题型

1上次发贴介绍了下2014年课标1卷的放缩做法，发现很多人不太懂放缩，而且吧里似乎没有专门讲解放缩的贴子。鉴于本人是河北人，研究过一些导数里较难的题，比如数列不等式，所以斗胆在此发表一些自己的心得，希望大家能获益。数学老手，贴吧新手，发帖有什么不好的地方请轻喷。此贴思路是这样的，先介绍放缩的思想、应用及注意事项，然后简单提下数列中的放缩，再重点介绍函数与导数中的放缩，拓展一些知识，附上一些例题。从最简单的例子开始比如我们要证明π＞e，我们知道π＞3，3＞e。我们可以把要证的不等式π＞e左边的π缩小为3,3比e大是对的，π比e大就得证。同理也可把右边的e放大为3。上面的例子太过简单，真到复杂的情况，可能你似懂非懂的了解了放缩但还是应用不上，真的理解还是要靠题目。直接来到高大上的题，搞清了就理解放缩了。第一问略过（等号左边的取对数易证，等号右边把帖子看完就知道多好证了）第二问说思路，首先这个式子太过庞大，有指数有三角，而且不管怎么变形求导，都无法消除其中一种，所以常规法是很难做甚至是不可做的。再看第一问有放缩的提示，所以考虑放缩。如果1-x≥g（x）这时求得a≤-3，那么这个范围内f（x）≥g（x）的，或者说这个范围就是一个充分条件，我们只须论证其必要性。也就是证a＞3时f（x）≥g（x）不成立，即g（x）＞f（x），这时再把f（x）放大为1/（1+x）与g（x）比较，在a＞3时，作差求导得出g（x）＞f（x），所以a≤-3为充要条件。详答不放，重要的是思路，计算过程现在都可以不算，只要把这个思路倒腾清楚，放缩思想基本就有了，而且不局限在证明不等式了。注意事项:第一：放缩要注意尺度，比如证π＞e，你要是想到了π＞2，然后想用2＞e来证明，那当然不行，你放缩的尺度太大了，复杂题中，有时这尺度不容易把握。第二：看清楚不等号及放缩方向，有时你做着做着就蒙了，就看不清了。比如你要证π＞e，你想到了e＞2，一看π＞2，以为自己证出来了，其实呢，你已经晕了。这个例子你看着滑稽，自己做难题时这种情况而正常。第三：注意有放有留，在数列中常用，我们通常把数列的第一项或者前两项不进行放缩，只放缩后面的，借此来控制放缩的尺度（因为有时前面的项放缩会尺度过大）。更高端的，我们可以把数列的后面的拿出n项来，只对后面的n项放缩，而不放缩前面的（因为有时后面的放缩会尺度过大）。第三条中更更高端的，我们可以借项。比如数列an=n，其前n项和本应为1+2+3+4+……+n我们可以写为1+2+3+4+……+n+【（n+1）+（n+2）+……2n】-【（n+1）+（n+2）+……2n】，就是加上n项再减去n项，然后对减去的n项或加上的n项进行放缩（之所以要放缩减去的那些项，是因为有时候不等号方向和你已知的放缩式子可能不合适，但如果放缩减号后的那些项可以解决这个问题）现在来介绍下数列中的放缩，河北数列难度小，所以我了解的不如导数多，只举三个例子吧。第一，脑筋急转弯型放缩，平凡之中暗藏坑爹，此类题题号靠前，难度不大，却可以很坑爹。例：求证1/（n+1）+1/（n+2）+1/(n+3)+......1/(n+n)＜1难吗，有没有发现左边n个式子每一项都比1/n小，那n个合起来当然比1小了，这不这么显然吗？如果你考试时做不出来，请拿出小学生考你脑筋急转弯你答不出来的心态来。2第二条较常用（导数中有道数列不等式也要用它，在此只举一例）这类放缩就是朝裂项相消方向靠拢。很显然的，我们有1/n(n+1)＜1/n^2＜1/n(n-1)（原谅我不会把平方打成角标）。当然我们有更加强版的1/n^2＜1/(n+1)(n-1)。如此只要有平方倒数，我们可以考虑用这些不等式将其放缩为能裂项相消求和的式子，举个，而是否用加强版的放缩，要看题里的条件，用那个式子更美观，加强版不见得是好的。例如an=1/n^2，求证Sn＜2，我们可以将a1保留（显然放缩之中a1没有定义），从a2开始放缩为1/n(n-1)，熟悉的裂项求和求出，后面部分的和是小于1的。用加强版一定也可以，但是那个计算起来要稍微麻烦些，没必要。第三是一个指数型的放缩，具体题目我忘了，是个老题，没必要过分纠缠，做法很多，我只取我自己独创的做法，觉得还是比较好的，至少比老师讲的简单些。