学而思寒假七年级尖子班讲义第3讲平面直角坐标系

1领先中考培优课程MATHEMATICS3平面坐标系知识目标目标一理解有序数对、有序数对、点的坐标的概念目标二掌握象限、坐标轴、坐标轴夹角平分线的点的坐标特征目标三灵活运用点和线的平移变换。点的对称变换求坐标2模块一平面直角坐标系的相关概念知识导航1有序数对有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a,b),利用有序数对可以可以很准确的表示出一个位置。2平面直角坐标系3、点的坐标平面内的点可以用一个有序数对表示，这个有序数对就叫做点的坐标。对于平面内任意一点，过该点分别向横轴、纵轴作垂线，垂足在横轴、纵轴上对应的数分别叫做该点横坐标、纵坐标。在平面内两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系、水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向：竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面坐标系的原点。如左图，建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成了Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个部分,每个部分称为象限，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的点不属于任何象限。Ⅰ第一象限Ⅳ第四象限Ⅲ第三象限Ⅱ第二象限原点如图，点p为坐标平面内一点，过点p作x轴的垂线，垂足M在x轴上对应点的数是-2，则-2就是p的横坐标；过点p作y轴的垂线，垂足N在y轴上对应的数为3，则3为点p的纵坐标，点p就可以用有序数对（-2，-3）来表示，记作p（-2,3）。由坐标确定点的方法：要确定由坐标（a,b)所表示的点p的位置，先在x轴上找到表示a的点，过这点作x轴的垂线；再在y轴上找到表示b的点，过这点作y轴的垂线，两条垂线的交点p即为所求的位置。由点求坐标的方法：先由已知点p分别向x轴和y轴作垂线，设垂足分别为A和B，再求出A在x轴上的坐标a和B在轴上的坐标b，则点p的坐标为（a,b)3巩固练习点的坐标(1)在图1的平面直角坐标系中描出下列个点：A(3，4),B(-2，3),C(-5，-2),D(4，-1),E(1，0),F(0，3),G(-2，0),H(0，-4).(2)写出图2中点A、B、C、D、E、F、G、H的坐标。yx–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O图1图24象限及坐标轴的点坐标特征象限内的点p（a,b)坐标轴上的点p(a,b)点p在第一象限a＞0,b＞0点p在x轴正半轴a＞0,b=0点p在第二象限a＜0，b＞0点p在x轴负半轴a＜0，b=0点p在第三象限a＜0，b＜0点p在y轴正半轴a=0，b0点p在第四象限a＞0,b＜0点p在y轴负半轴a=0，b＜05、坐标轴夹角平分线上的点的特征若点p(a,b)在一、三象限的角平分线上，则a=b,例如p(3,3)p(-5,-5)等；若点Q(a,b)在二、四象限的角平分线上，则a=-b,例如Q(-1,1)p(4,-4)等;6、平面直角坐标系内点到坐标轴的距离公式点p(a,b)到x轴的距离为b；点p（a,b)到y轴的距离为a，Q（n,m）p(a,b)ab4题型一坐标系概念应用例1(1)若用有序数对（3,6）表示教室中前起第3排，左起第6列的位置，那么前起第2排，左起第4列的位置有序数对可表示为。(2)点（2,1）在第象限；点（-2,1）在第象限；点（-2，-1）在第象限；点（2，-1）在第象限。（3）若点（a+1,-5)在第三象限，则a的取值范围为；若点（-5,a+1)在第二象限，则a的取值范围为；（4）点p（6，x-5)在第四象限，则x的取值范围是；点p（x-1，4-x)在第一象限，则x的取值范围是；（5青山区2015-2016年七下期中）点A在x轴上，位于原点右侧，距离原点2个单位，则点A坐标为。（洪山区2015-2016七下期中）若点p(m+3,m+1)在x轴上，则点p的坐标为。（6）已知点P(x,y)在第四象限，且x=3，y=5，则p点的坐标为。