层次分析法

0实验名称：层次分析法（实验三）指导教师：刘好斌实验时数：4实验设备：安装了VC++、mathematica、matlab的计算机实验日期：2014年5月28日实验地点：第五教学楼北902实验目的：熟悉有关层次分析法模型的建立与计算，熟悉Matlab的相关命令。实验准备：1.在开始本实验之前，请回顾教科书的相关内容；2.需要一台准备安装WindowsXPProfessional操作系统和装有Matlab的计算机。实验内容及要求试用层次分析法解决一个实际问题。问题可参考教材P296第4大题。实验过程：4大题第二问一、模型假设1.假设购买的电脑只在华硕、联想、戴尔、三星中进行选择；2.假设购买电脑时考虑的因素具有全面性；3.假设我们所分析的数据，都是客观真实的；4.假设在数据计算过程中，假设误差在合理范围之内，对数据结果的影响可以忽略；5.假设所列准则因素均符合层次分析方法的具体结构要求；二、符号说明)52,1(iCi：五个因素分别为价格、功能、内存、寿命、售后服务)4,3,2,1(iPi：四种电脑分别为华硕、联想、戴尔、三星)(kijb：方案层iP与jP对于准则kC的优越性的比较尺度)5,2,1(kBk：方案层对k种因素的成对比较矩阵ija：iC和jC对因素的影响之比A：准则层对目标层的成对比较矩阵CI：一致性指标RI：随机性指标CR：一致性比率n：矩阵的阶数：特征根w：特征向量W：组合权向量*CR:组合一致性比率三、问题分析对于买电脑的因素通常是凭个人的意愿进行评定，当购买电脑的因素较多时给出的结果往往不全面或不准确，如果只是定性分析则不容易被接受，因此为了增加准确度则用层次分析法将定性与定量相结合，来决定购买什么牌子的电脑。首先,将决策问题分解为三个层次，最上层为目标层，即选择电脑，，中间层为准则层，有价格、功能、内存、寿命、售后服务五个准则最下层为方案层，有华硕、联想、戴尔、三星四个供选择的电脑。然后,通过相互比较确定各准则对于目标的权重，及各个方案对于每一准则的权重，这些权重通常是定性的，而在层次分析中给出得到权重的定量方法。最后，将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重。用定量分析与定性分析相结合给出决策结果。四、模型的建立与求解1.构造选择电脑的层次结构如图一：1图一，选择电脑的层次结构（结构图中的功能，内存，寿命连线略）2.比较尺度在进行定性的成对比较时，利用如表1的等级尺度表1，等级尺度尺度135792,4,6,8含义影响相同影响稍强影响强影响明显强影响绝对强影响在相邻两个等级之间3.构造准则层对目标层的成对比较矩阵对于准则层对目标层用成对比较法（1024525C次对比）构成成对比较矩阵nnijaA)(，其中0ija，ijjiaa1，jiijCCa得出矩阵A为：1322143212313435424313223453231324121311A4.构造方案层对准则层的成对比较矩阵对于方案层对准则层用成对比较法构成成对比较矩阵nnkijkbB)()(，其中0)(kijb，)()(1kjikijbb，jikijPPb)(（对于准则kC），得出矩阵kB：12131412121713212147211B13151413131315312432112B12141312131214313323113B13171413151217513423114B12131712124132113174315B5.成对比较矩阵一致性检验选择电脑价格功能内存寿命售后服务华硕联想戴尔三星目标层:准则层:方案层:2成对比较矩阵的一致性用一致性比率表示。首先得出矩阵归一化后的特征根，得出矩阵的一致性标：1nnCI将矩阵的一致性指标CI与同阶的随机一致性指标RI的比作为一致性比率RICICR表2，随机一致性指标RI的数值n1234567891011RI000.580.91.121.241.321.411.451.491.51当矩阵的一致性比率1.0CR时，则矩阵通过了一致性检验，矩阵的特征向量可以作为权向量。6.成对比较矩阵的特征根，特征向量对于求特征根的方法有幂法、和法、根法。这里只介绍和法的计算方法：a.将A的每一列向量归一化得：niijijijaaw1~；b.对ijw~按行求和得：njijiww1~~；c.将iw~归一化niiii~~，Tn),,,(21即为近似特征向量；d.计算niiiwAwn1)(1，作为最大特征根的近似值。7.