微积分(B)常微分方程与差分方程练习题

12013-2014(2)大学数学(B)练习题第六章一、选择题1.微分方程xyy2的通解为（）A.Ceyx2；B.2xCey；C.2Cxye；D.xCey.2.函数221xcyce是微分方程20yyy的（）A.通解；B.特解；C.不是解；D.是解,但既不是通解,也不是特解.3.设线性无关的函数321,,yyy都是二阶非齐次线性微分方程)()()(xfyxqyxpy的解，21,CC是任意常数，则该方程的通解是（）A.32211yyCyC；B.3212211)(yCCyCyC；C.3212211)1(yCCyCyC；D.3212211)1(yCCyCyC.4.微分方程22yxyyx是（）A.可分离变量的微分方程；B.齐次微分方程；C.一阶线性齐次微分方程；D.一阶线性非齐次微分方程.二、填空题1.微分方程yyyxln的通解是.2.方程xyysin2的奇解为_______________.3.微分方程05532yxx的通解是.4.微分方程02520422sdtdsdtsd的通解为.三、解答题21.求微分方程xydxdy2的通解.2.求下列一阶微分方程满足所给初始条件的特解．（1）xxxydxdysin，1)(y；（2）xeyyx2，45)0(y．3.解方程：xeyxcos2.4.求方程83ydxdy满足初始条件20xy的特解.5.求微分方程xeyy24的通解.6.求微分方程xxeyyy265的通解.7.设函数)()1(2xuxy是方程3)1(12xxyy的通解，求)(xu.8.求下列贝努利方程的通解．（1）0234'2yxxyyx；（2）012yxyy.9.求齐次方程dyxyxdxxyy)2()2(22的通解．10.求解下列初值问题：1)(2yy，0)0(y，0)0(y．11.求微分方程1'''2xyyx通解．12.求下列方程的通解．（1）054yyy；（2）054yy；（3）xexyyy2244；（4）xyyy2sin82．2013-2014(2)大学数学(B)练习题第六章参考答案一、选择题1.B；2.D；3.D；4.B；二、填空题31.Cxey；2.0y；3.Cxxy232151；4.tetCCs2521)(.三、解答题1.解原方程为分离变量的微分方程，分离变量可得xdxydy2，两边积分：xdxydy2，得12lnCxy，其中1C为任意常数，整理有：2xCey，其中C为任意常数.2.解：（1）该方程的通解为]sin[11Cdxexxeydxxdxx=]sin[lnlnCdxexxeyxx=)sin(1Cxdxx=)cos(1Cxx，又1)(y，得1C，故满足条件1)(y的特解为)1cos(1xxy.（2）4121])([222xeCeedxexeCyxxdxdxx，将45)0(y代人，得2C，故所求特解为412122xeeyxx．3.解：对所给方程接连积分三次得，12sin21Cxeyx，22cos41CCxxeyx，)2(sin81132212CCCxCxCxeyx.4.解：原方程可变形为ydxdy38，分离变量可得dxydy38，两边积分：1383lnCxy，其中1C为任意常数，所以383xCey，代入初始条件20xy有：32C，则满足条件的特解为32833xye.5.解：原方程所对应的齐次方程为04yy，其特征方程为042，解得特征根为2，所以方程04yy的通解为xxeCeC2221.又xexf2)(，由于2是特征单根，于是可设原方程的特解为xaxey2*.4xexay2)21()*(，xexay2)1(4)*(.代入原方程xxxeaxeexa2224)1(4，xxeae224，于是41a，所以xxey241*，于是原方程的通解为xxxxeeCeCyy2222141*.6.解：原方程所对应的齐次方程为065yyy，其特征方程为0652，解得特征根为32或，所以方程065yyy的通解为xxeCeC3221.又xxexf2)(，由于2是特征单根，可设原方程的特解为xebaxxy2)(*.把它代入原方程，得xbaax22，比较等式两边同次幂的系数，得0212baa，解得121ba，因此求得一个特解为xexxy2)121(*，从而所求的通解为xxxexxeCeCyy223221)2(*.7.解对函数)()1(2xuxy求导，得)()1()()1(22xuxxuxy，将其与y一起代入所给的微分方程，得32)1()()1(2)()1()()1(2xxuxxuxxux，xxu1)(，故Cxxu2)1(21)(．8.解（1）方程两边同时除以32yx，并整理得22211)1(xyxy，由一阶微分方程的求解公式，有32221][1xCxCdxexeyxdxxdx．（2）方程两边同时除以2y，并整理得11)1(1)1(yxy，由一阶微分方程的求解公式，有211][111xxCedxeCyxdxxdx．10.解方程不显含设y，令py，则py，原方程即12pp，分离变量，得dxpdp21，两边积分，得5Cxpp2|11|ln．将0)0(y代人，得0C，故xpp2|11|ln，或1122xxeep，故)1ln(112122xxxexCdxeey．将0)0(y代入，得2ln1C．故所求初值问题的解为chxexyxln)1ln(2ln2．11.解方程不显含设y，令py，则py，原方程即12xppx，即211xpxdxdp，由一阶微分方程的求解公式，有)(ln1]1[12CxxCdxexepxdxxdx．即)(ln1]1[12CxxCdxexeyxdxxdx，两边积分，得2121lnln21)(ln1CxCxdxCxxy．12.解（1）该二阶常系数线性齐次方程的特征方程为0542，得两个不相等的实特征根1和5，于是该方程的通解为xxeCeCy521．（2）这是二阶常系数线性非齐次方程，其对应齐次方程的特征方程为042，得两个不相等的实特征根0和4，故其对应齐次方程的通解为xeCCy421．为了求得该方程的一个特解，设Axy*代人原方程，得054A，45A，于是该方程的通解为xeCCyx45421．（3）这是二阶常系数线性非齐次方程，其对应齐次方程的特征方程为0442，得两个相等的实特征根2，故其对应齐次方程的通解为xexCCy221)(．为了求得该方程的一个特解，设xeCBxAxxy222)(*代人原方程，得121A，0B，0C，该方程的通解为xxexexCCy24221121)(．（4）这是二阶常系数线性非齐次方程，其对应齐次方程的特征方程为022，得两个不相等的实特征根2和1，故其对应齐次方程的通解为xxeCeCy221．为了求6得该方程的一个特解，设xBxAy2sin2cos*代人原方程，得52A，56B，于是该方程的通解为xxeCeCyxx2sin562cos52221．