工程力学课程第4章

第4章教学方案——空间力系基本内容空间汇交力系空间力偶系力对点的矩与力对轴的矩空间任意力系教学目的1、了解空间汇交力系的合成与平衡条件。2、了解空间力偶系的合成与平衡。3、了解空间力对点的矩和空间力对轴的矩及它们的关系。4、了解空间任意力系的简化、合成与平衡。重点、难点力对轴之矩及力对点之矩；空间力系的简化。第4章空间力系作用在物体上的力系，若其作用线在空间分布，称为空间力系。空间力系是最一般的力系，平面力系只是它的特例。在工程实际中遇到的空间力系有各种形式，当力系中各力作用线汇交于一点时称为空间汇交力系；当力系中的力全部构成空间力偶时称为空间力偶系；当力系中各力作用线在空间任意分布时称为空间任意力系。4.1空间汇交力系4.1.1力在空间直角坐标轴上的投影和分力空间力系的研究方法与平面力系基本相同，只是将平面问题中的概念、理论和方法推广和引伸到空间问题中。若已知力F与空间直角坐标系Oxyz的x、y、z轴正向的夹角分别为α、β、γ，如图4.1所示，则力在三个坐标轴上的投影分别为coscoscosFZFYFX（4-1）若已知力F与z轴正向的夹角γ和力作用线与z轴所构成的平面与Oxz坐标平面的夹角φ，如图4.2所示，则可以先将F力投影到Oxy平面上，然后再向x、y轴投影。力在三个坐标轴上的投影分别为cossinsincossinFZFYFX（4-2）若以Fx、Fy、Fz表示力F在坐标轴方向的分力，则kjiFFFFZYXzyx（4-3）图4.1图4.2图4.3其中，i、j、k分别为x、y、z坐标轴方向的单位矢量。可见，分力的大小就等于同方向的投影的绝对值。若已知力F在三个直角坐标轴上的投影X、Y、Z，则力F的大小和方向余弦为FZFYFXZYXFcoscoscos222（4-4）4.1.2空间汇交力系的合成与平衡条件●空间汇交力系可以合成为一个合力，该合力等于力系各分力的矢量和，合力作用线过汇交点。即niin121RFFFFF（4-5）根据（4-3）式可得kjiFiiiZYXR（4-6）可见，合力FR在x、y、z坐标轴上的投影为∑Xi、∑Yi、∑Zi。由此得合力的大小和方向余弦为RRRRRRRFZFYFXZYXF),cos(),cos(),cos()()()(222kFjFiF（4-7）●空间汇交力系平衡的充分必要条件是：力系的合力等于零，即01RniiFF（4-8）因此可得空间汇交力系的平衡方程为000ZYX（4-9）空间汇交力系有三个独立平衡方程，可以求解三个未知量。【例4-1】由三根无重直杆组成的挂物架如图4.3所示。各点光滑铰链连接，BOC平面是水平面，且OB=OC，角度如图。若O点所挂重物图4.4重G=1000N，求三杆所受的力。解：（1）取整个系统研究，分析受力由于三杆均不计自重且两端受力，为二力杆，所以A、B、C三点约束力方向沿杆的方向，如图4.3所示。（2）建立图示坐标系，列平衡方程000ZYX得045cos045cos45cos045sin45sin45sin010302030201GFFFFFF代入数据，解得F1=1414NF2=F3=707N4.2空间力偶系4.2.1空间力偶的矢量表示在空间情况下，力偶的作用效果不仅与力偶矩的大小、力偶的转向有关，也与力偶作用面的方位有关。如果两个力偶的力偶矩大小相等，但作用面不平行，两力偶的作用效果也不同。因此，空间力偶包括力偶矩的大小、力偶的转向和力偶作用面方位三个要素，通常可以用一个矢量表示。矢量的长度表示力偶矩的大小，矢量线垂直于力偶作用平面（即力偶作用平面的法线），矢量的箭头指向与力偶的转向服从右手螺旋法则，如图4.4所示。该矢量称为力偶矩矢，力偶对刚体的作用完全由力偶矩矢确定。力偶矩矢是自由矢量，可以在刚体上平行移动，而不改变对刚体的作用效果。