练（1）实数x,y,满足021yx，则点p(x,y)的位置在第象限；（2）（汉阳区2015-2016七下期中）写出一个在x轴正半轴上点的坐标。例2（1）（武昌七校2015-2016七下期中）点p(-5,6)到x轴的距离是，点Q(3,6)到y轴的距离是，线段pq的长度是。（2）（江汉区2015-2016七下期中）已知点A（4,3），AB∥y轴，且AB=3，则B点的坐标为练（1）（江岸区2015-2016七下期中）点M(-3,2)到x轴的距离是。（2）（硚口区2015-2016七下期中）点A（2,5），点B在过A点且平行于x轴的直线上，点B到点A的距离是4个单位，则点B的坐标是。5例3（1）已知点p位于y轴右侧，距y轴3个单位长度，位于x轴的上方，距x轴4个单位长度，则点p的坐标是（2）已知点p的坐标（2-a,3a+6),且点p到两坐标轴的距离相等，则点p的坐标是。（3）点M在第一、三象限的角平分线上，且到x轴的距离为2，则点M的坐标是。（4）点A（5，y-1),B(x+3,2)都在第二、四象限的角平分线上，则x+y=。练（1）已知A（5，y-1),B(x+3,-2)都在第一、三象限的角平分线上，则x=,y=（2）点p(2x,x+3)在坐标轴角平分线上，则点Q（-x+2,2x+3)坐标是题型二建立平面直角坐标系例4(1)(江岸区2015-2016七下期中）如图，由小正方形组成格点图形，已知格点A坐标为（-1，-2），则格点B的坐标为。(2)（洪山区2015-2016七下期中）如图所示的象棋盘上，若“帅”位于点（1-2）上，“相”位于点（3，-2）上，则：“炮”位于点的坐标是多少？6（3）小明从点p出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用（-40，-30）表示，那么（10,20）表示的位置是哪个点？点A和点D的坐标分别是多少？练（青山区2015-2016七下期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC，正方形ABDE、正方形ACGF的顶点均在格点上。（1）以格点为原点，建立合适的平面坐标系，使得B/C两点的坐标分别为B(-1，-3),C(4，-3),则点A的坐标为；点D的坐标为；（2）利用面积计算线段AB=，AC=,则AB/AC/BC三条线段的数量关系为7模块二、平面直角坐标系中的平移变换知识导航1平移2、坐标系中点的平移3、坐标系中图形的平移把一个图形中各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，即图形整体向右（或向左）平移a个单位。把一个图形中各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数b，即图形整体向右（或向左）平移b个单位.平移前平移方式平移后点p(a,b)向左平移m个单位长度点'p(a-m,b)点p(a,b)向右平移m个单位长度点'p(a+m,b)点p(a,b)向上平移m个单位长度点'p(a,b+n)点p(a,b)向下平移n个单位长度点'p(a,b-n)把一个图形整天沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与远图形的形状和大小完全相同。图形的这种移动，叫做平移。（图形平移的方向，不限于是水平的，也可以竖直或倾斜）新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点平移后得到的新图形中的每一点，都是由原图形中某一点平移后的到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的连线段平行（或在同一条直线上）且相等，可见原图形中每一个点的平移方向和平移距离均相同。如左图，线段AB向下平移3个单位长度得到线段''BA,线段上的每一个点的横坐标不变，纵坐标减去3.再向右平移5个单位长度得到线段''''BA,线段上每一个点横坐标加5，纵坐标不变。