山东五年高考专项(圆锥曲线与导数)

2010—2014山东高考导数部分2010理(22)(本小题满分14分)已知函数1()ln1afxxaxx()aR.(Ⅰ)当12a时，讨论()fx的单调性；（Ⅱ）设2()24.gxxbx当14a时，若对任意1(0,2)x，存在21,2x，使12()()fxgx，求实数b取值范围.（Ⅱ）当14a时，f(x)在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意1(0,2)x，有11f(x)f(1)=-2，又已知存在21,2x，使12()()fxgx，所以21()2gx，21,2x，即存在1,2x，使21()242gxxbx，即2922bxx，即922bxx1117[,]24，所以1122b，解得114b，即实数b取值范围是11[,)42010文（10）观察2'()2xx，4'3()4xx，'(cos)sinxx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数()fx满足()()fxfx，记()gx为()fx的导函数，则()gx=（A）()fx(B)()fx(C)()gx(D)()gx2010文（21）（本小题满分12分）已知函数1()ln1()afxxaxaRx（I）当1a时，求曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程；（II）当12a时，讨论()fx的单调性.2011文、理21.（本小题满分12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元.设该容器的建造费用为千元.（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的.【解析】（Ⅰ）因为容器的体积为立方米，所以,解得,由于因此。所以圆柱的侧面积为=,两端两个半球的表面积之和为,所以建造费用+,定义域为.（Ⅱ）因为+=,由于c3,所以c-20,所以令得:;令得:,8032lr≥(3)cc＞yyrr8033243rrl803280433rlr2lr02r2rl28042()33rrr2160833rr24ry21608rr24cr(0,2]'y216016rr8cr328[(2)20]crr02r'0y3202rc'0y32002rc（1）当时，即时，函数y在（0，2）上是单调递减的，故建造费最小时r=2。（2）当时，即时，函数y在（0，2）上是先减后增的，故建造费最小时。2012理（15）设0a.若曲线yx与直线,0xay所围成封闭图形的面积为2a，则a____4/9__.2012理22(本小题满分13分)已知函数ln()xxkfxe（k为常数，2.71828e是自然对数的底数），曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线与x轴平行.（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求()fx的单调区间；（Ⅲ）设2()()'()gxxxfx,其中'()fx为()fx的导函数.证明：对任意20,()1xgxe.解析：由f(x)=xekxln可得)(xfxexkxln1，而0)1(f，即01ek，解得1k；（Ⅱ）)(xfxexxln11，令0)(xf可得1x，当10x时，0ln11)(xxxf；当1x时，0ln11)(xxxf。于是)(xf在区间)1,0(内为增函数；在),1(内为减函数。简证（Ⅲ）xxexxxxexxxxxgln)(1ln11)()(222，当1x时，0,0,0ln,0122xexxxx，210)(exg.当10x时，要证22221ln)(1ln11)()(eexxxxexxxxxgxx。只需证2221()ln(1)xxxxxee，然后构造函数即可证明。2012文(22)(本小题满分13分)已知函数ln()(exxkfxk为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线与x轴平行.(Ⅰ)求k的值；(Ⅱ)求()fx的单调区间；(Ⅲ)设()()gxxfx，其中()fx为()fx的导函数.证明：对任意20,()1exgx.2013文(21)(本小题满分12分)已知函数932c32022c92c320022c3202rc2()ln(,)fxaxbxxabR(Ⅰ)设，求的单调区间(Ⅱ)设，且对于任意，．试比较与的大小(21)解：（I）由2()ln,(0,)fxaxbxxx，得2'21()axbxfxx．(1)当0a时,'1()bxfxx(i)若0b,当0x时,'()0fx恒成立，所以函数()fx的单调递减区间是(0,)．(ii)若0b，当10xb时，'()0fx，函数()fx单调递减，当1xb时，'()0fx，函数()fx单调递增．所以函数()fx的单调递减区间是1(0,)b，单调递增区间是1(,)b．(2)当0a时,令'()0fx，得2210axbx．由280ba得221288,44bbabbaxxaa．显然，120,0xx．当10xx时，'()0fx，函数()fx单调递减；当2xx时，'()0fx，函数()fx单调递增．所以函数()fx单调递减是28(0,)4bbaa，单调增区间为28(,)4bbaa．