如果两个力偶的力偶矩矢相等，则两个力偶对刚体的作用效果相同，两个力偶等效。4.2.2空间力偶系的合成与平衡●设由n个空间力偶M1、M2、…、Mn构成的空间力偶系。可以证明，该力系可以合成为一个合力偶，合力偶的力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，即niin121MMMMM（4-10）如果同力一样，力偶矩矢也表达为解析表达式kjiMzyxMMM（4-11）其中Mx、My、Mz为力偶矩矢在x、y、z轴上的投影。则（4-10）式可以表示为图4.5kjiM)()()(iziyixMMM（4-12）合力偶矩矢的大小和方向余弦也可用下列公式求出MMMMMMMMMMiziyixiziyix),cos(),cos(),cos()()()(222kMjMiM（4-13）●空间力偶系平衡的充分必要条件为：该力系的合力偶矩矢等于零，也就是该力系的所有力偶矩矢的矢量和等于零。即01niiM（4-14）根据（4-13）式，上式可进一步表示为000iziyixMMM（4-15）这就是空间力偶系的平衡方程。三个独立平衡方程可以解三个未知量。4.3力对点的矩与力对轴的矩4.3.1空间力对点的矩的矢量表示力对点的矩的作用效果不仅与力矩的大小和转向有关，而且与力与矩心所在的平面（力矩作用面）的方位有关。在空间力系中，力矩作用面是空间内的某一平面，要表达力矩的大小、转向和作用面方位三个要素，应该用一个矢量表示。其中矢量的模等于力的大小与矩心到力作用线的垂直距离h（力臂）的乘积；矢量的方位和力矩作用面的法线的方位相同；矢量的指向是根据力矩的转向按右手螺旋法则确定。力F对O点的矩的矢量用MO（F）表示，如图4.5所示。力矩的大小为OABOSFhFM2)(式中SΔABC为三角形OAB的面积。若用r表示力F作用点A的矢径，则r×F也是一个矢量，其大小等于三角形OAB的面积的两倍，方位垂直于r与F所组成的平面，指向也由右手螺旋法则确定。可见MO（F）=r×F（4-16）若在矩心O处建立空间直角坐标系Oxyz，坐标方向的单位矢量用i、j、k表示，力作用点A的坐标为A（x，y，z），如图4.5所示。用X、Y、Z表示力F在坐标轴上的投影，则力F对O点的矩还可以表示为kjikjiFrFM)()()()(yXxYxZzXzYyZZYXzyxO（4-17）由于力矩矢MO（F）随矩心的位置改变而变化，因此力矩矢是定位矢量。4.3.2空间力对轴的矩当力作用在刚体上时，可使刚体产生绕固定轴转动的运动，例如在门上施加力可使门产生转动。力对绕定轴转动刚体的作用效果用力对轴的矩来度量。设力F作用于可绕z轴转动的刚体上的A点，如图4.6所示。过A点做垂直于z轴的平面Oxy，O点是平面与z轴的交点。将力F分解为平行于z轴的分力Fz和垂直于z轴的分力Fxy，根据经验，平行于z轴的分力Fz不会使刚体绕z轴转动，故分力Fz对z轴的矩为零，所以力F对z轴的矩Mz（F）就是分力Fxy对z轴的矩Mz（Fxy）。显然，分力Fxy对z轴的矩Mz（Fxy）就是在Oxy平面内力Fxy对O点的矩MO（Fxy），即dFMMxyxyOz)()(FF（4-18）力对轴的矩是代数量，式中的正负号按右手螺旋法则确定，当拇指指向z轴正向时取正号，反之取负。当力与转轴平行或相交（即共面）时，力对该轴的矩为零。力对轴的矩也可用解析表达式表示。如图4.7所示力F在三个直角坐标轴上的投影分别为X、Y、Z，力作用点的坐标为A（x，y，z），则有yXxYMMMMyOxOxyOz)()()()(FFFF同理可得力对x、y轴的矩。将三式合写为yXxYMxZzXMzYyZMzyx)()()(FFF（4-19）【例4-2】传动轴上的圆柱斜齿轮所受的总啮合力为Fn，如图4.8所示。