常见解析几何中的一些最值问题人教版

用心爱心专心118号编辑-1-常见解析几何中的一些最值问题张凤仙（贵州师范大学数学与计算机科学学院贵州贵阳550001）摘要：有关解析几何中的最值问题，在中学数学中较为常见，相对高中数学的其他分科如代数、立体几何、三角中的最值问题，它亦占据了相当的比重，以下将从具体的实例出发，分析并介绍几种比较典型的解题方法，找出一般的解题程序与技巧。关键词：最值；函数解析式；二次函数；自变量；已知量引言：中学数学的最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各学科中，在生产实践当中也有广泛的应用，也是历届各类考试的热点。学习如何利用一定的数学方法来解决这类问题，能够提高分析问题和解决问题的能力，也是进一步为学习高等数学中的最值问题打下基础。下面将针对解析几何中的最值问题，作出几种具体分类讨论：一、利用二次函数的知识求最值关于二次函数：y=ax2+bx+c（a≠0），x∈R当x=-ab2时，y=abac442为最值。当a0时，有ymin当a0时，有ymax但通常二次函数有相应的定义域，自变量x的具体取值范围有所不同，讨论最值的方式也有所不同。主要有两种情况：1、x∈R，当a0，则有ymin=abac442当a0，则有ymax=abac4422、当x定义在闭区间，即x∈[a，b]（a,b为常数），则应当看对称轴x=-ab2是否在此区间，如果x在此区间，则函数同时有最大值与最小值，如果x不在此区间，则函数的最大值与最小值必定分别取在该区间两个端点上（具体由函数单调性决定）。当x定义在一个含参数的闭区间即x[t,t+a]（t为参数，a为常数）时，需要对参数进行讨论。例1.1已知二次函数y=x2-x2sec+2cos22sin2（为参数，cos≠0）①求证此抛物线系的顶点轨迹为双曲线。②求抛物线y=x2+2x+6到上述双曲线的渐近线的最短距离。分析：由于该二次函数y的定义域为R，所以这道题应归结于上述类别1。对于问题①虽然所给解析式中含有参数，（为抛物线系）但实际上它是一个关于自变量x的二次函数，通过配方，可对其变形，得到该抛物线的顶点，观察后可以判断这是一个含有参数的轨迹方程。此时，消掉参数即可求解；对于问题②，已知某抛物线方程及已经求得的双曲线方程，要求该抛物线到该双曲线的渐近线的最短距离即为求某动点到定直线的距离，首先应该把该动点设出，其次要确定该直线的方程，这样方可根据点到直线的距离公式，得出所求最值的函数对象，从而求得最值。随之确定这个点。解：①由y=x2-2xsec+2cos22sin2y=x-2xsec+sec222cos22sin2sec用心爱心专心118号编辑-2-=(x-sec)2+tg设该抛物线系的顶点为（x，y）则有：tgyxsec此时消去参数即得：x2-y2=1即顶点轨迹为此双曲线②设抛物线y=x2+2x+6上的动点为（62,0200xxx）双曲线122yx的渐近线分别是为x+y=0与x-y=0则代入公式得到：]425)23[(21)62(212002001xxxxd]423)21[(21)62(212002002xxxxd∵Rx0∴当230x时，8215min1d当210x时，8223min2d∴8215mind，亦即在此抛物线上的点)421,23(到双曲线的渐近线x+y=0的距离最短，其值为8215。例1.2试用a表示从点P（0,a）到曲线y=|122x|上的点Q（x,y）的距离的最小值（a1）。分析：本题所要求解的是y轴上指定范围内的动点P到已知曲线上的最短距离，观察因已知曲线的解析式含有绝对值，故须对自变量x的取值先进行讨论，去掉绝对值符号，然后明确所求极值的函数对象，经分析，该抛物线的对称轴数值能够取在x的定义域范围内，故有最值存在。解：由|12|2xy当0122x，即22xx或时12|12|22xxy设曲线上的点Q（12,2xx）用心爱心专心118号编辑-3-故12)2(])12[(||222222aaxaxxPQ∵122x，而a1（已知）∴当22xa时，即|PQ|min=12a同理，当0122x，即22x时y=21|12|22xx解得：|PQ|min=a-12a+1-(a-1)2=4a-a2=a(4-a)又a1∴当1a4时，有112aa，即|PQ|min=a-1当a4时，有112aa，即|PQ|min=12a例1.3已知抛物线（x-1）2=y-1，x]1,[tt，其y的最小值是g(t)，试写出S=g(t)的解析表达式，并画出其图象。分析：该题的目标函数已经给出，y=(x-1)2+1，自变量x是定义在一个含有参数t的闭区间内，此时需求参数t与抛物线对称轴点的位置关系进行讨论。如图（1）当,11tt即10t,ymin=1当11t，即0t时，11)11(22mintty当1t时，221)1(22minttty经求解可知S=g(t)是一个关于t的分段函数。如图（2）yy=(x-1)2+1g(t)Ott+1xOtx=1（1）（2）补充说明：当x是定义在一个闭区间[a,b]（a,b为常数），但抛物线为动抛物线（或一些一元双二次式）时，仍需讨论。二、运用判别式求解让我们先具体看一下例题，找出这类求解方法的题目特征例2.1已知定点P（3，2）和直线xyl2:0，试在直线0l上求一点Q，使过PQ的直线与直线0l以及x轴在第一象限内围成的三角形面积最小。用心爱心专心118号编辑-4-分析：本题设问的是达到最值时过PQ的直线，此时我们需要根据题设寻出关于面积最值的函数解析式，找出它与所求未知量之间的联系。