平移变换几何证明与计算中的应用

1平移变换在几何中的应用平移变换是几何中的一种重要变换，运用平移变换可以将分散的线段、角或图形集中到一起，便于问题的研究和解决。这是平移变换中的常用方法，下面仅举几例，以作说明。一、平移变换在几何证明中的应用例1．如图，△ABC中，BD=CE，求证：AEADACAB【解析】本题涉及到证明的几条线段虽然都交于一点，但对于证明这样一个几何不等式不是很方便。再有BD=CE，运用平移变换，将△AEC平移到△A’BD的位置，问题迎刃而解。【答案】证明：如图2,分别过点D、B作CA、EA的平行线，两线相交于F点，DF于AB交于G点。所以ACEFDB，AECFBD在△AEC和△FBD中，又CE=BD，可证△AEC≌△FBD，所以AC=FD，AE=FB，在△AGD中，AG+DGAD，在△BFG中，BG+FGFB，所以AG+DG-AD0,BG+FG-FB0,所以AG+DG+BG+FG-AD-FB0,即AB+FDAD+FB，所以AB+ACAD+AE.【思考】本题还有没有平移其他图形的方法？例2．如图，梯形ABCD中，∠B+∠C=90°，点E、F分别为上下底边的中点，求证：)(21ADBCEF【解析】题目需要证明的几条线段是分散的，通过平移变换可以将AB、EF、DC集中到一起。此时，其他条件也很能好好地得到应用。【答案】证明：分别过点E、F作EG//AB,EH//CD交BC于点G、H所以四边形ABGE,DEHC是平行四边形.AE=BG,DE=CH,EDCBAGFDEABCFEDCBAHGFEDCBA2因为FB=FC,所以FG=FH=)(21ADBC所以∠EGC=∠B，∠EHB=∠C,又∠B+∠C=90°，所以∠EGC+∠EHB=90°，∠GEH=90°所以△GEH是直角三角形.所以，EF=)(21ADBC二、平移变换在几何作图中的应用例3.如图，河流的河岸AB与CD平行，点A、B表示两个村庄，现要在河上架桥，满足两个条件：（1）桥与河岸垂直；（2）A、B两个村庄之间的线路最短，请问桥应架在何处？【解析】不管桥设计在何处，A、B两个村庄之间的路程中总有一段是河岸间的距离，所以运用平移变换，将河“平移”,使村庄A或B恰好在河岸上。【答案】过点A作AA’垂直河岸，且使AA’长度等于河的宽度，连结BA'交河岸于点C，过点C作CD垂直于河岸交河岸于点D，连结AD，则CD为桥的位置。【思考】如果A、B两个村庄之间有两条互相平行的小河，其他条件不变，桥的位置又该如何确定？例4.如图3，△ABC的三条中线分别为AD、BE、CF．在图3中利用图形变换画出并指明以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；【解析】以三条中线为边长的三角形，显然要对这三条线段进行“重新组合”，手段就是平移变换。【答案】BADCA'BA图33三、平移变换在几何计算中的应用例5.如图，六边形ABCDEF中，//,//,//,ABEDAFCDBCFE对角线.FDBD已知FD=24cm，BD=18cm.问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？【解析】题目中给出了很多平行且相等的线段，这就很容易联想到平移变换。通过平移变换，将图形“整形”，从而求出六边形的面积。【答案】如图，将△DEF平移到△BAG的位置，将△BCD平移到△GAF的位置，则原六边形分解组合成长方形BDFG.此长方形的边恰是已知长度的BD与FD.易知长方形BDFG的面积为24×28=432cm2.所以，六边形ABCDEF的面积是432cm2.例6.已知抛物线xxy65612与x轴的两个交点记为A，B，点M在直线xy2上，点P在抛物线上，求当以O、A、P、M为顶点的四边形为平行四边形时的P点坐标。【解析】本题运用平移变换在平面直角坐标系中的应用，这样求平行四边形的顶点坐标将会简便。因为平行四边形可以理解为一条线段沿平面内某一方向平移所扫过的图形。【答案】①若OA为边，则PM∥OA.设M(m,2m),∵OA=5，∴P(m+5,2m)或P(m-5,2m).当P(m+5,2m)时，∵P点在抛物线上，∴21555266mmm,解得120,7mm舍.∴P(12,14).当P(m-5,2m)时，∵P点在抛物线上，∴21555266mmm,解得342,25mm.∴P(-3,4)或P(20,50).②若OA为对角线，则PM为另一条对角线.[来源:Z&xx&k]∵OA中点为(52,0)，设M(m,2m),∴P(5-m,-2m).∵P点在抛物线上，∴21555266mmm,解得560,7mm舍.∴P(12,14).综上,符合条件的P点共有3个，它们分别是P1(12,14)、P2(-3,4)、P3(20,50).4【练习】1．已知，如图，△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，若BD=CE，求证：DEBC.2．在△HBC中，∠B=∠C，在边HC上取点D，在边BH上取点A，使HD=BA，连结AD.求证：AD≥BC213．在△ABC中，点P为BC的中点．（1）如图1，求证：AP＜21（AB+BC）；（2）延长AB到D，使得BD=AC，延长AC到E，使得CE=AB，连结DE．①如图2，连结BE，若∠BAC=60°，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明；②请在图3中证明：BC≥21DE．FEDCBA