平面向量复习学案(学生)

1第1课时向量的概念与几何运算1．向量的有关概念⑴既有又有的量叫向量．的向量叫零向量．的向量，叫单位向量．⑵叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量．⑶且的向量叫相等向量．2．向量的加法与减法⑴求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按法则或法则进行．加法满足律和律．⑵求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的重合，连结两向量的，方向指向．3．实数与向量的积⑴实数与向量a的积是一个向量，记作a．它的长度与方向规定如下：①|a|＝．②当＞0时，a的方向与a的方向；当＜0时，a的方向与a的方向；当＝0时，a．⑵(μa)＝．(＋μ)a＝．(a＋b)＝．⑶共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得．4．⑴平面向量基本定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使得．⑵设1e、2e是一组基底，a＝2111eyex，b＝2212eyex，则a与b共线的充要条件是．例1．已知△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点．设aAB，bAC，求BE．变式训练1.如图所示，D是△ABC边AB上的中点，则向量CD等于（）A．－BC＋BA21B．－BC－BA21C．BC－BA21D．BC＋BA21例2.已知向量2132eea，2132eeb，2192eec，其中1e、2e不共线，求实数、，使bac．变式训练2：已知平行四边形ABCD的对角线相交于O点，点P为平面上任意一点，求证：POPDPCPBPA4例3.已知ABCD是一个梯形，AB、CD是梯形的两底边，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若aAB，bAD，试用a、b表示BC和MN．变式训练3：如图所示，OADB是以向量OA＝a，OB＝b为邻边的平行四边形，又BM＝31BC，CN＝31CD，试用a、b表示OM，ON，MN．例4.设a，b是两个不共线向量，若a与b起点相同，t∈R，t为何值时，a，tb，31(a＋b)三向量的终点在一条直线上？变式训练4：已知,,,,OAaOBbOCcODdOEe，设tR，如果3,2,acbd()etab，那么t为何值时，,,CDE三点在一条直线上？1．认识向量的几何特性．对于向量问题一定要结合图形进行研究．向量方法可以解决几何中的证明．2．注意O与O的区别．零向量与任一向量平行．3．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明AB∥CD，需证AB∥CD，且AB与CD不共线．要证A、B、C三点共线，则证AB∥AC即可．4．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点．第2课时平面向量的坐标运算1．平面向量的坐标表示分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj．我们把(x、y)叫做向量a的直角坐标，记作．并且|a|＝．2．向量的坐标表示与起点为的向量是一一对应的关系．3．平面向量的坐标运算：若a＝(x1、y1)，b＝(x2、y2)，λ∈R，则：a＋b＝a－b＝λa＝已知A(x1、y1)，B(x2、y2)，则AB＝．4．两个向量a＝(x1、y1)和b＝(x2、y2)共线的充要条件是．例1.已知点A（2，3），B（－1，5），且AC＝31AB，求点C的坐标．变式训练1.若(2,8)OA，(7,2)OB，则31AB=.典型例题基础过关小结归纳典型例题基础过关ADBCBOADCNM2例2.已知向量a＝(cos2，sin2)，b＝(cos2，sin2)，|a－b|＝552，求cos(α－β)的值．变式训练2.已知a－2b＝(－3，1)，2a＋b＝(－1，2)，求a＋b．例3.已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，1e＝a＋2b，2e＝2a－b，且1e∥2e，求x．变式训练3.设a＝(ksinθ,1)，b＝(2－cosθ,1)(0θπ)，a∥b，求证：k≥3．证明:k＝sincos2∴k－3＝sin)3cos(22≥0∴k≥3例4.在平行四边形ABCD中，A(1，1)，AB＝(6，0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P．(1)若AD＝(3，5)，求点C的坐标；(2)当|AB|＝|AD|时，求点P的轨迹．变式训练4.在直角坐标系x、y中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上，且|OC|＝2，求OC的坐标．1．认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．2．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算．第3课时平面向量的数量积1．两个向量的夹角：已知两个非零向量a和b，过O点作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的．当θ＝0°时，a与b；当θ＝180°时，a与b；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作．2．两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝．规定零向量与任一向量的数量积为0．若a＝(x1,y1)，b＝(x2,y2)，则a·b＝．3．向量的数量积的几何意义：|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影(θ是向量a与b的夹角)．a·b的几何意义是，数量a·b等于．4．