小葱拌课程设计(信号与系统),终结版

课程设计说明书NO.1应用MATLAB实现连续信号的抽样及重构仿真一、课程设计的目的1.熟悉抽样定理、信号的抽样与重构过程；2.通过实验观察欠采样时信号频谱的混叠现象；3.掌握抽样前后信号的频谱的变化，加深对抽样定理的理解；4.掌握抽样频率的确定方法。二、课程设计的原理1.抽样定理连续信号)(tf被抽样后，其部分信息已经丢失，抽样信号)(tfs只是很小的一部分。现在的问题是能否从抽样信号)(tfs中恢复出原连续信号)(tf。抽样定理从理论上回答了这个问题。抽样定理：一个频谱有限的信号)(tf，如果其频谱只占据mm~的范围，则信号)(tf可以用等间隔的抽样值来唯一表示，而抽样间隔sT必须不大于mf21（其中mmf2）或者说最低抽样频率为mf2。该定理表明若要求信号抽样后不丢失信息，必须满足两个条件：一是)(tf必须是带限信号，即)(tf的频谱在区间)~(mm为有限值，其频谱函数在sm各处为零；二是抽样间隔不能过大，必须满足sT不大于mf21，也就是抽样频率不能过低，即s必须不小于m2。（抽样频率要足够大，抽样足够多才能恢复原信号。）可分为以下三种情况：沈阳大学课程设计说明书NO.2(a)临界抽样频率，即ms2时，抽样信号不发生混叠；(b)过抽样频率，即ms2时，抽样信号不发生混叠；(c)欠抽样频率，即ms2时，抽样信号发生混叠。2.周期抽样抽样过程也就是把一个连续时间函数的信号，变成具有一定时间间隔才有函数值的离散时间信号的过程。如果每次开闭的时间间隔sT都一样，则称为周期抽样或均匀抽样，抽样周期等于sT。其倒数表示在单位时间内所抽取的样点数，称为抽样频率，用sf表示。如图1所示，给出了信号抽样原理图图1信号抽样原理图由图1可见，)()()(ttftfsTs，其中，冲激抽样信号)(tsT的表达式为：)()()(tnTttfsnsTs(1)其傅立叶变换为nssn)(，其中ssT2。设)(jF，)(jFs分别为)(tf，)(tfs的傅立叶变换，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得nssnsssnjFTnjFjF)]([1)(*)(21)((2)若设)(tf是带限信号，带宽为m，)(tf经过抽样后的频谱)(jFs就是将)(jF在频率轴上搬移至,,,,,02nsss处（幅度为原频谱的sT1倍）。因此，当ms2时，频谱不发生混叠；而当ms2时，频谱发生混叠。沈阳大学课程设计说明书NO.3一个理想抽样器可以看成是一个载波为理想单位脉冲序列)(tT的幅值调制器，即理想抽样器的输出信号)(*te，是连续输入信号)(te调制在载波)(tT上的结果，如图2所示。图1信号的抽样用数学表达式描述上述调制过程，则有)()()(*tteteT(3)理想单位脉冲序列)(tT可以表示为0)()(nTnTtt(4)其中)(nTt是出现在时刻nTt，强度为1的单位脉冲。由于)(te的数值仅在抽样瞬时才有意义，同时，假设00)(tte(5)所以)(*te又可表示为*0()()()netenTtnT(6)3.连续时间信号的重建重建即从抽样信号恢复原信号。在满足抽样定理的上述两个条件下，为了从频谱)(jFs中无失真的选出)(jF，可用一截止频率2scm的理想低通滤波器。其频率特性为ccsTjH0)(。滤波器与)(jFs相乘，得到的频谱即为原信号的频谱)(jF。显然，)()()(jHjFjFs，与之对应的时域表达式为)(*)()(tfthtfs(7)沈阳大学课程设计说明书NO.4nssnssnTtnTfnTttftf)()()()()((8))()]([)(1tSaTjHFthccs(9)将)(th及)(tfs代入式（10）得nscscsccssnTtSanTfTtSaTtftf)]([)()(*)()((10)式(10)即为用)(snTf求解)(tf的表达式，是利用MATLAB实现信号重构的基本关系式，抽样函数)(tSac在此起着内插函数的作用。例：设tttSatfsin)()(，其)(jF为：101)(jF(11)即)(tf的带宽为1m，为了由)(tf的抽样信号)(tfs不失真地重构)(tf，由时域抽样定理知抽样间隔msT，取7.0sT（过抽样）。利用MATLAB的抽样函数tttSinc)sin()(来表示)(tSa，有)/()(tSinctSa。据此可知：nscscsccssnTtSincnTfTtSaTtftf)]([)()(*)()((12)通过以上分析，得到如下的时域抽样定理：一个带宽为m的带限信号，可唯一地由它的均匀取样信号)(ssnTf确定，其中，取样间隔msT/,该取样间隔又称为奈奎斯特间隔。根据时域卷积定理，求出信号重构的数学表达式为:)]([)()]([*)]()([)(*)()]([*)]([)(scscsccsssssnTtwSanTfwTtSawTnTtnTfthtfjHIFTjFIFTtf(13)沈阳大学课程设计说明书NO.5式中的抽样函数)(tSac起着内插函数的作用，信号的恢复可以视为将抽样函数同时刻移位后加权求和的结果，其加权的权值为抽样信号在相应时刻的定义值。利用MATLAB中的抽样函数tttc)sin()(sin来表示)(tSa，有)/(sin)(tctSa，)/(sin)(tctSacc，于是，信号重构的内插公式也可表达式：snsnTtnTftf[]*[twSawTccs]=][sinscnscsnTtwcnTfwT(14)三、课程设计内容及结果分析1.)(tSa临界抽样及重构当抽样频率等于一个连续的同信号最大频率的2倍，即ms2时，称为临界抽样.