层次分析法在数学建模中的应用.

层次分析法AnalyticHierarchyProcessAHPT.L.saaty层次分析法建模一问题的提出例1购物买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格、外形等方面的因素选择某一支钢笔。买饭，则要依据色、香、味、价格等方面的因素选择某种饭菜。决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案。假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。例2旅游例3择业面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去选择，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条件等因素择业。由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素进行选题。面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重给用数学方法解决问题带来不便。T.L.saaty等人在20世纪七十年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法。例4科研课题的选择层次分析法（AnalyticHierarchyProcess,AHP)这是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法两种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后者以随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律。近年发展的系统分析是又一种方法，而层次分析法是系统分析的数学工具之一。层次分析法的基本思路：与人们对某一复杂决策问题的思维、判断过程大体一致。选择钢笔质量、颜色、价格、外形、实用钢笔1、钢笔2、钢笔3、钢笔4将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、实用进行排序经综合分析决定买哪支钢笔二层次分析法的基本步骤买钢笔质量颜色价格外形实用可供选择的笔1建立层次结构模型一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层或指标层。例1购买钢笔的层次结构模型准则层方案层目标层例2旅游地选择层次结构模型选择旅游地景色费用居住饮食旅途苏州、杭州、桂林准则层A方案层B目标层Z若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所有因素影响，称为完全层次结构，否则称为不完全层次结构。2构造成对比较矩阵设某层有个因素，nnxxxX,,,21n要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把个因素对上层某一目标的影响程度排序）上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时常取1~9尺度。2构造成对比较矩阵ijaijjiijaa1nnnnnnnnijaaaaaaaaaaA212222111211A用表示第个因素相对于第个因素的比较结果，则则称为成对比较矩阵。１３５７９尺度第个因素与第个因素的影响相同ij第个因素比第个因素的影响稍强第个因素比第个因素的影响强第个因素比第个因素的影响明显强第个因素比第个因素的影响绝对地强iiiijjjj含义比较尺度：（1~9尺度的含义）2,4,6,8表示第个因素相对于第个因素的影响介于上述两个相邻等级之间。不难定义以上各尺度倒数的含义，根据。jijiijaa1由上述定义知，成对比较矩阵nnijaA01ijajiijaa12则称为正互反阵。比如，例2的旅游问题中，第二层A的各因素对目标层Z的影响两两比较结果如下：满足以下性质ZA1A2A3A4A5A1A2A3A4A511/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/531113iia54321,,,,AAAAA分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途。由上表，可得成对比较矩阵1135131112513131211714155712334211A问题：两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上层某因素的影响程度的排序结果呢？旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）。3层次单排序及一致性检验nn层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。例如一块石头重量记为1，打碎分成各小块，各块的重量分别记为：则可得成对比较矩阵11121212121由右面矩阵可以看出，jkkiji即，nji,,2,1,1321231321234,2,7aaaaaaAijkjikaaaijkjikaaaAnjiaaaiijiij,,2,1,,1,1.1也是一致阵TA.21.3ArankA的各行成比例，则但在例2的成对比较矩阵中，在正互反矩阵中，若,则称为一致阵。一致阵的性质：。特征根均等于个其余的最大特征根（值）为01,.4n-nλAA5.的任一列(行)都是对应于特征根的特征向量。n若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最大特征根的归一化特征向量，且定理：阶正互反阵的最大特征根，当且仅当时，为一致阵。Ann11niiwiwinnnA表示下层第个因素对上层某因素影响程度的权值。若成对比较矩阵不是一致阵，Saaty等人建议用其最大特征根对应的归一化特征向量作为权向量，则Anw（为什么？）