an=3^n-2^n，求Sn小于什么还是大于什么我忘了，反正显然是要放缩，这个尺度不好把握，我是这么来把握的。an=[(3/2)^n-1]*2^n，然后令二分之三的指数n=1,2,3等某个定值，再等比求和。因为二分之三是比一要大的，其指数函数是递增的，把n限制为某个值，他一定变小了，控制n的值就一定程度控制了放缩尺度。为什么能想到这呢，其实你对题有研究的精神，有兴趣，没事多想想，就肯定能有灵感，能超越老师的思路，这个谁都可以有。首先，我来提一个高大上的东西，就是高数里面的泰勒公式，这个只是背景，了解就行，感兴趣的可以找百科或者高数书。就是从某个点X0处，我们可以构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，如果这个点是0，就是形式比较简单的麦克劳林级数。简而言之，它的功能就是把坑爹的超越式近似表示为幂函数。3然后给出高中阶段常用的放缩的不等式，推荐背过，题里一般会提示，若无提示，用这些也有可能让题目简单。e^x≥x+1x-1≥lnx≥1-1/x√1+x≤1+x/2（根号不会打……，平方下就知道这式子怎么来的了。）1-x^2/2≤cosx≤1-x^2/4（在-π到π上）对实数x-1，在n≥1时，有(1+x)n≥1+nx成立；在0≤n≤1时，有(1+x)^n≤1+nx成立（伯努利不等式）重点研究前两个，十道导数题八道与它有关，其中两道就要用它们，另外两道用它们会简化题目。很容易发现e^x≥x+1，这是取的麦克劳林级数的前两项。我们对该式两边取以自然对数，得到x≥ln（x+1），用x-1替换x就得，lnx≤x-1。在这个式子中，用1/x替换X就可以得到-lnx≤（1/x）-1即lnx≥1-1/x。从图像中也可以看出x+1和x-1正好是切线，这样凭这个图像很容易就记住了这两个不等式4当然将指数对数稍作平移，切线都变为x看着似乎更有趣，两个图像有公切线，然而切点是不同的第三道2014课标1，我知道可以不用放缩，但此帖就是在讲放缩。求证＞1，显然e^x-1/x是＞1的，但它的系数为2，你要是直接弄成＞2就错了，f（x）是大于的，证这个大于1，两边都有1可消掉，成了证明大于0，那就好多了，都除以e^x-1,就成了证它＞0，求导求最小值，恰好是0，等号不同时取，所以是大于。第四，我忘了原题了，原题要复杂，我只编个简单点的说明下这个灵活的思想吧。跟我思路来。求证：x^2+(lnx)^2＞1/2。x≥lnx+1，所以只须证（lnx+1）^2+(lnx)^2＞1/2，令t=lnx+1，（换元成2次函数），则转化为证2t^2-2t+1＞1/2。二次函数求最小值，就是1/2其实就是告诉大家，一定一定要很灵活，我们的思路都是转化为幂函数，这个题，却将幂转化为对数（受不等号方向的限制），然后又通过大家熟知的换元法转化为简单的二次函数。接下来讲下一类数列不等式简单证法。看题。求证1+1/2+1/3+1/4+……+1/n＞ln（n+1），这种题，数学归纳法是可以的，但步骤未免有些繁琐，我们有简化的证法。把这个不等式看作关于n的式子，复制一个n-1的式子1+1/2+1/3+1/4+……+1/（n-1）＞ln（n）用上式减下式，得1/n＞ln（1+1/n）（上面的不等式可证明，令x=1/n）1/n＞ln（1+1/n）分别求和就可证出上面的式子。5所以遇见数列不等式，先复制n-1的式子，如果不等号两边都是某数列的前n项和，这样就可以找到两个数列的通项，由通项的大小就可以证明前n项和的大小。2014石家庄质检二，第一问不用说，看着也很眼熟吧，a≤1自己算。第二问，这个不等式首先也不可能作差，需要一定的变形。说下思路，首先应该把（3n）^n除到左边来，观察这个式子肯定是某个以e为公比的等比数列前n项和（很多题都是等比，因为等比后面的次数挂上n的可以忽略）考虑不等式e^x≥x+1，令x=什么可以有等比呢？观察除过去后的左边，通项[（3i-2）/3n]^n注意搞清i和n，经尝试得令x+1=（3i-2）/3，e^x是一个等比数列，求和后可与比较。然后再看[（3i-2）/3n]^n中括号里的式子比1小，所以把n次幂的n改为1可以放大，（3i-2）/3n中，把分母的n改为1，,可将式子放大，然后就是上面我们尝试的式子。