常微分方程初值问题答案

1.(10分）对常微分方程初值问题(0)1(01)dyydxyx取步长0.1,h分别用改进的Euler法和标准的四阶Runge-Kutta法作数值计算,写出公式和简要推导过程，并把结果填入表内。解：（1）改进的Euler方法：代入公式得10.905nnyy，即0.905nny…2分（2）标准的四阶Runge-Kutta方法：1123412132430.1(22)0.90483756(0.05)0.95(0.05)0.9525(0.1)0.90475nnnnnnnnnnyykkkkykykykykykykyky即0.9048375nny……（4分）nx改进的Euler法ny经典四阶R-K法ny准确值()nyx0.10.90500000.90483750.90483740.20.81902500.81873090.81873080.30.74121760.74081820.74081820.40.67080200.67032030.67032000.50.60707580.60653090.60653070.60.54940350.54881200.54881160.70.49721020.49658560.49658530.80.44997530.44932930.44932900.90.40722760.40657000.40656971.00.36854100.36787980.36787942.对常微分方程初值问题12(0)1(01)dyydxyx取步长0.1,h分别用改进的Euler法和标准的四阶Runge-Kutta法作数值计算,写出公式和推导过程，并把结果填入表内。解：（1）改进的Euler方法：代入公式得10.95125nnyy，即0.95125nny……………….(2分)（2）标准的四阶Runge-Kutta方法：1123412132430.1(22)0.9512196/2(0.05)/20.4875(0.05)/20.4878125(0.1)/20.47622nnnnnnnnnnyykkkkykykykykykykyky即0.95145314nny……(4分)nx改进的Euler法ny经典四阶R-K法ny准确值()nyx0.10.9512500.9512190.9512290.20.9048770.9048180.9048370.30.8607640.8606970.8607080.40.8188020.8186950.8187310.50.7788850.7787580.7788010.60.7409140.7407700.7408180.70.7047950.7046340.7046880.80.6704360.6702610.6703200.90.6377520.6375650.6376281.00.6066620.6064640.606531……...(10分)《数值分析》复习题一、填空题1.绝对误差限=末位的一半+单位，相对误差限=绝对误差限/原值*100%1.度量一根杆子长250厘米，则其绝对误差限为，相对误差限是。2.测量一支铅笔长是16cm，那么测量的绝对误差限是，测量的相对误差限是。3.称量一件商品的质量为50千克，则其绝对误差限为，相对误差限是。2.利用平方差的方法4.在数值计算中，当a是较大的正数时，计算1aa应变成_____________5.在数值计算中，计算356应变成来计算。6.在数值计算中，计算1cos3应变为来计算。3.f的位数与f（x）的最高次相同的话，就是最高位的常数，大于的话为07.若543()2792100fxxxxx，则12345[1,4,4,4,4,4]f______________，123456[1,3,3,3,3,3,3]f。8.函数()fx关于三个节点012,,xxx的拉格朗日二次插值多项式为3.f(x)=f(x0)[(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)(x0-x2)]，4(,)nBfx∑f（k/n）Pk(x)=x9.当()fxx时，(,)nBfx。10.代数式222236()66xxRxxx______________,323222122()23xxRxxx__________________.11.已知方程组123123123103127322115xxxxxxxxx，那么收敛的Jacobi迭代格式为：，收敛的GS迭代格式为：收敛理由是严格对角占优矩阵,12.已知线性方程组1233111193234184xxx，那么收敛的Jacobi迭代格式：12.化为线性方程2.调整排序收敛的G-S迭代格式：。收敛理由是严格对角占优矩阵,13.求积公式0()nnkkkIAfx至少有n次代数精度的充要条件是________它是插值型____________;当n是偶数时，牛顿-柯特斯公式()0()()nnnkkkIbaCfx至少有___n+1__P103_____次代数精度；高斯求积公式0()()()nbkkakfxxdxAfx至少有_____2n+1_P116____次代数精度。14.设7227227227nnAR，则矩阵A的特征值的界为（2.2）与7的和、差为界，矩阵1A的特征值的界为界的倒数。Amax（1=i=n）∑(j(1,n))|aij|等价于每一列中最大值的和1Amax（1=j=n）∑(i(1,n))|aij|等价于每一行中最大值的和2A作业第五章12P11615.