向量数量积的性质：设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ是a与b的夹角．⑴e·a＝a·e＝⑵a⊥b⑶当a与b同向时，a·b＝；当a与b反向时，a·b＝．⑷cosθ＝．⑸|a·b|≤5．向量数量积的运算律：⑴a·b＝；⑵(λa)·b＝＝a·(λb)⑶(a＋b)·c＝例1.已知|a|＝4，|b|＝5，且a与b的夹角为60°，求：(2a＋3b)·(3a－2b)．变式训练1.已知|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝5，求|2a－3b|的值．例2.已知向量a＝(sin，1)，b＝(1，cos)，－22．(1)若a⊥b，求；(2)求|a＋b|的最大值．变式训练2：已知(cos,sin)a，(cos,sin)b，其中0．(1)求证：ab与ab互相垂直；(2)若kab与akb的长度相等，求的值(k为非零的常数)．例3.已知O是△ABC所在平面内一点，且满足(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，判断△ABC是哪类三角形．解:设BC的中点为D，则(OCOB)(OAOCOB2)＝02BC·AD＝0BC⊥AD△ABC是等腰三角形.变式训练3：若(1,2),(2,3),(2,5)ABC，则△ABC的形状是.例4.已知向量m＝(cosθ,sinθ)和n＝(2－sinθ,cosθ)θ∈(π,2π)且|nm|＝528，求cos(82)的值.变式训练4.平面向量13(3,1),(,)22ab，若存在不同时为0的实数k和t，使2(3)xatb,,ykatb且xy，试求函数关系式()kft.1．运用向量的数量积可以解决有关长度、角度等问题．因此充分挖掘题目所包含的几何意义，往往能得出巧妙的解法．2．注意a·b与ab的区别．a·b＝0≠＞a＝0，或b＝0．3．应根据定义找两个向量的夹角。对于不共起点的两个向量，通过平移，使起点重合．变式训练4.已知△ABC的三个顶点为A（1，2），B（4，1），C（3，4）．(1)求AB边上的中线CM的长及重心G的坐标；(2)在AB上取一点P，使过P且平行于BC的直线PQ把△ABC的面积分成4︰5两部分（三角形面积：四边形面积），求点P的坐标小结归纳典型例题基础过关小结归纳AMBCDP3平面向量章节测试题一、选择题1.若A（2，-1），B（-1，3），则AB的坐标是()A.（1，2）B.（-3，4）C.（3，-4）D.以上都不对2.与a=（4，5）垂直的向量是()A.（-5k,4k）B.(-10，2）C.(54,kk)D.（5k,-4k）3.△ABC中,BC=a,AC=b,则AB等于()A.a+bB.-(a+b)C.a-bD.b-a4.化简52(a－b)－31(2a+4b)+152(2a+13b)的结果是()A.51a51bB.0C.51a+51bD.51a－51b5.已知|p|=22,|q|=3,p与q的夹角为4,则以a=5p+2q,b=p－3q为邻边的平行四边形的一条对角线长为()A.15B.15C.16D.146.已知A(2,-2),B(4,3),向量p的坐标为(2k-1,7)且p∥AB,则k的值为()A.109B.109C.1019D.10197.已知△ABC的三个顶点，A、B、C及平面内一点P满足PAPBPCAB，则点P与△ABC的关系是()A.P在△ABC的内部B.P在△ABC的外部C.P是AB边上的一个三等分点D.P是AC边上的一个三等分点8.已知△ABC的三个顶点，A(1,5)，B(-2,4)，C(-6,-4)，M是BC边上一点,且△ABM的面积是△ABC面积的41,则线段AM的长度是()A.5B.85C.25D.8529.设e1,e2是夹角为450的两个单位向量,且a=e1+2e2,b=2e1+e2,,则|a+b|的值()A.23B.9C.2918D.22310.若|a|=1,|b|=2,(a-b)⊥a,则a与b的夹角为()A.300B.450C.600D.75011.把一个函数的图象按向量a=(3,-2)平移后，得到的图象对应的函数解析式为y=sin(x+6)-2,则原函数的解析式为()A.y=sinxB.y=cosxC.y=sinx+2D.y=-cosx12.在△ABC中，AB=c,BC=a,CA=b,则下列推导中错误的是()A.若a·b0,则△ABC为钝角三角形B.若a·b=0,则△ABC为直角三角形C.若a·b=b·c,则△ABC为等腰三角形D.若c·(a+b+c)=0,则△ABC为等腰三角形二、填空题13.在△ABC中，已知,4ACAB且,8ACAB则这个三角形的形状是.14.一艘船从A点出发以hkm/32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为hkm/2，则船实际航行的速度的大小和方向是.15.若向量)4,7(),1,2(),2,3(cba,现用a、b表示c,则c=.16.给出下列命题:①若a2+b2=0,则a=b=0;②已知A),,(11yxB),(22yx,则);2,2(212121yyxxAB③已知a,b,c是三个非零向量,若a+b=0,则|a·c|=|b·c|④已知0,021,e1,e2是一组基底,a=λ1e1+λ2e2则a与e1不共线,a与e2也不共线;⑤若a与b共线,则a·b=|a|·|b|.其中正确命题的序号是.三、解答题17.如图,ABCD是一个梯形,CDABCDAB2,//,M、N分别是ABDC,的中点,已知ABa,ADb,试用a、b表示,DCBC和.MN18.设两个非零向量e1、e2不共线.如果AB=e1+e2,BC2e1+8e2,CD=3(e1-e2)⑴求证:A、B、D共线;⑵试确定实数k,使ke1+e2和e1+ke2共线.19.已知△ABC中,A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC边上的高为AD.⑴求证:AB⊥AC;⑵求点D与向量AD的坐标.20.已知△ABC的三个顶点为A(1,2),B(4,1),C(3,4).⑴求AB边上的中线CM的长;⑵在AB上取一点P,使过P且平行与BC的直线PQ把ABC的面积分成4:5两部分,求P点的坐标.21.已知a、b是两个非零向量，证明：当b与a+λb(λ∈R)垂直时，a+λb的模取得最小值.ABNMDC