微积分(下)模拟试卷二

1杭州商学院微积分(下)模拟试卷(二)一、填空题（每小题2分，共20分）1、xattfxd)2(dd.2、202d,maxxxx.3、294dxx.4、已知级数121nnq收敛,则q的范围是.5、已知幂级数1nnnxa的收敛半径是R)0(R,则12nnnxa的收敛半径为。6、2220sinsinlimyxxyyxyx。7、设)arctan(),(xyyxf,则xf.8、设yyxxzddd,则yxz2.9、设D由xy,xy2及x轴所围,则Dyxdd.10、微分方程xxyy2的通解是.二、单项选择（每小题2分，共10分）1.10e1dxx（）.（A）0（B）2ln)e1ln(（C）2ln)e1ln(1（D）2ln12.设幂级数0)2(ln!)1(nnnnxn,则其和函数)(xS（）.（A）x)2(ln（B）x2（C）x)2(（D）x)21(3.设)sin(2yxz,则22xz（）（A）)sin(2yx（B）)cos(2yx（C）)sin(2yx（D）)cos(2yx4.微分方程0dd22xyyx满足1)2(y的特解是（）（A）3yx（B）522yx（C）933yx（D）2311yx.25.若),(yxfz具有二阶连续偏导数,且kfxy(常数),则),(yxfy()（A）22k（B）ky（C）)(yky（D）)(ykx三、计算题（每小题7分，共49分）1、已知203d)()(xxfxxf,求)(xf.2、2022d2sin12cosxxx.3、判别级数13)1(nnnnn的敛散性,若收敛,说明是绝对收敛还是条件收敛.4、已知)sin(eyxz,求002yxyxz.5、设函数),(yxfz由方程1222222czbyax确定,求zd.6、求660dcosdyxxxy.7、求微分方程xyyye343的通解.四、应用题(8+9=17分)1、已知某产品的需求函数为5.0210000xpQ,其中Q为需求量,p为价格,x为广告费用,生产此产品的可变成本为50元/件,固定成本(不含广告费用)为10000元,求使利润达到最大时的价格与广告费用.2、设平面图形由曲线3xy与xy所围,(1)求此平面图形的面积;(2)求此平面图形分别绕x轴与y轴旋转所得旋转体的体积.五、证明题(4分)已知na是正项数列,数列nb满足:11b,nnnnbabb1,,2,1n,证明:若级数1nna收敛,则级数11)(nnnbb也收敛.3杭州商学院微积分(下)模拟试卷参考答案一、填空题(每小题2分，共20分)1、)2(xf2、6173、64、1||q5、R6、07、)1(22xyxy8、xxz1,02yxz9、110、2e21xCy二、单项选择（每小题2分，共10分）1、B2、D3、A4、C5、D三、计算题（每小题7分，共49分）1、解:设20d)(xxfI,两边从0到2积分,IIxxI242d203,即4I,所以4)(3xxf.2、解:原式2303202d2cosd2cosd2cos2cosxxxxxxx2202)2(sind)2sin1(2)2(sind)2sin1(2xxxx38)2sin312(sin2)2sin312(sin22303xxxx.3、解:1313131lim3311limlim111nnnnnnnnnnnnnnnnnuu,所以原级数绝对收敛.4、解:)cos()sin(yxexzyx,)]sin()([cos2)sin(2yxyxeyxzyx,所以1002yxyxz.5、解:两边微分,0d2d2d2222czzbyyaxx,所以yzbycxzaxczddd2222.6、解:交换积分次序，原式21dcosdcosd60060xxyxxxx.47、解:特征方程0432rr,4,1r,对应齐次方程的通解为xxCCY421ee,设原方程的特解为xaxye,代入原方程,得53a,所以原方程的通解为xxxxCCye53ee421.四、应用题(8+9=17分)1、解:利润函数xQQpxpL5010000),(10000500000100005.025.01xxpxp,令01250000500001000000100005.025.015.035.02xpxpLxpxpLxp,解得唯一驻点625100xp,由实际问题,此时利润最大.2、解:(1)1254132d)(103xxxS,145d)(106xxxVx,52d)(10432yyyVy,或52d)(2103xxxxVy.五、证明题(4分)证:因为0na,而nnnnbabb1,11b,,2,1n由归纳法可知,0nb,所以01nnnnbabb,,2,1n,另一方面,111bbbabbnnnnn,,2,1n,从而nnnabb10,由正项级数的比较判别法,由于正项级数1nna收敛,则正项级数11)(nnnbb也收敛.5杭州商学院微积分(下)模拟试卷(二)详解一、填空题(每小题2分，共20分)1、xattfxd)2(dd.)2(xf2、202d,maxxxx.