微积分2习题答案

（本科）《微积分》练习二答案１一、填空题1．设)(xP是x的多项式，且26)(lim23xxxPx，3)(lim0xxPx，则)(xP2．))(arcsin(lim2xxxx6xxx32623↑3．321limxxx32e4．设Axxaxxx14lim31，则有a，A4，－25．设xxxxxfsin2sin)(，则)(limxfx26．232031sinsinlimxxxxx317．函数)2)(1(1xxxy的间断点是1x8．为使函数xxxftan1在点0x处连续，应补充定义0f19．设函数00)1(3xKxxyx在0x处连续，则参数K3e10．函数010)(xexaxxfx在点0x处连续，则a2二、单项选择题1．设0nx，且nnxlim存在，则nnxlim②①0②0③0④02．极限111limxex③①②1③不存在④03．xxxxxx1sinlim)1(lim10④①e；②1e；③1e；④11e4．213xxxy的连续区间是__________________②①,11,22,②,3③,22,④,11,5．函数1211111xxxxy的不连续点有③①2个②3个③4个④4个以上6．下列函数中，.当0x时，与无穷小量x相比是高阶无穷小量的是___________；是等价无穷小量的是__________________①，②①xcos1②2xx③x④x2sin（本科）《微积分》练习二答案２7．当0x时，xsin与||x相比是②①高阶无穷小量②低阶无穷小量③同阶但不等价的无穷小量④等价无穷小量8．当0x时，x2cos1与2x相比是②①高阶无穷小量②同阶但不等价的无穷小量③低阶无穷小量④等价无穷小量9．设00,3sinxkxxxxf为连续函数，则k=_______________②①1②－3③0④310．函数xf在点0x处有定义是xf当0xx时极限存在的④①充分但非必要条件②必要但非充分条件③充分必要条件④既非充分又非必要条件11．当0x时，下列函数中比x高阶的无穷小量是②①xxsin②xxsin③x1ln④x1ln12．当0x时，下列函数中为无穷小量的是②①xx1sin②xx1sin③xxsin1④xxsin113．当x时，下列函数中为无穷小量的是③①xx1sin②xx1sin③xxsin1④xxsin114．设在某个极限过程中函数xf与xg均是无穷大量，则下列函数中哪一个也必是无穷大量③①xgxf②xgxf③xgxf④xgxf15．设axf0，bxfxx0lim，cxfxx0lim，则函数xf在点0x处连续的充分必要条件是④①ba②ca③cb④cba16．1x是10111)(112xxexxxfx的④①连续点②跳跃间断点③可去间断点④无穷间断点三、求下列极限1．)1(lim2xxx011lim2xxx2．)1(lim2xxx3．)2222(lim22xxxxx22212214lim22224lim2222xxxxxxxxxxx4．xxx1arcsinarctanlim0（本科）《微积分》练习二答案３5．)111)(110()110()13()12()1(lim2222xxxxxxx（27）6．)21(lim222nnnnnnnn[解]记nnnnnnnxn22221因为222222nnnnnnxnnnnnnnnnn即11nxnn，由于11limnnn，所以由夹逼定理，得1limnnx7．设2006)1(limnnnn，求,[解]原式左端nonnnnnnnn1111lim111lim11lim1nnonnn（1）由于极限存在，故1。2006120061，200620051200611四、分析题1．讨论极限xxx|sin|lim0[解]因为1|sin|lim0xxx，1|sin|lim0xxx，故原极限不存在。2．求23122xxxy的间断点，并判别间断点的类型。[解]因为)2)(1(232xxxx，而2231lim221xxxx，231lim222xxxx因此有间断点：1x为可去间断点，2x为无穷间断点。.3．求函数xxy16的连续区间，若有间断点，试指出间断点的类型。[解]函数的连续区间为),0()0,(，点0x为函数的第二类无穷间断点。4．讨论函数txtxttxxf11lim)(的连续性。[解]1)1(011lim11lim11lim)(xxxyyxyttxytxtxttxtxteyttxtxxf令在点1x处没有定义，是间断点，故)(xf的连续区间为),1()1,(，点1x为)(xf的第二类无穷间断点。（本科）《微积分》练习二答案４5．讨论函数010cos)(xxxxxf在点0x处的连续性。[解]1coslim)(lim00xxfxx，1)1(lim)(lim00xxfxx∴)(xf在点0x处连续性。6．设函数02cos0xxxxxxaaxfy（0a）（1）当a取何值时，点0x是函数xf的间断点？是何种间断点？（2）当a取何值时，函数xf在，上连续？为什么？[解]（1）在点0x处，21)0(f，212coslim)(lim00xxxfxx，axaaxxaaxfxxx211limlim)(lim000当0a且1a时，由于)(lim)(lim00xfxfxx，所以点0x是xf的跳跃间断点。（2）当1a时，由于)0()(lim)(lim00fxfxfxx，则xf在点0x处连续。又因为在)0,(或),0(上，xf为初等函数，所以连续。故当1a时，函数xf在，上连续。7．设函数4110011xaxxxxxfy（1）求函数xf的定义域；（2）讨论函数xf在点0x处的极限是否存在？为什么？（3）a为何值时，函数xf在点1x处连续？并求函数xf的连续区间；（4）画出函数xfy的图形。[解]（1）]4,1()1,(fD（2）因为111lim)(lim00xxfxx，0lim)(lim00xxfxx，所以)(lim0xfx不存在（3）在点1x处，af)1(，1lim)(lim11xxfxx，aaxfxx11lim)(lim，所以，当1a时，)1()(lim)(lim11fxfxfxx，即函数xf在点1x处连续。此时，xf的连续区间为：]4,1()1,(（4）略五、证明题1．证明方程475xx在区间)2,1(内至少有一个实根。[证]设47)(5xxxf，)(xf在]2,1[上连续，又010)1(f，014)2(f，由零点定理知，在)2,1(内至少存在一点，（本科）《微积分》练习二答案５使得0)(f，即0475，故方程475xx在区间)2,1(内至少有一个实根。2．证明：方程kxxsin2（0k）至少有一个正根。[证]设),0[sin2)(Ckxxxf因为0)0(kf，0)3sin(23)3(kkf故由零点定理知，)3,0(k，使得0)(f，所以方程kxxsin2至少有一正根。3．证明方程2sinxax（0a）至少有一个正根，并且不超过2a。[证]设2sin)(xaxxf，下面分两种情形来讨论：情形1若1)2sin(a，则因为0a，故2a是方程2sinxax（0a）的正根，并且不超过2a。情形2若1)2sin(a，则因0a，故0)]2sin(1[)2(aaaf，02)0(f，又因)(xf在]2,0[a上连续，故由零点定理知，)2,0(a，使得0)(f，因此是方程2sinxax（0a）的正根，并且不超过2a。4．设n为正整数，函数)(xf在],0[n上连续，且)()0(nff，证明存在数],0[1,naa，使得)1()(afaf。[证]若1n，即)1()0(ff，取0a，]1,0[11a，结论成立。若2n，作辅助函数)()1()(xfxfxF，易知)(xF在]1,0[n上连续，因为0)0()()]1()([)]2()3([)]1()2([)]0()1([)1()1()0(fnfnfnfffffffnFFF则n个实数)1(,),1(),0(nFFF全部为零或同时有正数与负数，（1）若这些数全部为零，即0)1()1()0(nFFF，则结论成立。（2）若这些数中有正数与负数，即有某个)1,0,(,0)(,0)(njijijFiF于是由零点定理可知，在i与j之间存在一点a（显然],0[1,naa），使得0)(aF，即)1()(afaf###