常微分方程练习题

习题一一、单项选择题.1.微分方程352cosyyyy的阶数是（）.A.1B.2C.3D.52.克莱罗方程的一般形式是（）.A.()yxyyB.()xxyyC.()yxyxD.()xxyy3.下列方程中为全微分方程的是（）.A.0xdyydxxyB.220xdyydxxyC.0xdyydxD.220xdyydx4.用待定系数法求方程22xyyyxe的特解*y时，下列特解的设法正确的是（）.A.*2()xyaxbxceB.*2()xyxaxbxceC.*2()xyxaxbeD.*22()xyxaxbxce5．Lipschitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题1．方程tanyxy的所有常数解是.2．函数3252xxyC满足的一阶方程是.3．设22123,,xxxxxxxyxeeyxeeyxeee为某一常系数二阶非齐次方程的三个解，则此方程为.4．方程21yy满足解的存在唯一性定理条件的区域是.5．系统dxxdtdyydt的零解的是稳定的.三、求下列一阶微分方程的通解.1.22410dyyxydxx2.2(cossin)dyyyxxdx3.(2)0.xydxxdy四、求下列高阶方程的通解.1.1cosyyx2.试用观察法求方程211(1ln)0xyyyxx的通解．五、求解微分方程组5533xyzyxyzxz的通解.六、判定系统33333dxxydtdyxydt的零解稳定性.七、证明题1．设)(xf在),0[上连续，且0)(limxfx，求证：方程)(ddxfyxy的任意解)(xyy均有0)(limxyx.2.假设m不是矩阵A的特征值，试证非齐线性方程组mtCeAXdtdX，有一解形如：mtPet)(.其中PC,是常数向量.习题二一、单项选择题1.微分方程22xydxdy的阶数是（）.A.1B.2C.3D.42.克莱罗方程的一般形式是（）.A.()yxyyB.()xxyyC.()yxyxD.()xxyy3.Lipschitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.n阶齐次线性常微分方程的任意1n个解必定（）.A.可组成方程的一个基本解组B.线性相关C.朗斯基行列式不为0D.线性无关5．用待定系数法求方程2xyyyxe的特解*y时，下列特解的设法正确的是（）.A.*2()xyaxbxceB.*2()xyxaxbxceC.*2()xyxaxbeD.*22()xyxaxbxce二、填空题.1．当n时，微分方程nyxQyxPy)()(为伯努利方程．2．在方程0)()(xtqxtpx中，当系数满足条件时，其基本解组的朗斯基行列式等于常数.3．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．4．方程21yy满足解的存在唯一性定理条件的区域是.5．设Ix0，)(,),(1xYxYn是区间I上线性齐次微分方程的n个解，则)(,),(1xYxYn在区间I上线性相关的条件是向量组)(,),(001xYxYn线性相关.三、求下列一阶微分方程的通解.1.xyxyxyyxln)(2.2(cossin)dyyyxxdx3.0)1()(dyedxeeyyyx四、求下列高阶方程的通解.1.02yyxy2.1cosyyx五、求解微分方程组xydtdyxydtdx5445的通解.六、判定系统33333dxxydtdyxydt的零解稳定性.七、证明题.1．设(,)fxy及yf连续,试证方程0),(dxyxfdy为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x的积分因子.2.设在方程0)()(22yxqdxdyxpdxyd中，)(xp在区间I上连续且恒不为零，试证它的任意两个线性无关解的朗斯基行列式是在区间I上严格单调函数．习题三一、单项选择题.1.微分方程yxxysin的阶数是（）.A.1B.2C.3D.52.下列方程中为全微分方程的是（）.A.0xdyydxxyB.220xdyydxxyC.0xdyydxD.220xdyydx3.微分方程nyxQyxPy)()(，当1n时为（）.A.一阶线性齐次微分方程B.一阶线性非齐次微分方程C.伯努利方程D.里卡蒂方程4.Lipschitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5．用待定系数法求方程22(2)xyyyxxe的特解*y时，下列特解的设法正确的是（）.A.*2()xyaxbxceB.*2()xyxaxbxceC.*2()xyxaxbeD.*22()xyxaxbxce二、填空题.1．函数12cossinxctct(其中21,cc为任意常数)满足的一阶方程是.2．方程0dcotdtanyxxy所有常数解是．3．设22123,,xxxxxxxyxeeyxeeyxeee为某一常系数二阶非齐次方程的三个解，则此方程为.4．方程21yy满足解的存在唯一性定理条件的区域是.5．与初值问题2)1(,7)1(,72xxetxxxt等价的一阶方程组的初值问题为.三、求下列一阶微分方程的通解.1.02)1(22xyyx2.2(cossin)dyyyxxdx3.532)4(yxyyx四、求下列高阶方程的通解.1.0222xxtxt2.02xxx五、求解微分方程组5533xyzyxyzxz的通解.六、判定系统33333dxxydtdyxydt的零解稳定性.七、证明题.1．设)(xf在),0[上连续，且0)(limxfx，求证：方程)(ddxfyxy的任意解)(xyy均有0)(limxyx.2.证明：二阶线性齐次方程的任意两个线性无关解组的朗斯基行列式之比是一个不为零的常数．习题四一、单项选择题1.微分方程2yxyx的通解中含有任意常数的个数为（）.A.1B.2C.3D.42.当1n时，微分方程()()nypxyqxy最确切的名称为（）.A.一阶线性齐次微分方程B.伯努利方程C.一阶线性非齐次微分方程D.里卡蒂方程3.Lipschitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.在整个数轴上线性无关的一组函数为（）.A.,1,1xxxB.230,,,xxxC.22,xxeeD.22,xxee5．用待定系数法求方程22xyyyxe的特解*y时，下列特解的设法正确的是（）.A.*2()xyaxbxceB.*2()xyxaxbxceC.*2()xyxaxbeD.*22()xyxaxbxce二、填空题.1.方程0dcotdtanyxxy所有常数解是．2．若12(),()yyxyyx是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．3．方程21yy满足解的存在唯一性定理条件的区域是.4．已知cost和sint是二阶齐次线性方程()()0xatxbtx的两个解，则()at．5．如果常系数线性方程组xAx的特征值的实部都是负数，则该方程组的任一解当t时收敛于．三、求下列一阶微分方程的通解1.tandyyydxxx2.yxxydxdy2223.0)1()(dyedxeeyyyx四、求下列高阶方程的通解1.2350txtxx2.''tanxxt五、求解常微分方程组4545dxxydtdyyxdt.六、判定系统33xyaxyxay（这里的a）的零解稳定性.七、设)(xy在),0[上连续可微，且有0)]()([limxyxyx，试证：0)(limxyx.