修改门信号宽度、抽样周期等参数，重新运行程序，可以观察得到的抽样信号时域和频域特性，以及重构信号与误差信号的变化。（1）实现程序代码wm=1;wc=wm;Ts=pi/wm;%决定抽样的频率。ws=2*pi/Ts;n=-100:100;nTs=n*Tsf=2*sinc(nTs/pi);%决定重构图的幅值。Dt=0.0025;t=-15:Dt:15;%重构图抽样间隔及横坐标的宽度。fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));t1=-15:0.25:15;%抽样图的抽样间隔及横坐标的宽度。f1=2*sinc(t1/pi);%决定抽样图的幅值。沈阳大学课程设计说明书NO.6subplot(121);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的临界抽样信号');subplot(122);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('由sa(t)=sinc(t/pi)的临界抽样信号重构sa(t)');grid;（2）运行结果及分析图1)(tSa的临界抽样及重构图沈阳大学课程设计说明书NO.7结果分析：通过改变f及1f分别改变了重构及抽样图的幅值使它们从-0.5~1变成了-1~2，又通过改变Dt的值及1t中间的数的值改变了重构及抽样图的抽样间隔，使抽样点数增加一倍，又将subplot(211),(212)改为(121)(122)改变了图的分布，从而得到上述结果。2.)(tSa的过抽样、重构及它们之间的误差当抽样频率大于一个连续的同信号最大频率的2倍，即ms2时，称为过抽样。（1）实现程序代码wm=1;wc=1.1*wm;Ts=0.7*pi/wm;ws=2*pi/Ts;n=-100:100;nTs=n*Tsf=sinc(nTs/pi);Dt=0.010;t=-30:Dt:30;fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));error=abs(fa-sinc(t/pi));t1=-15:1:15;f1=sinc(t1/pi);subplot(311);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的过抽样信号');subplot(312);plot(t,fa)沈阳大学课程设计说明书NO.8xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('由sa(t)=sinc(t/pi)的过抽样信号重构sa(t)');grid;subplot(313);plot(t,error);xlabel('t');ylabel('error(t)');title('过抽样信号与原信号的抽样误差error(t)');（2）运行结果及分析图2)(tSa的过抽样信号、重构信号及两信号的绝对误差图结果分析：通过改变t使重构信号图及误差图的横坐标由-15~15变为-30~30。同时改变了Dt的值及1t中间的数的值使抽样点数减少一倍，从而得到上述结果。沈阳大学课程设计说明书NO.93.)(tSa的欠抽样、重构及它们之间的误差当抽样频率小于一个连续的同信号最大频率的2倍，即ms2时，称为欠抽样。（1）实现程序代码wm=1;wc=wm;Ts=1.5*pi/wm;ws=2*pi/Ts;n=-100:100;nTs=n*Tsf=3*sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-10:Dt:10;fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));error=abs(fa-sinc(t/pi));t1=-10:0.5:10;f1=3*sinc(t1/pi);subplot(311);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的欠抽样信号');subplot(312);plot(t,fa);xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('由sa(t)=sinc(t/pi)的欠抽样信号重构sa(t)');grid;沈阳大学课程设计说明书NO.10subplot(313);plot(t,error);xlabel('t');ylabel('error(t)');title('欠抽样信号与原信号的抽样误差error(t)');（2）运行结果及分析图3)(tSa欠抽样信号、重构信号及它们的误差图结果分析：通过改变f，1f使各图的幅值发生变化，通过改变t及1t使各图的横坐标又原来的-15~15变为-10~10，从而得到上述结果。4.设计过程中遇到的问题及解决方案：（1）在设计过程中，如果遇到抽样信号抽样点过密的情况可通过以下两种方法解决：调节横坐标的边界值（不改变抽样点个数），如：将1t=-15:0.5:15改为-10：0.5：10即可；沈阳大学课程设计说明书NO.11调节抽样间隔（不改变横坐标边界值），如：将1t=-15：0.5：15改为-15：1：15即可。（2）在设计过程中还可以通过改变subplot（）的参数值来改变图形的分布：如1中就改变了图的分布。四、课程设计心得体会在这次课程设计过程中我学会了很多东西,对MATLAB软件有了进一步的理解，一斤能够做到初步运用MATLAB软件进行编程，并