必修2红对勾第一章单元评估题(一)

第一章单元评估题(一)时限：120分钟满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．下列说法中正确的是()A．直角梯形绕其一边旋转形成圆台B．直角三角形绕其一边旋转形成圆锥C．圆柱不是旋转体D．圆台可以看作是平行于底面的平面截一个圆锥而得到的解析：圆台是直角梯形绕垂直于底边的腰旋转而得到的．故A不正确；圆锥是直角三角形绕其直角边旋转而得到的，故B不正确；而圆柱、圆锥、圆台、球都是旋转体．故C不正确．答案：D2．下面有关三视图的说法中，错误的是()A．正方体的三视图中不可能有三角形B．正四面体的三视图均为正三角形C．球的三视图都是圆D．圆柱的三视图有可能是两个正方形和一个圆解析：A中无论正方体如何摆放，其三视图均不可能有三角形；B中由于摆放位置的不同，则正四面体的三视图有可能不为正三角形；C显然正确；D中当底面直径长度等于母线长度时，则圆柱竖直放置的三视图为正方形、正方形、圆．答案：B3．在棱长为1的正方体中，分别用过公共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是()A.23B.76C.45D.56解析：用正方体的体积减去8个小三棱锥的体积就是剩下的多面体的体积，每个小三棱锥的体积是正方体体积的148，V＝1－148×8＝56.答案：D4．一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是()A．1∶3B．2∶3C．1∶2D．2∶9答案：C5．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积之比为()A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π解析：设圆柱底面半径为r，则高为2πr，S表S侧＝2πr·2πr＋2·πr22πr·2πr＝1＋2π2π.答案：A6．有一个几何体的三视图及其尺寸如图1(单位：cm)，则该几何体的表面积及体积分别为()图1A．24πcm2,12πcm3B．15πcm2,12πcm3C．24πcm2,36πcm3D．15πcm2,36πcm3解析：如图2所示，由三视图可知该几何体为圆锥，并且底面直径为6，母线长为5，∴底面半径r＝3，母线l＝5，圆锥的高h＝l2－r2＝4，∴S表面积＝πr2＋πrl＝24π(cm2)，V体积＝13·πr2·h＝12π(cm3)，故选A.图2答案：A7．设长方体的体对角线长度为4，过每一顶点有两条棱，与对角线的夹角都是60°，则此长方体的体积是()A．82B．83C.39D．163图3解析：如图3所示，对角线AC′，由于过每一顶点都有两条棱与对角线夹角为60°，则此两条棱关于对角线对称．如图2所示，设棱AB、AD与AC′夹角为60°，则可以算出AB＝2，BC′＝23.设棱D′C′，B′C′与AC′的夹角为60°，则可以算出B′C′＝2，故长方体的高BB′＝BC′2－B′C′2＝12－4＝22，故长方体的体积V＝AB·BC·BB′＝2×2×22＝82.答案：A8．已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于()A．22B.233C.433D.33解析：正方体的外接球的直径为正方体的体对角线．设正方体的棱长为a，则其体对角线长为3a2＝3a，外接球的半径R＝32a，则其体积V＝43πR3＝43π(32a)3＝323π，∴a＝433.答案：C9．(2009·山东高考)一空间几何体的三视图如图4所示，则该几何体的体积为()图4A．2π＋23B．4π＋23C．2π＋233D．4π＋233解析：由几何体的三视图可知，该几何体是由一个底面直径和高都是2的圆柱和一个底面边长为2，侧棱长为2的正四棱锥叠放而成．故该几何体的体积为V＝π×12×2＋13×(2)2×3＝2π＋233，故选C.答案：C10．某工厂用圆台形缸盛满食油，已知油缸上、下底面半径分别为40cm、20cm，用了37天后，油的高度下降为原来的一半．若每天用油量相等，则剩余的油还能用()A．18天B．19天C．20天D．21天答案：B图511．(2010·北京高考，理)如图5，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上．若EF＝1，A1E＝x，DQ＝y，DP＝z(x，y，z大于零)，则四面体PEFQ的体积()A．与x，y，z都有关B．与x有关，与y，z无关C．与y有关，与x，z无关D．与z有关，与x，y无关解析：∵DC∥A1B1，EF＝1，∴S△EFQ＝12×1×22＝2(定值)．四面体PEFQ中面EFQ上的高为P到面A1DCB1的距离，为DP·sin45°＝22z.图6∴V四面体PEFQ＝13×2×22z＝13z.答案：D12．向高为H的水瓶中匀速注水，注满为止，如果注水时间t与水深h的函数关系的图象如图6所示，那么水瓶的形状是()解析：首先排除C，由于圆柱的注水时间与高度是一次函数关系；刚开始时，水高度增加较快，则应为A或D.在曲线的末端，水深在短时间有一个激增，A的注水高度随时间应该越来越缓，而只有D的形状才会在最后快注满时，水深有一个激增．故应选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共20分)13．内接于半径为2cm的球的正方体的表面积为________．解析：内接于半径为2cm的球的正方体的体对角线长等于球的直径，设正方体的边长为acm，所以3a＝2×2，a＝43.S表＝6×(43)2＝32(cm2)．答案：32cm214．正四棱锥P—ABCD的五个顶点在同一个球面上，若该正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为6，则此球的体积为________．解析：如图7所示，设底面中心为O′，球心为O，设球半径为R，∵AB＝2，则AO′＝2，PO′＝PA2－AO′2＝2，OO′＝PO′－PO＝2－R.在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2⇒R2＝(2)2＋(2－R)2，∴R＝32，∴V球＝43πR3＝92π.