这样确定权向量的方法称为特征根法.1nnCI由于连续的依赖于，则比大得越多，的不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用数值的大小来衡量nijanAA的不一致程度。定义一致性指标其中为的对角线元素之和，也为的特征根之和。AnARI50021,,,AAA50021,,,CICICI15005005002150021nnCICICIRI则可得一致性指标定义随机一致性指标随机构造500个成对比较矩阵随机一致性指标RI的数值：n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.511.0RICICRAA一致性检验：利用一致性指标和一致性比率0.1及随机一致性指标的数值表，对进行检验的过程。一般，当一致性比率的不一致程度在容许范围之内，可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵，对加以调整。时，认为A4层次总排序及其一致性检验确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程，称为层次总排序从最高层到最低层逐层进行。设：Z1A2AmA1B2BnB,,,,21mAAAmA个因素层对总目标Z的排序为maaa,,,21jAAnB中因素为个因素对上层层的层次单排序为),,2,1(,,,21mjbbbnjjj即层第个因素对总目标的权值为：BnmmnnnmmmmbababaBbababaBbababaB22112222211211221111:::Bimjijjba1层的层次总排序为：mjijjba1B层的层次总排序mAAA,,,21maaa,,,21nBBB2112111nbbb22212nbbbnmmmbbb21AB111bbamjjj212bbamjjjnmjnjjbba1即层第个因素对总目标的权值为：Bi层次总排序的一致性检验设层对上层(层)中因素的层次单排序一致性指标为，随机一致性指为，则层次总排序的一致性比率为：BnBBB,,,21A),,2,1(mjAjjCIjRImmmmRIaRIaRIaCIaCIaCIaCR221122111.0CR当时，认为层次总排序通过一致性检验。到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。1.建立层次结构模型该结构图包括目标层，准则层，方案层。层次分析法的基本步骤归纳如下3.计算单排序权向量并做一致性检验2.构造成对比较矩阵从第二层开始用成对比较矩阵和1~9尺度。对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。计算最下层对最上层总排序的权向量。4.计算总排序权向量并做一致性检验1.0CRCR进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率较大的成对比较矩阵。mmmmRIaRIaRIaCIaCIaCIaCR22112211利用总排序一致性比率三层次分析法建模举例一、旅游问题Z1A2A3A4A5A1B2B3B54321,,,,AAAAA321,,BBB(1)建模分别分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途。分别表示苏杭、北戴河、桂林。（2）构造成对比较矩阵1135131112513131211714155712334211A1215121215211B1383113813112B131313113113B114111314314B144411141115B(3)计算层次单排序的权向量和一致性检验A073.5110.0,099.0,055.0,475.0,263.0018.0155073.5CI12.1RI1.0016.012.1018.0CRA成对比较矩阵的最大特征值表明通过了一致性验证。故则该特征值对应的归一化特征向量对成对比较矩阵可以求层次总排序的权向量并进行一致性检验，结果如下：54321,,,,BBBBBk1k2k3kkkCIkRI12345595.0082.0429.0633.0166.0277.0236.0429.0193.0166.0129.0682.0142.0175.0668.0005.3002.33009.33003.0001.000005.058.058.058.058.058.0计算可知通过一致性检验。kCR54321,,,,BBBBB对总目标的权值为：1B3.0110.0166.0099.0633.0055.0429.0475.0082.0263.0595.032,BB,456.0,246.0456.0,246.0,3.01.0015.058.0/)0110.0005.0099.00055.0001.0475.0003.0263.0(CR（4）计算层次总排序权值和一致性检验又决策层对总目标的权向量为：同理得，对总目标的权值分别为：故，层次总排序通过一致性检验。可作为最后的决策依据。456.0,246.0,3.0213BBB321,,BBB故最后的决策应为去桂林。又分别表示苏杭、北戴河、桂林，即各方案的权重排序为某工厂有一笔企业留成利润，要由领导决定如何利用。可供选择的方案有：以奖金名义发给职工；扩建集体福利设施；购进新设备等。为了进一步促进企业发展，比如调动职工的积极性、提高企业的技术水平、引进新设备等。如何合理使用这笔利润。2合理分配资金问题合理分配资金问题•层次结构模型合理利用企业利润Z调动职工的积极性C1提高企业的技术水平C2改善职工的生活条件C3发奖金P1扩建福利事业P2引进新设备P3•2求解Z-C矩阵ZC1C2C3WC1C2C311/51/351331/310.1050.6370.258CIRICR3.0380.0190.580.00330.1OKC-P矩阵C1P1P2WP1P2131/310.750.25CI1RI200OKC2P2P3WP2P311/5510.1670.833CI2RI200OK{0.75