工程数学概率统计简明教程(同济大学应用数学系)》课后答案

习题一1.用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A:(1)抛一枚硬币两次,观察出现的面,事件A={两次出现的面相同};(2)记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数,事件A={一分钟内呼叫次数不超过3次};(3)从一批灯泡中随机抽取一只,测试其寿命,事件A={寿命在2000到2500小时之间}.解(1)={(+,+),(+,),(,+),(,)},A={(+,+),(,)}.(2)记X为一分钟内接到的呼叫次数,则={X=k|k=0,1,2,LL},A={X=k|k=0,1,2,3}.(3)记X为抽到的灯泡的寿命(单位:小时),则={X∈(0,+∞)},A={X∈(2000,2500)}.2.袋中有10个球,分别编有号码1至10,从中任取1球,A={取得球的号码是偶数},={取设B得球的号码是奇数},C={取得球的号码小于5},问下列运算表示什么事件:(1)AUB;(2)AB;(3)AC;(4)AC;(5)AC;(6)BUC;(7)AC.解(1)AUB=是必然事件;(2)AB=φ是不可能事件;(3)AC={取得球的号码是2,4};(4)AC={取得球的号码是1,3,5,6,7,8,9,10};(5)AC={取得球的号码为奇数,且不小于5}={取得球的号码为5,7,9};(6)BUC=BIC={取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6,8,10};(7)AC=AC={取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6,8,10}1133.在区间[0,2]上任取一数,记A=xx≤1,B=x≤x≤,求下列事件的表达式:224(1)AUB;(2)AB;(3)AB;(4)AUB.13解(1)AUB=x≤x≤;2413113(4)AUB=AUx0≤x或x≤2=x0≤x或x≤1或x≤24.用事件A,B,C22442的运算关系式表示下列事件:(1)A出现,B,C都不出现(记为E1);(2)A,B都出现,C不出现(记为E2);(3)所有三个事件都出现(记为E3);(4)三个事件中至少有一个出现(记为E4);(5)三个事件都不出现(记为E5);(6)不多于一个事件出现(记为E6);(7)不多于两个事件出现(记为E7);(8)三个事件中至少有两个出现(记为E8).解(1)E1=ABC;(3)E3=ABC;(5)E5=ABC;(2)E2=ABC;(4)E4=AUBUC;(6)E6=ABCUABCUABCUABC;ww(7)E7=ABC=AUBUC;(8)E8=ABUACUBC.5.一批产品中有合格品和废品,从中有放回地抽取三次,每次取一件,设Ai表示事件第i次w.kh1(2)AB=x0≤x≤或1x≤2IB=2(3)因为AB,所以AB=φ;daw.1x≤x≤41Ux1x≤2co3;2m抽到废品i=1,2,3,试用Ai表示下列事件:,(1)第一次,第二次中至少有一次抽到废品;(2)只有第一次抽到废品;(3)三次都抽到废品;(4)至少有一次抽到合格品;(2)只有两次抽到废品.解(1)A1UA2;(2)A1A2A3;(3)A1A2A3;(4)A1UA2UA3;(5)A1A2A3UA1A2A3UA1A2A3.6.接连进行三次射击,设Ai={第i次射击命中},i=1,2,3,B={三次射击恰好命中二次},C={三次射击至少命中二次};试用Ai表示B和C.解B=A1A2A3UA1A2A3UA1A2A3C=A1A2UA1A3UA2A3习题二解答w.1.从一批由45件正品,5件次品组成的产品中任取3件产品,求其中恰有1件次品的概率.50解这是不放回抽取,样本点总数n=,记求概率的事件为A,则有利于A的样本点数3455k=.于是2145545×44×5×3!99k21P(A)====50×49×48×2!392n5032.一口袋中有5个红球及2个白球,从这袋中任取一球,看过它的颜色后放回袋中,然后,再从这袋中任取一球,设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同.求(1)第一次,第二次都取到红球的概率;(2)第一次取到红球,第二次取到白球的概率;(3)二次取得的球为红,白各一的概率;(4)第二次取到红球的概率.解本题是有放回抽取模式,样本点总数n=72.记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为A,B,C,D.kh255P(A)==4975×210(ⅱ)有利于B的样本点数kB=5×2,故P(B)=2=49720(ⅲ)有利于C的样本点数kC=2×5×2,故P(C)=497×5355=.(ⅳ)有利于D的样本点数kD=7×5,故P(D)=2=49773.一个口袋中装有6只球,分别编上号码1至6,随机地从这个口袋中取2只球,试求:(1)最小号码是3的概率;(2)最大号码是3的概率.解本题是无放回模式,样本点总数n=6×5.(ⅰ)最小号码为3,只能从编号为3,4,5,6这四个球中取2只,且有一次抽到3,因而有利2×31样本点数为2×3,所求概率为=.6×55(ⅱ)最大号码为3,只能从1,2,3号球中取,且有一次取到3,于是有利样本点数为2×2,(ⅰ)有利于A的样本点数kA=52,故wwdaw.22×22=.6×5154.一个盒子中装有6只晶体管,其中有2只是不合格品,现在作不放回抽样,接连取2次,每次取1只,试求下列事件的概率:(1)2只都合格;(2)1只合格,1只不合格;(3)至少有1只合格.解分别记题(1),(2),(3)涉及的事件为A,B,C,则424×3×22P(A)===66×5×25242114×2×28P(B)===6×51562注意到C=AUB,且A与B互斥,因而由概率的可加性知2814P(C)=P(A)+P(B)=+=515155.掷两颗骰子,求下列事件的概率:(1)点数之和为7;(2)点数之和不超过5;(3)点数之和为偶数.