待定系数法在向量高考题中的应用

应用“待定系数法”解向量高考题作为一种数学方法，待定系数法形象、直观，在数学问题的解决中有着很广泛的应用。例如用待定系数法求解函数的解析式或在“导数”中求切线的方程。在人教版第一册（下）第五章《平面向量》中的相关概念和定理也都给出了“待定系数法”应用的暗示，有关证明和计算如果引入参数利用待定系数法，渗透方程思想常常会起到意想不到的效果，使问题变的通俗易懂。向量及其运算在高考题中大都单独命题，多以选择或填空题题的形式出现。本文通过几个高考题简单地谈一谈此法在向量求解中的一些体会。一．根据题设要求，（1）用字母a、b表示所求的向量。例1ABCD中，M、N分别为DC，BC的中点，已知AMc,ANd,试用c，d表示向量,ADAB。解析：如图所求向量,ADAB与已知向量c,d的关系没有直接体现在同一个三角形中，欲直接得,ADAB与c,d的关系很难，需要借助辅助线或辅助图形来求解。如下图jGNMDCBA解法（一）：作BC，AN的延长线，交于点G，可得BC=CG，AN=NG3M22N32NM242NM3342dc33AGABCAGAAABCBCAABC＝即＝－也就是＝－1A=M+CB2124=c+(c-d)23342=c-d33BA但是若用待定系数法将得到不一样的局面，解法如下：解法（二）：设ADa,ABb,根据向量加法的三角形法则可得方程组a＋12b＝d，b＋12a＝c解得a＝43d－23cd＝43c－23dDA＝43d－23cABb＝43c－23d此中解法通过列出所求向量的方程组，按照实数求解方程组的方法类似地求解向量方程组。（2）“向量坐标的表示”将向量的运算完全带入了代数领域，解题时适时地设出向量的坐标，能起到事半功倍的作用。例2（2005年天津高考题）在直角坐标系xoy中，已知点A（0，1），和点B（－3，4），若点c在AOB的角平分线上且O=2C，则OC＝4321-4-224jOCBA分析：O,OBA的坐标由题意可轻松地得到，所以可设OC的坐标，又O=2C，所以可设OC＝（2cos,2sin）解：设OC＝（2cos,2sin）CAOBOOOC(O+)OC(O+)5OBBAAB点在的角平分线上共线于即共线于O3439O+=(0,1)+(-,)=(-,)55555BA（2cos,2sin）∥39(-,)5539-2sin2cos55tan3又角为第二象限角可得31sin,cos1010OC＝26(,)1010二人教版高一数学下册P115的“平面向量基本定理”：如果12,ee是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于平面内的任一向量a，有且只有一对12,使1122aee成立。平面向量基本定理的作用在于可以用一组基底表示此平面内的任一向量，将同一平面内的所有向量的表示形式进行了统一，为向量的各种运算提供了便利条件，而定理中的12,便成了我们在解题，析题的一个着陆点。例3（2006年福建高考题）已知O=1,O3AB，O=0AOB，点C在AOB，且AOC=30，设OCO+nOB(m,nR)A=m，则mn等于分析：OOB0A可得下图21.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-3-3-2-112345CBAA设点C的坐标为（,xy）则OCO3OBxAy=OCOOmAnB=可得OC,3)mn=(即点C的坐标为（m,3n）AOB=30333nm3mn三、人教版高一数学下册P115“向量共线定理”：向量b与非零向量a共线的充要条件有且只有一个实数，使ba，其中的存在且唯一为我们应用待定系数法解题又开辟了一条新径。例4（2005年全国高考题）OABC的外接圆的圆心，两条边上的高线的交点为H，OHOAOBOC＝m(++)，则实数m的值为分析：涉及三角形的“心”较多，而多“心”混在一起增加了本题的难度，使好多同学学生面对此题束手无策。解决此题关键要对“外心”，“垂心”的概念熟悉，外心即为外接圆的圆心，也就是三角形三条边中垂线的交点，垂心为三角形三条高线的交点，都有“垂”，必平行。MHOCBA解：如上图HOHOOOOC2OMABCAABCB在中，＝－在中，＋＝OM又∥HAOHOA即（－）∥OOCB（＋）OHOOOCAB存在唯一的实数满足－＝（＋）整理为：OHOOOCAB＝＋＋①由已知OHmOOOCAB＝（＋＋）OHmOmOmOCAB＝＋＋②由①②可得，m=1这种解法没有直接去求解m，而是利用向量共线定理引入参数，通过比较①②得到的四、利用“待定系数法”求解平移向量设函数()()fxabc其中向量(sin,cos),axx(sin,3cos),bxx(cos,sin)cxx，xR（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期。（2）将函数y=f(x)的图象按向量d平移，使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d分析：第一问主要考察向量数量积的坐标运算，可得3()22sin(2)4fxx，很容易得到T=,f(x)的最大值为22（3）设所求的平移向量d＝（m,n）所以，y=f(x)按向量d＝（m,n）可得322sin[2()]4ynxm整理为32sin(22)24yxmn因为此函数的图象关于原点成中心对称所以，此函数为奇函数所以，n=-2,32,4mkkZ所以3,82kmkZ3(,2)82kd，kZ234()82kd，kZk=1时，d最小所以d＝(,2)8待定系数法结合方程思想，将向量的运算和代数的运算结合起来，使得向量及其向量的运算学习、应用起来并不感到生疏，也正体现了数学灵魂的博大精深。