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§2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义一、教材分析:教科书以物体受力做功为背景,引出向量数量积的概念,功是一个标量,它用力和位移两个向量来定义,反应在数学上就是向量的数量积。向量的数量积是过去学习中没有遇到过的一种新的乘法,与数的乘法既有区别又有联系。教科书通过“探究”,要求学生自己利用向量的数量积定义推导有关结论。这些结论可以看成是定义的直接推论。教材例一是对数量积含义的直接应用。二、学情分析:前面已经学习了向量的概念及向量的线性运算,这里引入一种新的向量运算——向量的数量积,教科书以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念,既使向量数量积运算与学生已有知识建立了联系,又使学生看到数量积与向量模的大小有及夹角有关,同时与前面的向量运算不同,其计算结果不是向量而是数量。三、三维目标:(一)知识与技能1、学生通过物理中“功”等实例,认识理解平面向量数量积的含义及其物理意义,体会平面向量数量积与向量投影的关系。2、学生通过平面向量数量积的3个重要性质的探究,体会类比与归纳、对比与辨析等数学方法,正确熟练的应用平面向量数量积的定义、性质进行运算。(二)过程与方法1、学生经历由实例到抽象到抽象的的数学定义的形成过程,性质的发现过程,进一步感悟数学的本质。(三)情感态度价值观1、学生通过本课学习体会特殊到一般,一般到特殊的数学研究思想。2、通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力.四、教学重难点:1、重点:平面向量数量积的概念、性质的发现论证;2、难点:平面向量数量积、向量投影的理解;五、教具准备:多媒体、三角板六、课时安排:1课时七、教学过程:(一)创设问题情景,引出新课问题:请同学们回顾一下,我们已经研究了向量的哪些运算?这些运算的结果是什么?新课引入:本节课我们来研究学习向量的另外一种运算:平面向量的数量积的物理背景及其含义(二)新课:1、探究一:数量积的概念展示物理背景:视频“力士拉车”,从视频中抽象出下面的物理模型背景的第一次分析:问题:真正使汽车前进的力是什么?它的大小是多少?答:实际上是力F在位移方向上的分力,即COSF,在数学中我们给它一个名字叫投影。“投影”的概念:作图定义:|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量,不是向量;2、背景的第二次分析:问题:你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?分析:COSSFw用文字语言表示即:力对物体所做的功,等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积;功是一个标量,它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示,能否把“功”看成是这两个向量的一种运算结果呢?平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,则数量|a||b|cos叫a与b的数量积,记作a·b,即有a·b=|a||b|cos(0≤θ≤π).并规定0与任何向量的数量积为0.注:两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cos的符号所决定.3、向量的数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.八、练习设计:例1已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角=60,求a·b解:由向量的数量积公式得:(先复习特殊角度的余弦值)a·b=|a||b|cos=5×4×cos60=5×4×21=10练习1已知|a|=8,|b|=6,①a与b的夹角为60,②a与b的夹角=00,求a·b;解:由向量的数量积公式得:①a·b=|a||b|cos=8×6×cos60=8×6×21=24①a·b=|a||b|cos=8×6×cos0=8×6×1=48归纳总结:由特殊到一般的数学思想得到:性质(1)当a与b同向时,a·b=ba;练习2已知|a|=1,|b|=2,当a与b的夹角为090时,求a·b和aa解:根据向量夹角的概念和向量的数量积公式得:①a·b=|a||b|cos=1×2×cos0=1×2×1=2②a·a=|a||b|cos=1×1×cos0=1×1×1=1归纳总结:⑵特别地aa常记作2a,这时2a=2a;⑶a⊥ba·b=0;练习4:九、课堂小结:“1+3”一个概念:数量积的定义a·b=|a||b|cos三个性质:1、当a与b同向时,a·b=ba;2、特别地aa常记作2a,这时2a=2a;3、a⊥ba·b=0;作业:基础作业:课本109页练习A,2,练习B,1、2课后思考:向量的数量积运算满足哪些运算律?十、板书设计§2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义1、投影2、向量的数量积公式3、向量数量积的性质例1十一、教学反思;b30b,2b,12a10aa,求的夹角为与、已知;b45b,4b,25a20aa求的夹角为与、已知
本文标题:平面向量的数量积教案;
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