已知1235A，314x，那么A________,1A________,2A________,x________,1x________,2x________,其中相等的范数有_______A____________1x__________.二、判断题1.如果插值节点01,,...,nxxx互不相同，则满足插值条件的n次插值多项式是存在且唯一。（x）2.迭代改善法能够解决一切方程组的病态问题。（x）3.区间[,]ab上的三次样条插值函数()Sx在[,]ab上具有直到三阶的连续函数。（）4.已知12.533.5A，51x，那么1A1x。（1）5.求解29的近似值，我们能用函数逼近的插值法，解方程的二分法以及迭代法中的牛顿法来完成。（1）6.插值法是函数逼近、数值微分和微分方程数值解的基础。（1）7.。（）8.在使用松弛法（SOR）解线性代数方程组AXb时，若松弛因子满足11，则迭代法一定不收敛。（1）9.求解单变量非线性方程()0fx，弦截法具有1.618阶收敛，抛物线法具有1.840阶收敛，牛顿法具有2阶收敛。（1）10.常微分方程初值问题数值解法的理论根据是函数的泰勒展开。（1）11.解单变量非线性方程()0fx，牛顿法在单根附近具有2阶收敛，若再用Steffensen迭代法，则为3阶收敛。（1）三、计算解答题和证明题1、已知函数表如下：x0.00.20.40.60.8xe1.00001.22141.49181.82212.2255构造差分表，用三点牛顿插值多项式，求12.0e和72.0e的近似值。1.列出牛顿的插值表2.Px=f（x0）+……P322、用适当的二次插值多项式求ln1.14和ln1.88，并估计误差，函数表如下：x1.11.31.51.71.9lnx0.09530.26240.40550.53060.64193、试用最小二乘法求一次多项式拟合以上数据，并求出均方误差，某实验数据如下：P75（1）ix1346iy1.23.556（2）ix12345iy02254（3）ix1346iy1.23.556（4）ix-2-1123iy7521-14、二分法求根作业第七章1(1)方程034xx在[1,2]附近的根，使绝对误差不超过0.01（绝对误差估计式：11*2nnabxx）;(2)方程32()33fxxxx在[1,2]附近的根，使绝对误差不超过0.01;(3)方程4210xx,在[-2,-1]附近的根，使绝对误差不超过0.01。第六章5、用适当的方法解方程组：(1)123123123424421051145219xxxxxxxxx;(2)123310413150134xxx;(3)123210315210231xxx.作业第四章146、写出复合梯形公式、复合辛普生公式、复合柯特斯公式及龙贝格公式之间的关系，并用龙贝格方法计算积分dxx311，误差限不超过310。7、写出复化梯形公式、复化辛普生公式、复化柯特斯公式及龙贝格公式关系式，并计算积分0cosxexdx，已知134.778519T，217.389259T，413.336023T，812.382162T8、设方程组12341234123412347239210683032910xxxxxxxxxxxxxxxx，写出Jacobi迭代法和GS迭代法的迭代格式，并证明它们是收敛的。9、对常微分方程初值问题（1）(0)1(01)dyydxyx（2）2(0)1(01)dyydxyx（3）12(0)1(01)dyydxyx取步长0.1,h分别用Euler法和标准的四阶Runge-Kutta法作数值计算，列表写出结果，并与准确值比较。10、求129，至少用三种方法求值，并简要叙述求解过程。11、设A是正交矩阵，证明2()1CondA。12、（1）当()fxx时，(,)nBfxx；（2）1()kkkkkkfgfggf；（3）如果A是正交阵，则2()1condA。13、证明：适当选取待定参数a,求积公式)]()0([)]()0([2)(''20hffahhffhdxxfh的代数精度可达到3m。14、试证明：适当选取待定参数0A,1A，2A，求积公式)2()()0()(21300hfAhfAfAdxxfh的代数精度可达到2m。15、证明Chebyshev多项式()nTx满足微分方程2'''2(1)()()()0nnnxTxxTxnTx。16、已知方阵221111321A，（1）证明：A不能分解成一个单位下三角阵L和一个上三角阵U的乘积；（2）试通过交换A的行，进行LU分解。二、课本习题1．每章的“复习与思考题”2.P48,2,4,8,16;P94,7,10,13,16,19;P135,1,14;P176,7,8,9,10,13,19,20;P209,1,2;P238,1,3,7,12;P275,1,2;P315,1,4,10.1.(10分）对常微分方程初值问题(0)1(01)dyydxyx取步长0.1,h分别用改进的Euler法和标准的四阶Runge-Kutta法作数值计算,写出公式和简要推导过程，并把结果填入表内。解：（1）改进的Euler方法：代入公式得10.905nnyy，即0.905nny…2分（2）标准的四阶Runge-Kutta方法：1123412132430.1(22)0.90483756(0.05)0.95(0.05)0.9525(0.1)0.90475nnnnn