构造组合权向量并做组合一致性检验若成对比较矩阵都通过了一致性检验，则该成对比较矩阵的特征向量可以作为权向量，由各准则对目标的权向量和各方案对每一准则的权向量，通过相应项的两两乘积之和作为各方案在目标中的组合权向量，即A];;;;[54321，将某一方案所占的权重最大的作为目标选择。组合一致性检验：定义第P层的组合一致性比率为),4,3(,)()()(spRICICRppp，其中)1()()(1)(],[ppnppwCICICI，所以最下层对第一层的组合一致性比率为sppCRCR2)(*，在本题中)3()2(*,3,2CRCRCRsp。若1.0*CR则组合权向量通过了一致性检验。8.程序%%%计算特征根，特征向量,一致性比率function[w,x,CR,CI]=yizhixing(A)%%%A是成对比较矩阵,[m,n]=size(A);B=sum(A);forj=1:1:nB1(:,j)=A(:,j)./B(1,j);endC=sum(B1');w=C./sum(C);%%%w为权向量x=(1/n)*sum(A*(w')./(w'));%%%x为特征根CI=(x-n)/(n-1);%%%一致性指标RI=[0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45,1.49,1.51];%%随机性指标CR=CI/RI(1,n);%%一致性比率A=[1,1/3,1/2,1/4,2;3,1,3/2,3/5,4/3;2,2/3,1,3/4,2;4,5/3,4/3,1,3/2;1/2,3/4,1/2,2/3,1];3[Aw,Ax,ACR,ACI]=yizhixing(A);B1=[1,2,7,4;1/2,1,2,3;1/7,1/2,1,2;1/4,1/3,1/2,1];[w1,x1,CR1,CI1]=yizhixing(B1);B2=[1,1/2,3,4;2,1,3,5;1/3,1/3,1,3;1/4,1/5,1/3,1];[w2,x2,CR2,CI2]=yizhixing(B2);B3=[1,1/3,2,3;3,1,3,4;1/2,1/3,1,2;1/3,1/4,1/2,1];[w3,x3,CR3,CI3]=yizhixing(B3);B4=[1,1/3,2,4;3,1,5,7;1/2,1/5,1,3;1/4,1/7,1/3,1];[w4,x4,CR4,CI4]=yizhixing(B4);B5=[1,3,4,7;1/3,1,1/2,3;1/4,2,1,2;1/7,1/3,1/2,1];[w5,x5,CR5,CI5]=yizhixing(B5);W=[w1;w2;w3;w4;w5]'*(Aw)';CIa=[CI1,CI2,CI3,CI4,CI5]*(Aw)';RI=[0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45,1.49,1.51];%%随机性指标[m,n]=size(B1);CRa=CIa/RI(1,n);%%%第三层的组合一致性比率CR=ACR+CRa;%%组合一致性比率9.程序运行结果成对比较矩阵的特征根，特征向量，一致性比率的结果准则层如表3，方案层如表4，组合权向量为:TW)0760.01517.04402.03321.0(，，，组合权向量的一致性比率为0.069,所以购买电脑应选联想。表3，一致性矩阵A的计算结果wCR0.12120.23530.20670.30640.13055.310.0692表4，方案层的计算结果k12345)4(kw0.52920.31040.24710.2290.56430.25390.46090.5010.57370.16630.12530.1560.15780.13620.19530.09170.07260.09410.06110.0739k4.13794.10874.08754.06814.1452kCR0.05110.04130.03240.02520.0538五、结果分析由表知各矩阵的一致性比率皆小于0.1，即成对比较矩阵通过了一致性检验，所给矩阵可用，可用其特征向量作为权向量。且组合权向量得一致性比率为0.069，小于0.1，组合一致性检验通过，得到的组合权向量可以作为最终决策的依据，有权向量可知方案二即联想在购买电脑的选择中占的权重大于其余三个方案的权重，所以应购买联想。实验总结（由学生填写）：对于层次分析法，利用定性与定量相结合的方式将目标的决策显得更合理，但需构造一系列的成对比较矩阵并需对矩阵进行检验，这是一个繁琐的过程。对于表格也有了一定的学习。实验等级评定：