解分别记题(1),(2),(3)的事件为A,B,C,样本点总数n=62(ⅰ)A含样本点(2,5),(5,2),(1,6),(6,1),(3,4),(4,3)61∴P(A)=2=66(ⅱ)B含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)105∴P(B)=2=186(ⅲ)C含样本点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3),(3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6),一共18个样本点.181∴P(C)==3626.把甲,乙,丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去,假设每间宿舍最多可住8人,试求这三名学生住不同宿舍的概率.解记求概率的事件为A,样本点总数为53,而有利A的样本点数为5×4×3,所以5×4×312P(A)==.25537.总经理的五位秘书中有两位精通英语,今偶遇其中的三位,求下列事件的概率:其中恰有一位精通英语;(1)事件A:(2)事件B:其中恰有二位精通英语;(3)事件C:其中有人精通英语.5解样本点总数为3所求概率为23122×3×3!63(1)P(A)====;5×4×310553(3)因C=AUB,且A与B互斥,因而339P(C)=P(A)+P(B)=+=.510108.设一质点一定落在xOy平面内由x轴,y轴及直线x+y=1所围成的三角形内,而落在这三SA1角形内各点处的可能性相等,计算这质点落在直线x=1/3的左边的概率.y解记求概率的事件为A,则SA为图中阴影部分,而||=1/2,112155|SA|==×=2232918最后由几何概型的概率计算公式可得|S|5/185OP(A)=A==.||1/299.(见前面问答题2.3)10.已知AB,P(A)=0.4,P(B)=0.6,求223213×3!3(2)P(B)==;=5×4×310531/3图2.3ww1.已知随机事件A的概率P(A)=0.5,随机事件B的概率P(B)=0.6,条件概率P(B|A)=0.8,试求P(AB)及P(AB).解P(AB)=P(A)P(B|A)=0.5×0.8=0.4P(AB)=P(AUB)=1P(AUB)=1P(A)P(B)+P(AB)=10.50.6+0.4=0.32.一批零件共100个,次品率为10%,从中不放回取三次(每次取一个),求第三次才取得正品的概率.10×9×90819==解p=.100×99×9899×9810783.某人有一笔资金,他投入基金的概率为0.58,购买股票的概率为0.28,两项投资都做的概率为0.19(1)已知他已投入基金,再购买股票的概率是多少?(2)已知他已购买股票,再投入基金的概率是多少?解记A={基金},B={股票},则P(A)=0.58,P(B)=0.28,P(AB)=0.19w.kh(4)P(BA)=P(AB)=P(φ)=0,P(AB)=P(AUB)=1P(AUB)=10.6=0.4;(5)P(AB)=P(BA)=0.60.4=0.2.11.A,B是两个事件,设已知P(A)=0.5,P(B)=0.7,P(AUB)=0.8,试求P(AB)及P(BA).解注意到P(AUB)=P(A)+P(B)P(AB),因而P(AB)=P(A)+P(B)P(AUB)=0.5+0.70.8=0.4.于是,P(AB)=P(AAB)=P(A)P(AB)=0.50.4=0.1;P(BA)=P(BAB)=P(B)P(AB)=0.70.4=0.3.daw.习题三解答课后答案(1)P(A),P(B);(2)P(AUB);(3)P(AB);(4)P(BA),P(AB);(5)P(AB).解(1)P(A)=1P(A)=10.4=0.6,P(B)=1P(B)=10.6=0.4;(2)P(AUB)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)+P(B)P(A)=P(B)=0.6;(3)P(AB)=P(A)=0.4;网co1mx.(1)(2)P(B|A)=P(A|B)=P(AB)0.19==0.327.P(A)0.58coP(AB)0.19==0.678.P(B)0.284.给定P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.15,验证下面四个等式:P(A|B)=P(A),P(A|B)=P(A),P(B|A)=P(B),P(B|A)=P(B).P(AB)0.151===P(A)解P(A|B)=P(B)0.32P(AB)P(A)P(AB)0.50.150.35=P(A|B)====0.5=P(A)P(B)1P(B)0.70.7P(AB)0.15P(B|A)===0.3=P(B)P(A)0.5P(AB)P(B)P(AB)0.30.150.15P(B|A)=====P(B)1P(A)0.50.5P(A)5.有朋自远方来,他坐火车,船,汽车和飞机的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4,若坐火车,迟到的概率是0.25,若坐船,迟到的概率是0.3,若坐汽车,迟到的概率是0.1,若坐飞机则不会迟到.求他最后可能迟到的概率.m网解且按题意则B={迟到},A1={坐火车},A2={坐船},A3={坐汽车},A4={乘飞机},B=UBAi,4P(B|A1)=0.25,P(B|A2)=0.3,P(B|A3)=0.1,P(B|A4)=0.由全概率公式有:4i=16.已知甲袋中有6只红球,4只白球;乙袋中有8只红球,6只白球.求下列事件的概率:(1)随机取一只袋,再从该袋中随机取一球,该球是红球;(2)合并两只袋,从中随机取一球,该球是红球.解(1)记B={该球是红球},A1={取自甲袋},A2={取自乙袋},已知P(B|A1)=6/10,P(B|A2)=8/14,所以161841P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=21021470147=(2)P(B)=24127.某工厂有甲,乙,丙三个车间,生产同一产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%,求该厂产品的次品率.解0.25×0.05×+0.35×0.04+0.4×0.02=