盘点动点轨迹问题的基本图形

盘点动点轨迹问题的基本图形动点轨迹问题是中考的重要压轴点.受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的一个黑洞.掌握该压轴点的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本文就动点轨迹问题的基本图形作一详述，动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型.归纳一下，动点轨迹为直线型的有:①平面内到定直线的距离等于定长的点的轨迹是直线(线段);②平面内与定直线的夹角为定角的点的轨迹是直线(线段).动点轨迹是圆弧型的有:①平面内到一定点的距离为定长的点的轨迹是圆(圆弧);②平面内与两定点的张角是定角的点的轨迹是圆一、直线型类型一例1如图1，已知半圆⊙O的半径为2，初始位置与直线l相切于点C，直径AB与直线l平行，将半圆⊙O在直线l上无滑动地滚动至直径AB与直线l垂直，求圆心O在此过程中形成的轨迹的长.简解∵在滚动过程中⊙O与直线l相切，∴圆心O与直线l的距离为半径长2，∴圆心O的轨迹是一线段，长度为14圆弧长，即弧长1224BC.小结此例因动点O到定直线l的距离为定长，所以基本图形为直线型类型一.这是动点轨迹入门级题目.例2如图2，已知线段6AB，P为线段AB上一动点，分别以AP、BP为边在线段AB的同侧作等边APC和等边BPD，连结CD，取CD得中点Q，在点P从A点到B点运动的过程中，求点Q运动路径的长.简解过点C作CMAB于M点，过点D作DNAB于N点;过点Q作QGAB于G点，则////QGCMDN.则四边形CMND是梯形，且QG是中位线，∴1()2QGCMDN133()222APBP3()4APBP333642QG(定值).∴点Q运动路径是AB上侧与AB平行的一条线段.通过点P分别与点A、点B重合，运用极端法可知点Q运动路径是以AB为边的等边三角形的中位线，∴Q点轨迹的长度为132AB.小结此例因动点Q到定直线AB的距离为定长，所以基本图形为直线型类型一因动点较多，需抓住主动点P对从动点Q的制约作用以确定动点Q的轨迹，继而运用极端法求得轨迹的长度.二、直线型类型二例3如图3，已知ABC是边长为6的等边三角形，角平分线AD交BC于D点，P是直线AD上一动点，连结CP，以CP为边向下作等边三角形PCQ，连结DQ，求DQ长度的最小值.简解连结BQ，过点D作DHBQ于H点.∵60ACBPCQ，∴ACPBCQ.又∵CACB，CPCQ，∴ACPBCQ，∴30CBQCAP，即点Q的轨迹为过B点且与BC成30°角的直线.∴当DHBQ时的垂线段DH即为所求的DQ长度的最小，∴在RtBDH中求得min1322DQDHBD.小结此例因动点Q与定直线BC的夹角为定角，所以基本图形为直线型类型二.须知当动点轨迹为直线时，定点与动点连线的最短距离为垂线段的长度.例4如图4，已知RtABC中点P是边AC所在直线上一动点，连结BP，以BP为斜边作等腰直角BPQ，点F为边AC上一定点且2CF，连结FQ，求FQ长度的最小值.简解过点Q作直线AC的垂线，交AC延长线于点N，过点B作BMNQ于点M.易证得QMBPNQ，∴BMNQCN.连结CQ，则45QCN即点Q的轨迹为过C点且与CN成45°角的直线，∴当FHCQ时的FH的长度即为所求FQ最小值，即min2222FQFH.小结此例因动点Q与定直线AC的夹角为定角，所以基本图形为直线型类型二.须知图形中有等腰直角三角形存在时可运用构造全等三角形转移等量这一基本方法.三、圆弧形类型一例5如图5，已知正方形ABCD的边长为4，P、Q分别是边AB、BC上的动点，且4PQ，M是PQ的中点，求DM的最小值.简解连结BM.∵114222BMPQ(定值)，∴M在以B为圆心2BM为半径的圆上，∴当,,BMD三点共线时DM取最小值，即最小值为422DMBDBM.小结此例因动点M与定点B的距离为定长，所以基本图形为圆弧型类型一.须知圆外一点与圆上动点的最大距离为dr，最小距离为dr.例6如图6，正六边形ABCDEF的边长为2，两顶点,AB分别在x轴和y轴上运动.求顶点D到原点O的距离的最大值和最小值.简解取AB中点P，连结OP，DP.∵112OPAB(定值)，∴点P是在以O为圆心，112rAB为半径的圆上.又由RtDBP，求得2213PDBDBP(定值)，∴PDOPODPDOP.①当,,OPD三点共线且P在线段OD上时，ODPDOP取最大值131;②当,,OPD三点共线且P在线段DO延长线上时，ODPDOP取最小值131.小结此例因动点P与定点O的距离为定长，所以基本图形为圆弧型类型一.须知两定长线段在共线时可求得折线最大长度为12dd，最小值为12dd.四、圆弧型类型二例7如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，且满足AEDF，连结CF交BD于点G，连结BE交AG于点H.若正方形的边长为2，求线段DH长度的最小值.简解易证得BAECDF，∴ABEDCF.又GADGCD，∴GADDCF，∴ABEGAD.∵90GADBAH，∴90ABEBAH，即90BHA(定角)，∴点H在以AB的中点(设为O)为圆心，AB为半径的圆(四分之一圆弧)上.连结OD，交⊙O于P点，当点H运动到点P时，DH取得最小值51ODOP.小结此例因动点H与两定点A、B的张角为定角，所以基本图形为圆弧型类型二.由例5的方法可求得圆外一点与圆上动点的最小距离.例8如图8，以(0,1)G为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CFAE于点F，求当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长.简解∵90AFC(定角)，∴点F在以AC的中点(设为M)为圆心，12AC为半径的圆上.当点E在B点时，点F在O点;当点E在D点时，点F在A点，∴点F所经过的路径为弧OA.∵在RtAOC中30ACO，∴260AMOACO，∴弧长603233603OA.小结此例因动点F与两定点A、C的张角为定角，所以基本图形为圆弧型类型二.由例2的极端法确定圆弧的起点和终点，从而求得路径圆弧长.结束语构建基本图形形成解决问题的思维模式是初中几何教学的重要方法.本文就动点轨迹的基本图形作了比较系统的分类，为学生解决此类问题提供了一个可行的途径.但在实际教学中要注意防止过于固化而禁锢学生的思维，阻碍学生创造性思维、发散性思维的形成.