8例5（1）已知点A的坐标为（3,5），则点A：先向上平移3个单位，则点坐标为；再向下平移5个单位，则点坐标为；再向左平移7个单位，则点坐标为；再向右平移9个单位，则点坐标为；（2）已知点B的坐标为（3,5），则点B：先向上平移a个单位，则点坐标为；再向下平移b个单位，则点坐标为；再向左平移c个单位，则点坐标为；再向右平移d个单位，则点坐标为；练（江汉区2015-2016七下期中）如图，三角形ABC经过平移后，使点A与点)41('，A重合，（1）画出平移后的三角形'''CBA;（2）写出平移后三角形'''CBA另外两个顶点的坐标为'B（）'C（）；（3）若三角形ABC内有一点p(a,b),经过平移后的对应点'P的坐标为（）；例6（1）点p(m,n)向右平移2个单位，向下平移3个单位得'P（3,5），则P点坐标为；(2)点p(m-1,2n+1)向右平移3个单位，向下平移2个单位得'P（n,3m），则P点坐标为；(3)已知AB两点的坐标分别为（1,0）（0,2），若将线段AB平移到''BA，点'A、'B的坐标分别为（2，a)、（b,3),则a+b=.练（1）若将点p(a-2,b+1)向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到点'P（2b,3a），则P点坐标.(2)已知AB两点的坐标分别为A（3,4）（2,,20），若将线段AB平移至11BA，点）（0,11A、求点1B的坐标；9模块三平面直角坐标中的对称变换知识导航1轴对称:把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说“成轴对称”），这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。2坐标系中对称点的坐标关系对称前对称方式对称后点p(a,b)关于x轴对称点'p(a,-b)点p(a,b)关于y轴对称点'p(-a,b)点p(a,b)关于一、三象限角平分线对称点'p(b,a)点p(a,b)关于二、四象限角平分线对称点'p(-b,-a)点p(a,b)关于原点对称（原点为中点）点'p(-a,-b)点p(a,b)关于Q(m,n)点对称（Q为中点）点'p(2m-a,2n-b)对称点所连的线段的中点在对称轴上，并且垂直于对称轴，即对称点到对称轴的距离相等。如左图，点p与1p，点Q与1Q关于x轴对称，点p与2p，点Q与2Q关于y轴对称.10巩固练习：关于特殊直线的对称点的坐标题型一关于特殊直线对称例7（1）（硚口区2015-2016七下期中）点（3-2）关于x轴对称的点'A的坐标是；（2）点p(2,3)关于x轴对称的点的坐标是，关于y轴对称的点的坐标是；关于x=-2对称的点的坐标是，关于y=4对称的点的坐标是；关于y=x轴对称的点的坐标是，关于y=-x轴对称的点的坐标是；（3）点p(a+3b,3)与点Q（-5，a+2b)关于x轴对称,则a=，b=。（4）点p(1,a-2)与关于x轴对称的点在第一象限，则a的取值范围。（5）点p(a-1,3-2a)关于一、三象限角平分线对称,点在第二、四象限角平分线上，则a=.练（1）点（1,2）关于x轴对称点的坐标是，关于y轴对称点的坐标是；关于x=-1对称点的坐标是，关于y=1对称点的坐标是；关于y=x对称点的坐标是，关于y=-x对称点的坐标是；（2）p(3m+2,2n-1)关于x轴对称点在第三象限，求m,n的取值范围。对称前对称方式对称后点p(a,b)关于平行于y轴的直线x=m对称点'p(2m-a,b)点p(a,b)关于平行于x轴的直线y=m对称点'p(a,2n-b)11题型二关于点对称例8（1）点（3，8）与点关于原点对称，与点（1,3）关于点对称，与点（）关于点（2,1）对称。（2）点（a,b)与点关于原点对称，与点关于点（2,1）对称。练（1）点（2,7）关于原点对称的点坐标是，点（2,7）关于点（5,1）的对称点的坐标是（2）点（a,b)关于点（2,7）对称的点坐标是,点（a,b)关于点（2a+1,3b-2)的对称点的坐标是数学趣题正整数集只是有理数集合的一部分，有趣的是，德国数学家康托尔（1845-1918）曾将所有有理数像正整数那样排成一列纵队，从而和正整数集一一对应起来，让我们跟随康托尔的思路吧！任一个有理数都可以写成一个既约分数qp（p，q都是整数），它可以对应着网格纸（如图）上的一个点，即p所在行与q所在列的交点，记为点（q，p）如31对应图中的点A(3，1),这样，每个有理数对应着网格纸上的一个格点（水平线与竖直线的交叉点），而康托尔用图中的方法从中心O出发“螺