解：如图，设0l上的点Q（00,yx）由题设知，002xy,又P（3,2），由直线两点方程得：33222:00xxxylPQ设PQl交x轴于M点（x1，0），代入上式得：33222010xxx∴12001xxx，即M点（0,1200xx）又S△OMQ=1221221020000xxxxx∴02020SSxx①∵),1(0x∴△=S2-8S0由S0可得S≥8∴Smin=8代入①式得：044020xx20x4200xy∴当Q为（2,4）时，S△OMQ最小评注：关于这类题目，通常其提问方式都是以最值作为前提条件，再由此求出其对应所求自变量的值，具体特征：所列最值的函数解析式或化简后的解析式s=f(x)可以化为：0)()()(3221sxsxs的形式（)(),(),(321sss是s的函数）一般的解决方法：在上式中，由Rx（或x可在某一定义域范围内取值）可以得出△0)()(43122sss）（，解这个不等式求出s的变化范围，得到最值，再将其代回原式解x，最终求出其对应自变量的值。下面，我们可再通过一个实例来体会函数判别式法在最值问题当中的应用。例2.2长度为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，线段AB的中点为M，求点M到y轴的距离最短时M点的坐标。解：设抛物线上的点A（11,yx），B（22,yx）则1x=21y，222yx①yl0xOMQP用心爱心专心118号编辑-5-AB的中点M到y轴的距离d=221xx②∵（21yy）2+93)(2221xx③由①②③可并设2222121Zyyxx得221xxd，也即22221yyd对③变形得：94)(221221212221xxxxyyyy∴2d-2Z+4d2-4Z2=9即4Z2+2Z+9-4d2-2d=0∵Z0R∴△=4-16(9-4d2-2d)≥0解上得：d≥45或d≤47（舍去）∴d45即有dmin=45代入方程可得Z=-41，也即4121yy又2122212212)(yyyyyyZxx221=2d+2Z2125=2∴22221yy∴M(22,45)三、利用不等式法求解均值不等式的一般形式：A=nnnaaanaaa2121G，（其中naaa,,,21为正数且n1，nZ）不等式通常分“基本不等式”和“均值不等式”两种结构特征，利用基本不等式求最值时，一定要关注等号成立的条件及等号是否能够取得，而利用均值不等式求最值，则必须关注三个条件“一正、二定、三相等”，所谓一正，即正值，这是运用此方法的前提条件，在解题中应予以说明论述；二定，即定值，它须通过恒等变换包括必要的技巧方能解决，是运用此方法的关键条件也是难点；三相等，即等值，是当且仅当等号成立的条件，则可求出自变量的值，最后还应注意的是最值，应为和的最值（此时积为定值）或积的最值（此时和为定值）。例3.1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的高与宽的比为)1(画面的上，下各留8cm空白，左右各留5cm的空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？分析：此题系2001年全国高考文科试题，应根据几何图形，引入变量，建立面积函数，注意题设所给的)1(是解此题的一个关键条件。用心爱心专心118号编辑-6-解：设画面高为x,宽为x，48402xxx设纸张面积为S，则S=（x+2×8）（x+2×5）=x+1616010xx由x2=4840得10224840x代入上式得：S=5000+1044（58）（01）故可由均值不等式得到：S5000+1044·104=6760当且仅当58，即=85时等号成立则85时，Smin=6760代入得x=88，x=55故当高为88cm，宽为55cm时，能使纸张面积最小。例3.2设点O是直角坐标系的原点，点M在直线)0(:PPxl上移动，动点N在线段MO的延长线上，且满足|MN|=|MO|·|NO|（Ⅰ）求动点N的轨迹方程。（Ⅱ）当P=1时，求|MN|的最小值。解：（Ⅰ）设N（x,y）（x0）由题设M、O、N三点共线，可联想到对应线段成比例此时需作辅助线段，好M、N两点各到x轴的垂线段得到比值，求出轨迹方程，过程略。所得轨迹方程：（P2-1）x2+P2y2-2Px-P2=0（x0）（Ⅱ）当P=1时，N点轨迹代入即为y2=2x+1（x0）设N（x,y）M(-1,t)由M、O、N三点共线得：)1(0000txy即txy∴M（-1，xy）则|MN|=xxxyyx222)1()()1(=42221xx当且仅当xx1即x=1时等式成立yMM′x=–poN′Nx用心爱心专心118号编辑-7-∴当x=1时，|MN|min=4引伸例题：例3.3已知椭圆2222byax=1（ab0）的一条切线与两条坐标轴分别交于A、B两点，求|AB|的最小值。（本题若用不等式法求解：关键应注意如何凑定值）四、利用三角函数求最值。①函数y=sinx，在x=K22，K∈Z时取最大值y=1在x=-K22，K∈Z时取小值y=–1②函数y=cosx，在x=2K，K∈Z时取最大值y=1在x=(2K+1)π，K∈X时取最小值y=–1例4.1求抛物线y2=2Px过焦点F的弦长的最小值。分析：线段AB上的端点均为流动点，且由题设知该一段与x轴所成夹，角θ应作为一个参变量，此时可考虑用曲线的参数方程来表达流动点。解：设过焦点的弦所在的直线的参数方程为：x=cos2tPy=t·sinθ代入y2=2Px得t2sinθ－2Ptcosθ－P2=0∵|AB|2=(t1－t2)=(t1+t2)2－4t1t2=4222222cos)sin(cos4sin4)sincos2(PPp∴|AB|=PP2sin22yA∴当θ=2时，|AB|min=2POFxB（除此以外，该题还可考虑用极坐标设A、B两点，求出|AB|最