必修2红对勾第四章单元评估题(一)

第四章单元评估题(一)时限：120分钟满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．由曲线y＝|x|与x2＋y2＝4所围成较小扇形的面积是()A.π4B．πC.34πD.32π解析：较小扇形的圆心角为90°，故其面积是圆面积的14，∴S＝14π·22＝π.答案：B图12．直线l过点(－1,0)，且与圆(x－1)2＋y2＝1相切，若切点在第一象限(如图1)，则l的斜率是()A．－33B.33C．－3D.3解析：设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，由题意|k－0＋k|k2＋1＝1，得k＝±33.又∵切点在第一象限，∴k0，∴k＝33.答案：B3．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为()A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离解析：直线方程可化为x－y＋1＝0，圆心到直线的距离d＝12＝221，∴直线与圆相交，又∵(0,0)不在直线上，∴直线不过圆心．答案：B4．直线4x－3y－2＝0与圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－12＝0总有两个交点，则a应满足()A．－3＜a＜7B．－6＜a＜4C．－7＜a＜3D．－21＜a＜19答案：B5．一束光线自点P(1,1,1)发出，被xOy平面反射，到达点Q(3,3,6)被吸收，那么所走的路程是()A.37B.47C.33D.57答案：D6．从点P(m,3)向圆C：(x＋2)2＋(y＋2)2＝1引切线，则切线长的最小值是()A．26B．5C.26D．4＋2答案：A7．若圆C1：(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则实数a，b应满足的关系式是()A．a2－2a－2b－3＝0B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0答案：B8．若直线ax＋by＝1与单位圆x2＋y2＝1有两个公共点，则点P(a，b)与圆的位置关系是()A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上皆有可能答案：B9．设直线2x－y－3＝0与y轴的交点为P，点P把圆(x＋1)2＋y2＝25的直径分为两段，则这两段之比为()A.73或37B.74或47C.75或57D.76或67答案：A10．设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x2＋y2＝2相切，则a的值为()A．±4B．±22C．±2D．±2答案：C11．圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)关于直线y＝x－1对称，则()A．D＋E＝2B．D－E＝－1C．D－E＝－2D．D＋E＝1解析：由圆的性质可知圆心(－D2，－E2)在直线y＝x－1上，∴－E2＝－D2－1，即D－E＝－2.答案：C12．过直线x＝－72上一点P分别作圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：(x－1)2＋y2＝9的切线，切点分别为M、N，则|PM|与|PN|的大小关系是()A．|PM||PN|B．|PM||PN|C．|PM|＝|PN|D．不能确定解析：由圆的性质可知点P、C1、M与点P、C2、N分别构成直角三角形，设P(－72，y0)，∴|PM|＝|PC1|2－r21＝－722＋y20－12＝y20＋454，|PN|＝|PC2|2－r22＝－72－12＋y20－32＝y20＋454，显然|PM|＝|PN|.答案：C二、填空题(每小题5分，共20分)13．圆心在x轴上，半径为5，且过点A(2，－3)的圆的标准方程为________．解析：由题意设圆心坐标为(a,0)，由题意得a－22＋32＝5，解得a＝－2或a＝6，∴圆的方程为(x－6)2＋y2＝25或(x＋2)2＋y2＝25.答案：(x－6)2＋y2＝25或(x＋2)2＋y2＝2514．已知圆的方程是x2＋y2＋4x－4y＋4＝0，则该圆上距原点最近、最远的点分别是________和________．答案：(2－2,2－2)；(－2－2，2＋2)15．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是__________．解析：由题意⊙O1与⊙O在A处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，所以O1A⊥OA.又∵|OA|＝5，|O1A|＝25，∴|OO1|＝5，而A、B关于OO1轴对称，所以AB为Rt△OAO1斜边上高的2倍，即|AB|＝2×5×255＝4.答案：416．已知两个圆：x2＋y2＝1①，x2＋(y－3)2＝1②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为________________________．