2019届中考数学专题复习--几何最值及路径长-习题(答案不全)

1E3D3A3FC几何最值及路径长（习题）例题示范例1：如图，在矩形ABCD中，AB=12，AD=3，E，F分别为AB，CD上的两个动点，则AFFEEC的最小值为．DFCAEB【思路分析】所求目标是AFFEEC的最小值，属于最值问题．①分析定点、动点，寻找不变特征．A，C为定点，E，F为动点，且点E在定线段AB上动，点F在定线段CD上动．②由定点、动点的特征判断为轴对称最值模型．作定点A关于定直线CD的对称点A′，作定点C关于定直线AB的对称点C′．根据对称可知，A′F=AF，C′E=CE，所求问题转化为求A′F+FE+C′E的最小值，根据“两点之间，线段最短”，连接A′C′，线段A′C′的长度即为最小值．③判断所求最值为线段A′C′的长，设计方案求解．根据勾股定理，A′C′=15，即最小值为15．A'3B3G12C'2G2F例2：如图，已知AB=10，点C，D在线段AB上，且AC=BD=2．P是线段CD上的一动点，分别以AP，PB为边在线段AB的同侧作等边三角形AEP和等边三角形PFB，连接EF，设EF的中点为G．当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为．FGEACPDB【思路分析】①分析不变特征．在点P运动的过程中，两个三角形始终为等边三角形不变，点G为EF的中点不变，线段AB的长度不变．②猜测运动路径．分别选择点P在起点C、终点D时的图形，结合已知图中点G的位置，猜测路径为线段，如图1、图2．FEAC(P)DBACD(P)B图1图2③验证运动路径．猜测运动路径是线段，且平行于AB，只需证明点G到线段AB的距离为定值即可，故分别过点E，F，G作AB的垂线．G1E3FG1G2E2PE如图3，可证GH为梯形EMNF的中位线，GH1(EMFN)；2因为△APE和△BPF均为等边三角形，故EMFN3(PMPN)3AB，可确定GH为定值，点G的运动路径为平行2于AB的线段．QFAMPHNBACDB图3图4④设计方案计算路径长．补全，得图形4，可知QECF为平行四边形，则G1为QC中点，同理可知G2为QD中点，故G1G21CD1(1022)3．22巩固练习1.如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（）A．3B．3C．2DD．2QCADPBCAEB第1题图第2题图2.如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是．GE3642A3.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A，⊙B的半径分别为2和1，P，E，F分别是边CD，⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是_．AB第3题图第4题图4.如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则PQ长度的最小值为．5.将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示的图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是．BC6.动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=13．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动．若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为．BA'PAQCBCDADBCFPAEDPQO5P7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=2，点A，C分别在x轴、y轴上．当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，则在运动过程中，点B到原点的最大距离为．8.如图，已知直线y3x3与x轴、y轴分别交于A，B两点，4P是以C(0，1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA，PB.则△PAB面积的最大值是．9.如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止．连接EM，过M作EM的垂线交射线BC于点F，连接EF．若P是MF的中点，则在点E运动的过程中，点P运动的路径长为．AMDEBCFyBCOAxyPCOAxB6PC3PP'M10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3．P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是．AB'B11.如图，木棒AB的长为2a，斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，且与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A端沿NO向下滑动到A'，B端也随之沿直线OM向右滑动到B'，若AA(2)a，则木棒的中点P随之运动的路径长为．NAA'OBB'M12.如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段EF的两端放在正方形的相邻两边上同时滑动．如果点E从点A出发，按A→B→C→D→A的方向滑动到点A为止，同时点F从点B出发，按B→C→D→A→B的方向滑动到点B为止，则在这个过程中，线段EF的中点M经过的路径所围成的图形面积为．ADEBFC713.如图，以G(0，1)为圆心，2为半径的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为．14．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝8cm，∠BAD＝120°，点E、F分别是边BC、CD上的两个动点，E点从点B向点C运动，F点从点D向点C运动，设点E、F运动的路径长分别是acm和bcm．（1）请问当a和b满足什么关系时，△AEF为等边三角形？并说明理由；（2）请问在（1）的条件下，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值；（3）在（1）的条件下，求出△CEF的面积最大值．15．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．（1）若AE＝CF；①求证：AF＝BE，并求∠APB的度数；②若AE＝2，试求AP•AF的值；（2）若AF＝BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．yCEGFAOBxD816．小明与小颖在做关于两个边长和为定值的动态等边三角形的研究．已知线段AB＝12，M是线段AB上的任意一点．分别以AM、BM为边在AB的上方作出等边三角形AMC和等边三角形BMD，连接CD．（1）如图①，若M为AB的中点时，则四边形ABDC的面积为．（2）如图②，试确定一点M，使线段CD取最小值，并求出这个最小值．（3）如图③，设CD的中点为O，在M从点A运动到点B的过程中，△OAB的周长是否存在最小值？如果存在，请求出最小周长和点O从最初位置运动到此时所经过的路径长；若不存在，请说明理由．17．某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB＝8．问题思考：如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF．（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值．（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．问题拓展：（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ＝8．若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长．（4）如图3，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM＝BN＝1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值．918．如图，等边△ABC的边长为4cm，动点D从点B出发，沿射线BC方向移动，以AD为边作等边△ADE．（1）如图①，在点D从点B开始移动至点C的过程中，①△ADE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，直接写出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；②求点E移动的路径长．（2）如图②，当点D经过点C，并在继续移动的过程中，点E能否移动至直线AB上？为什么？10思考小结处理几何最值问题关键是要找到不变特征，然后借助不变特征来对所求目标进行转化．几何最值问题中的常见不变特征：①所求目标为几条线段长的和最小，且这些线段端点中含有定点；常考虑通过对称后利用线段最短求解．②所求目标为线段最长或最短，条件为两线段长之和不变或两线段长之差的绝对值不变；常考虑利用三角形三边关系求解．③直角三角形中斜边长度固定，常考虑直角三角形斜边中线等于斜边的一半．④图形变化，但始终是矩形、菱形、平行四边形；考虑相关对角线性质如何与定点、定线、定线段长配合．比如，平行四边形中，对角线交点为定点，则可以尝试把对角线长度转化为对角线一半的长度来进行研究．你还能尝试总结出其他特征吗？1113【参考答案】1.C2.923.34.225.8cm26.47.382129.210.111.a1212.13.3314-18题答案略