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1佩尔方程与群牛问题——王元1、佩尔方程所谓佩尔方程即方程122dyx，其中d为非零整数，试求正整数解x,y.例如d=5,我们有解x=9,y=4我们总可以假定d0,而且不是一个平方，否则，无解。这是一个不定方程，或丢番图方程。2、简史这个方程跟英国数学家佩尔（J.Pell,1610-1685）无关。欧拉（L.Euler）错误地将这个方程的一个解法归于佩尔。这个解法是另一个英国数学家布龙克尔（W.Brouncker）为响应费马（Fermat1601-1665）的挑战而发明的，但欲改变欧拉的提法总是无效的。布龙克尔的方法本质上等同于至少早六个世纪的印度数学家就知道的一个方法。我们也看到，这个方程曾出现在希腊数学中，但并无证据证明希腊人能解出这个方程。一个非常清楚的“印度人的”或“英国人的”解佩尔方程的方法包含在欧拉的书“代数学”（1770）中。2现代教科书利用连分数来表述这个方法，例如华罗庚“数论导引”。这也是欧拉提供的。这个方法证明了，若存在一个解，则这个方法就能够找出一个解。拉格朗日（Lagrange1736-1813）于1773年第一个发表了这样一个证明，即佩尔方程总有一个解。3、最小解我们将佩尔方程改写为1dyxdyx若按dyx的大小排序，其中最小者记为dyx11这称为最小解，其他解都是dyx11的方幂，即1,11ndyxdyxnnn否则通过除法即可知dyx11不是最小解了。4、解法考虑d=14将14展成连分数6211314截取一段341511121113所以得最小解14415.14141522，其次小的解由141412044914415222yx得出，我们有下面的表nnxny123……6154449120134553596……36207404996768360由此看出随n增长，dyxnn是指数增长。5、群牛问题列辛（Lessing1729-1781）在沃尔芬布台尔（Wolffenbüttel）图书馆发现一份手稿，并于1773年发表，将这个问题归于阿基米德（Archimedes）名下。问题写成22行希腊哀歌体的对句诗。用数学语言可以表述于下：4要求满足一些算术限制的属于太阳神的白色的，黑色的，有斑点的与棕色的公牛个数，设这四种公牛的个数分别为x,y,z,t,则他们满足方程（1）txztzytyx7161,5141,3121其次，命'''',,,tzyx分别表示为同样颜色的母牛个数，则满足（2）‘‘‘‘xx7161tt6151zz5141yy4131''''tzyx还要满足（3）x+y为一个平方数，（4）z+t为一个三角数。方程（1）是一个不定方程组，线性的，有通解（x,y,z,t）=m(2226,1602,1580,891),m为正整数，于是（2）有解的充要条件为km46575真正的挑战在于方程（3）与（4），即挑选k使kyx38284657为平方数ktz24714657为三角数由因子分解得4657291132382846572所以x+y为一个平方，则相当于2alk，465729113az+t为三角数的充要条件为8（z+t）+1为平方数，即124714657818h22altz改写为1h22dl其中2465723532911732d这是一个佩尔方程。6解答解佩尔方程首先要将展成连分数，1867年德国数学家梅耶（C.F.Meyer）将展成了240步，未查出周期而放弃了。1991年Grosjean与DeMeyer发现周期长度为203254。1880年爱莫绍尔（A.Amthor）用了一些技巧对群牛问题的解决取得了突破。他没有给出最小解，当然没有给出群牛问题的对应解答。他证明了最小解是一个206548位数，即约有102065456这么大的数，这个数的前四位数是7766但第四个数错的，应为77602000年，伦斯查（Lenstra）完全解决了，其结果为阿基米德群牛问题的所有解3,2,1368238304246584658jwwkjjj第j个解公牛母牛白色的jk10366482jk7206360黑色的jk7460514jk4893246有斑点的jk7358060jk3515820棕色的jk4149387jk5439213这些牛要放在西西里岛上，怎么放得下。列辛指出牛的所有者太阳神可以应对它。