解析：设圆方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2①，(x－c)2＋(y－d)2＝r2②(a≠c或b≠d)，则①－②得两圆的对称轴方程为2(c－a)x＋2(d－b)y＋a2＋b2－c2－d2＝0.答案：2(c－a)x＋2(d－b)y＋a2＋b2－c2－d2＝0三、解答题(共70分)17．(本小题10分)已知圆的圆心在直线2x＋y＝0上，且与两直线l1：4x－3y＋10＝0，l2：4x－3y－30＝0都相切，求该圆的方程．解：由已知圆的半径r＝12·|10－－30|32＋42＝4.设圆心为(a，b)，则2a＋b＝0，且|4a－3b＋10|42＋－32＝4，|4a－3b－30|42＋－32＝4.解得a＝1，b＝－2.故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝16.18．(本小题12分)过A(1,2)，B(3,4)两点作一圆，使它在x轴上截得的弦长等于6，求这个圆在y轴上截得的弦长．解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，∵|x1－x2|＝6，∴D2－4F＝36，∴D2－4F＝36D＋2E＋F＋5＝0，3D＋4E＋F＋25＝0∴D＝－8E＝－2F＝7或D＝12E＝－22.F＝27∴所求圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋7＝0或x2＋y2＋12x－22y＋27＝0.又∵圆x2＋y2－8x－2y＋7＝0与y轴无交点．∴所求圆的方程为x2＋y2＋12x－22y＋27＝0.令x＝0得y2－22y＋27＝0.∴|y1－y2|＝294.即该圆在y轴上截得的弦长为294.19．(本小题12分)如图2所示，在单位正方体ABCD—A1B1C1D1中，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．图2求：(1)A1、C、C1三点的坐标；(2)A1C和A1C1的长度．解：(1)A1(1,0,1)，C(0,1,0)，C1(0,1,1)．(2)|A1C|＝1＋1＋1＝3，|A1C1|＝1＋1＋0＝2.20．(本小题12分)若⊙C：x2＋y2＋8x－4y＝0与以原点为圆心的某圆关于直线y＝kx＋b对称．求k，b的值，若此时两圆的交点为A、B，求∠ACB的度数．解：∵⊙C：x2＋y2＋8x－4y＝0可化为(x＋4)2＋(y－2)2＝20，∴圆心为(－4,2)，半径为r＝25，∴其关于直线y＝kx＋b对称的圆的圆心为(0,0)，半径为25.∴1＝－2k＋b，2－4·k＝－1，∴k＝2，b＝5.∴直线AB的方程为y＝2x＋5，即2x－y＋5＝0.设AB的中点为D，则|CD|＝5.∵r＝25，∴|AD|＝20－5＝15.在Rt△CDA中，sin∠DCA＝|AD|r＝32.∴∠DCA＝60°.∴∠ACB＝2∠DCA＝120°.21．(本小题12分)已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．解：设两圆交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则A、B两点坐标是方程组x2＋y2＋2x－6y＋1＝0①x2＋y2－4x＋2y－11＝0②的解，①－②得3x－4y＋6＝0.∵A、B两点坐标都满足此方程，∴3x－4y＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程．易知圆C1的圆心为(－1,3)，半径r＝3.又C1到直线AB的距离为d＝|3×－1－4×3＋6|32＋42＝95.∴|AB|＝2r2－d2＝232－952＝245，即两圆的公共弦长为245.22．(本小题12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标．解：(1)由方程x2＋y2＋2x－4y＋3＝0知，圆心为(－1,2)，半径为2.当切线过原点时，设切线方程为y＝kx，则|k＋2|k2＋1＝2.所以k＝2±6，即切线方程为y＝(2±6)x.当切线不过原点时，设切线方程为x＋y＝a，则|－1＋2－a|2＝2.所以a＝－1或a＝3，即切线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.所以切线方程为y＝(2±6)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.(2)设P(x1，y1)．因为|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x21＋y21＋2＝(x1＋1)2＋(y1－2)2，即2x1－4y1＋3＝0.要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．当直线PO垂直于直线2x－4y＋3＝0时，即直线PO的方程为2x＋y＝0时，|PM|最小，此时P点即为两直线的交点，得P点坐标(－310，35)．