解：6173721ddd,max21210202xxxxxxx.3、294dxx.解:294dxx623arctan61)23(1)23(d32412xxx.4、已知级数121nnq收敛,则q的范围是.1||q5、已知幂级数1nnnxa的收敛半径是R)0(R,则12nnnxa的收敛半径为。R6、2220sinsinlimyxxyyxyx.07、设)arctan(),(xyyxf,则xf.)1(22xyxy8、设yyxxzddd,则yxz2.xxz1,02yxz.9、设D由xy,xy2及x轴所围,则Dyxdd.110、微分方程xxyy2的通解是.解:22221]d[dd2d2xxxxxxxCeCxxeeCxexey.二、单项选择（每小题2分，共10分）1、10e1dxx（）.(A)0(B)2ln)e1ln((C)2ln)1ln(1e(D)2ln1解:10e1dxx1010)1eln(1edexxx2ln)e1ln(,选(B).62、设幂级数0)2(ln!)1(nnnnxn,则其和函数)(xS（）.(A)x)2(ln(B)x2(C)x)2((D)x)21(解:0)2(ln!)1(nnnnxnxxnnxeexn2)2ln(!12ln2ln0,选(D).3、设)sin(2yxz,则22xz（）(A))sin(2yx(B))cos(2yx(C))sin(2yx(D))cos(2yx解:选(A).4、微分方程0dd22xyyx满足1)2(y的特解是（）(A)3yx(B)522yx(C)933yx(D)2311yx解:分离变量,0dd22yyxx,积分,Cyx33,将1)2(y代入,得9C,选(C).5、若),(yxfz具有二阶连续偏导数,且kfxy(常数),则),(yxfy()(A)22k(B)ky(C))(yky(D))(ykx解:选(D).三、计算题（每小题7分，共49分）1、已知203d)()(xxfxxf,求)(xf.解:设20d)(xxfI,两边从0到2积分,IIxxI242d203,即4I,所以4)(3xxf.2、2022d2sin12cosxxx.解:原式2303202d2cosd2cosd2cos2cosxxxxxxx2202)2(sind)2sin1(2)2(sind)2sin1(2xxxx38)2sin312(sin2)2sin312(sin22303xxxx.3、判别级数13)1(nnnnn的敛散性,若收敛,说明是绝对收敛还是条件收敛.7解:1313131lim3311limlim111nnnnnnnnnnnnnnnnnuu,所以原级数绝对收敛.4、已知)sin(eyxz,求002yxyxz.解:)cos(e)sin(yxxzyx,)]sin()([cose2)sin(2yxyxyxzyx,所以1002yxyxz.5、设函数),(yxfz由方程1222222czbyax确定,求zd.解:两边微分,0d2d2d2222czzbyyaxx,所以yzbycxzaxczddd2222.6、求660dcosdyxxxy.解:交换积分次序,原式21dcosdcosd60060xxyxxxx.7、求微分方程xyyye343的通解.解:特征方程0432rr,4,1r,对应齐次方程的通解为xxeCeCY421,设原方程的特解为xaxey,代入原方程,得53a,所以原方程的通解为xxxxCCye53ee421.四、应用题(8+9=17分)1、已知某产品的需求函数为5.0210000xpQ,其中Q为需求量,p为价格,设平面图形由曲线3xy与xy所围,为广告费用,生产此产品的可变成本为50元/件,固定成本(不含广告费用)为10000元,求使利润达到最大时的价格与广告费用。解:利润函数xQQpxpL5010000),(10000500000100005.025.01xxpxp,8令01250000500001000000100005.025.015.035.02xpxpLxpxpLxp,解得唯一驻点625100xp,由实际问题,此时利润最大.2、设平面图形由曲线3xy与xy所围,(1)求此平面图形的面积;(2)求此平面图形分别绕x轴与y轴旋转所得旋转体的体积.解:(1)1254132d)(103xxxS,(2)145d)(106xxxVx,52d)(10432yyyVy,或52d)(2103xxxxVy.五、证明题(4分)已知na是正项数列,数列nb满足:11b,nnnnbabb1,,2,1n,证明:若级数1nna收敛,则级数11)(nnnbb也收敛.证:因为0na,而nnnnbabb1,11b,,2,1n由归纳法可知,0nb,所以01nnnnbabb,,2,1n,另一方面,111bbbabbnnnnn,,2,1n,从而nnnabb10,由正项级数的比较判别法,由于正项级数1nna收敛,则正项级数11)(nnnbb也收敛.