图7答案：92π15．关于“斜二测”直观图的画法，有如下说法：①原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的12；②等腰三角形的直观图仍为等腰三角形；③梯形的直观图仍然是梯形；④正三角形的直观图一定为等腰三角形．其中说法正确的序号是________．解析：①斜二测画法中平行关系和相交关系不变，且平行于y轴的直线，其长在y′中变为原来的12，①对；②不一定，因为底边上的高变为原来的12，且与水平轴夹角为45°，故两腰不可能相等，但腰可能与底相等；③平行关系和相交关系不变，故梯形的直观图仍为梯形；④同②一样，不对．答案：①③16．(2010·辽宁高考，理)如图8，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．图8解析：将几何体补充出来，如图9所示．最长棱为TG＝4＋8＝23.图9答案：23三、解答题(共70分)17．(本小题10分)设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，如图10所示，高是0.85m，底面的边长是1.5m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？(保留两位有效数字)图10解：如图11所示，作顶点S在底面ABCD的投影O，过O作OE⊥BC交BC于E，连接SE，由题知SO＝0.85m，BC＝1.5m，故OE＝0.75m.图11在Rt△SOE中，由勾股定理知SE＝OS2＋OE2＝0.752＋0.852≈1.1(m)．故表面积(除底面积)＝4×12·BC·SE＝2×1.5×1.1＝3.3(m2)，即为塔顶需要的铁板面积．18．(本小题12分)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，E、F分别是棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1—EBFD1的体积．解：VA1－EBFD1＝VA1－EFD1＋VA1－EBF，又VA1－EFD1＝VF－A1ED1＝13·CD·12A1E·A1D1＝13·a·12·a2·a＝a312，∴VA1－EBFD1＝a36.19．(本小题12分)降雨量是指水平地面单位面积上所降水的深度，现用上口直径为32cm、底面直径为24cm、深为35cm的圆台形水桶来测量降雨量．如果在一次降雨过程中，此桶中的雨水深为桶身的四分之一，则此次降雨量为多少？解：作出轴截面图，如图12：图12由题意知，圆台形水桶的水深为O1O′＝354cm，又因为A1B1A2B1＝ABA2B，所以A1B1＝AB·A2B1A2B＝1.水面半径O1A1＝12＋1＝13(cm)，故桶中雨水的体积是V＝13π×(122＋12×13＋132)×354＝16415π12(cm3)．因为水桶上口的面积为S＝π·162＝256π(cm2)，设每1cm2的降雨量是xcm，则x＝VS＝16415π12×1256π≈5.3(cm)，所以，降雨量约为53mm.20．(本小题12分)直角梯形的一个底角为45°，下底长为上底长的32，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的表面积是(5＋2)π，求这个旋转体的体积．图13解：如图13所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，∠B＝45°，绕AB边旋转一周后形成一圆柱和一圆锥的组合体．设CD＝x，则AB＝32x，AD＝AB－CD＝x2，BC＝22x.S表＝S圆柱底＋S圆柱侧＋S圆锥侧＝π·AD2＋2π·AD·CD＋π·AD·BC＝π·x24＋2π·x2·x＋π·x2·22x＝5＋24πx2.根据题设，5＋24πx2＝(5＋2)π，则x＝2.所以旋转体体积V＝π·AD2·CD＋π3AD2·(AB－CD)＝π×12×2＋π3×12×(3－2)＝73π.21．(本小题12分)我们规定：如果一个棱锥的底面是正三角形，顶点在底面的投影是底面三角形中心，这样的棱锥叫正三棱锥．已知在正三棱锥A—BCD中，底面边长为a，侧棱长为2a，过B点作与侧棱AC、AD相交的截面BEF，在这个截面三角形中，求：(1)周长的最小值；(2)周长最小时的截面面积．解：(1)将三棱锥的侧面展开，如图14②所示．要使周长最小，则三边BE、EF，FB′共线．又△ABB′为等腰三角形，△ABE≌△AB′F，所以△AEF为等腰三角形．所以EF∥CD，∠1＝∠2＝∠3＝∠4.所以△ABC∽△BCE∽△AEF.所以AEAB＝EFBC，AEBC＝EFCE.又AB＝2a，BC＝a，CE＝AC－AE＝2a－AE，代入上述比例式，得AE＝32a，EF＝34a，且∠3＝∠4，所以BC＝BE＝a，B′F＝B′D＝BC＝a.所以BB′＝BE＋EF＋FB′＝114a，即最小周长为114a.图14(2)由(1)知BE＝B′F＝a，所以截面△BEF为等腰三角形，如图9①所示．过B作BG⊥EF于G，则BG＝BE2－EG2＝a2－38a2＝558a.所以S△BEF＝12BG·EF＝35564a2.即截面三角形周长最小时截面的面积为35564a2.22．(本小题12分)图15(1)所示为一实心钢锭，它由两部分组成，下部为一倒置圆台，上部为一半球．圆台上、下底面直径分别为6和4，高为4；球体半径为3.再将此钢锭放入如图15(2)所示的长方体容器中，此容器底面长为8，宽为9.已知放入后钢锭没入水中且没有水溢出，求放入后水面上升的高度．图15解：设放入后水面上升高度为Δh，原高为h，则此时水柱体积V′＝8×9×(h＋Δh)，原体积V0＝8×9h，则前后体积变化为ΔV＝72Δh.V实心＝V圆台＋12V球，V球＝43π×33＝36π.V圆台＝V大圆锥－V小圆锥＝13×π×32(4＋H)－13π×22H，而HH＋4＝46＝23，故H＝8.故V圆台＝13π×32×12－13π×4×8＝763π.故V实心＝V圆台＋12V球＝763π＋18π＝1303π.由题知ΔV＝V实心，即72Δh＝1303π，故Δh＝65108π，故放入后水面上升65108π.