（Ⅱ）由题意，函数()fx在1x处取得最小值，由（Ⅰ）知284bbaa是()fx的唯一极小值点，故2814bbaa，整理得21ab，即12ba。令()24lngxxx，则14()xgxx．令()0gx，得14x．0a)(xf0a0x()(1)fxflna2b当104x时，()0gx，函数()gx为单调增函数；当14x时，()0gx，函数()fx为单调减函数．因此11()()1ln1ln4044gxg。故()0ga，又12ba，所以24ln2ln0aaba，故ln2ab．2013理21．（本小题满分13分）设函数2()xxfxce（e=2.71828……是自然对数的底数，cR）.（Ⅰ）求()fx的单调区间、最大值；（Ⅱ）讨论关于x的方程ln()xfx根的个数。21．解：（Ⅰ）'2()(12)xfxxe，由'()0fx，解得12x，当12x时，'()0fx，()fx单调递减所以，函数()fx的单调递增区间是1(,)2，单调递减区间是1(,)2，最大值为11()22fce（Ⅱ）令2()ln()lnxxgxxfxxce(0,)x（1）当(1,)x时，ln0x，则2()lnxxgxxce，所以，2'2()(21)xxegxexx因为210x，20xex所以'()0gx因此()gx在(1,)上单调递增.（2）当(0,1)x时，当时，ln0x，则2()lnxxgxxce，所以，2'2()(21)xxegxexx因为22(1,)xee，210xex，又211x所以2210xexx所以'()0gx因此()gx在(0,1)上单调递减.综合（1）（2）可知当(0,)x时，2()(1)gxgec，当2(1)0gec，即2ce时，()gx没有零点，故关于x的方程ln()xfx根的个数为0；当2(1)0gec，即2ce时，()gx只有一个零点，故关于x的方程ln()xfx根的个数为1；当2(1)0gec，即2ce时，①当(1,)x时，由（Ⅰ）知121()lnln()ln12xxgxxcxecxce要使()0gx，只需使ln10xc，即1(,)cxe；②当(0,1)x时，由（Ⅰ）知121()lnln()ln12xxgxxcxecxce；要使()0gx，只需使ln10xc，即1(0,)cxe；所以当2ce时，()gx有两个零点，故关于x的方程ln()xfx根的个数为2；综上所述：当2ce时，关于x的方程ln()xfx根的个数为0；当2ce时，关于x的方程ln()xfx根的个数为1；当2ce时，关于x的方程ln()xfx根的个数为2.2014文（20）（本小题满分13分）设函数1ln1xfxaxx，其中a为常数.（Ⅰ）若0a，求曲线yfx在点1,1f处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数fx的单调性.【解析】(1)0a当时212(),()1(1)xfxfxxx221(1)(11)2f(1)0(1,0)f又直线过点1122yx(2)22()(0)(1)afxxxx220()0.()(1)afxfxx①当时，恒大于在定义域上单调递增.2222(1)20()=0.()(1)(1)aaxxafxfxxxxx②当时，在定义域上单调递增.2210(22)4840,.2aaaaa③当时，即()fx开口向下，在定义域上单调递减。1,21(22)8412100.22aaaaaxaa当时，1222110.102axxxaa对称轴方程为且121121121()(0,)(,)1+21(+)aaaaaafxaaaaaa在单调递减，单调递增，，单调递减。0()0()11121()0()(0,)221211211+21(,)(+)afxafxaaafxafxaaaaaaaaaa综上所述，时，在定义域上单调递增；时，在定义域上单调递增时，在定义域上单调递减；时，在单调递减，单调递增，，单调递减。2014理20.(本小题满分13分）设函数)ln2(2xxkxexfx（k为常数，2.71828e是自然对数的底数）（I）当0k时，求函数fx的单调区间；（II）若函数fx在0,2内存在两个极值点，求k的取值范围。）。的取值范围为（综上则）令（单调递增。时，当单调递减；时，当则令时，当）解：（2,:1ln0lnln2022,0)2(01)0(,01)0(ln,)(2)(),2()()2,0(2,0)(0e0,kx0k)0())(2()12(2)(12ln222''''x3242'eeeekkkkekgekkegkeggkgkxkekexgkxexgxfxxfxxxfkxxxkxexxxkxxexexfkxxxxxx2010—2014山东高考圆锥曲线部分2010理（21）（本小题满分12分）如图，已知椭圆22221(0)xyabab＞＞的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,FF为顶点的三角形的周长为4(21).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF和2PF与椭圆的交点分别为BA、和CD、.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF、2PF的斜率分别为1k、2k，证明12·1kk；（Ⅲ）是否存在常数，使得·ABCDABCD恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【解析】（Ⅰ）由题意知，椭圆离