齿轮压力角为α，螺旋角为β，节圆半径为r。求该力对各坐标轴的矩。图4.6图4.7解：（1）将力Fn沿坐标方向分解，得sincossincoscosnnnFFFFFFzyx（2）力作用点坐标为0,,2rl，按（4-19）式计算力对各轴的矩，得sincos)(nnFrMxFsincos2)(nnFlMyF)sin2coscos()coscos()sin(2)(nnnlrFFrFlMnzF4.3.3力对点的矩与力对轴的矩的关系比较式（4-17）和式（4-19）可知，力矩矢MO（F）解析式中i、j、k前的系数即力矩矢MO（F）在各坐标轴上的投影与力对坐标轴的矩分别相等，即)()()()()()(FFMFFMFFMzzOyyOxxOMMM（4-20）这说明：力对点的矩矢在通过该点的轴上的投影等于力对该轴的矩。4.4空间任意力系4.4.1空间约束简介空间约束是指限制物体在空间运动的约束。当物体在空间运动时，有沿空间直角坐标轴x、y、z的移动和绕x、y、z轴的转动6种独立的位移。空间约束的作用就是限制这6种独立位移。约束通过约束反力限制物体的移动，通过约束反力偶限制物体的转动。常见的几种空间约束及其约束反力见表4-1。表4-1几种常见的空间约束及其约束反力图4.84.4.2空间任意力系的简化空间任意力系简化也是根据力线平移定理，依次将力系中的每一个力向简化中心O平移，同时附加一个力偶。这样，原来的空间任意力系就等效为一个空间汇交力系和一个空间力偶系，如图4.9（b）所示。其中),,2,1()(,niiOiiiFMMFF作用于O点的空间汇交力系可以合成为一个力FR（图4.9c），此力的作用线过O点，大小和方向等于力系的主矢，即niin121RFFFFF空间力偶系可合成为一个力偶MO（图4.9c），其力偶矩矢等于各附加力偶矩矢的矢量和，也就是原力系中各力对简化中心O取矩的矢量和，即力系对O点的主矩)(121iniOnFMMMMMO因此可得如下结论：空间任意力系向空间任一点O简化可以得到一个力和一个力偶。该力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线过简化中心O；该力偶的矩矢等于该力系对简化中心O的主矩。由式（4-7）可得该合力的大小为222)()()(ZYXFR（4-21）由式（4-13）可得该合力偶矩矢的大小为222222)]([)]([)]([)()()(FMFMFMMMMMyyxiziyix（4-22）4.4.3空间任意力系的平衡方程空间任意力系平衡的充分必要条件是：该力系的主矢和对任意一点的主矩都等于零。由式（4-21）和（4-22）得空间任意力系的平衡方程为图4.90)(0)(0)(000FFFzyxMMMZYX（4-23）可见，空间任意力系有6个平衡方程，可以解6个未知量。空间任意力系平衡方程除了式（4-23）形式外，也有其他形式。只要保持方程的数目不变，可以将投影方程式改为取矩方程式。将空间汇交力系、空间平行力系等特殊力系看成是空间任意力系的特殊情况，可以从空间任意力系平衡方程中得到其他特殊力系的平衡方程。在如图4.10所示空间平行力系中，式（4-23）平衡方程中，∑X=0，∑Y=0和∑Mz（F）=0均为恒等式。因此，空间平行力系的平衡方程为0)(0)(0FFyxMMZ（4-24）可见，空间平行力系有3个平衡方程，可以解3个未知量。【例4-3】水平面内的刚架ABC如图4.11所示，自由端C处作用着平行于y轴的力Fy和平行于x轴的力Fx，以及绕BC轴转动的力偶mC。求固定端A处的约束反力。解：（1）取ABC刚架研究，受力分析A端是固定端，其约束反力包括三个坐标方向的约束力FAx、FAy、FAz和三个方向的约束反力偶mAx