年江苏省高中数学学案《映射》(苏教版必修)

第1页第18课时映射【学习目标】1．了解映射的概念，能够判定一些简单的对应是不是映射；2．通过对映射特殊化的分析，揭示出映射与函数之间的内在联系．【课前导学】一．在初中我们已学过一些对应的例子：（学生思考．讨论．回答）①看电影时，电影票与座位之间存在着一一对应的关系；②对任意实数a，数轴上都有唯一的一点A与此相对应；③坐标平面内任意一点A都有唯一的有序数对(x,y)和它对应；④任意一个三角形，都有唯一的确定的面积与此相对应；⑤高一（2）班的每一个学生与学号一一对应．二．前面学习的函数的概念—也是一种对应．本节我们将学习一种特殊的对应—映射.【课堂活动】一．建构数学：看下面的例子：设A，B分别是两个集合，为简明起见，设A，B分别是两个有限集0300450600902122239411-12-23-33-32-21-1149123123456(1)(2)(3)(4)开平方求正弦求平方乘以2AAAABBBB1说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A中的任何一个元素，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应1．映射：设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合A．B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射记作：BAf:第2页象、原象：给定一个集合A到集合B的映射，且BbAa,，如果元素a和元素b对应，则元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．关键字词：（学生思考、讨论、回答，教师整理、强调）①“A到B”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射,A到B是求平方，B到A则是开平方，因此映射是有序的；②“任一”：就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性；③“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性；④“在集合B中”：也就是说A中元素的象必在集合B中，这是映射的封闭性.指出：根据定义，（2）（3）（4）这三个对应都是集合A到集合B的映射；注意到其中（2）（4）是一对一，（3）是多对一思考：（1）为什么不是集合A到集合B的映射？答案：对于（1），在集合A中的每一个元素，在集合B中都有两个元素与之相对应，因此，（1）不是集合A到集合B的映射．【思考】如果从对应来说，什么样的对应才是一个映射?答案：一对一，多对一是映射但一对多显然不是映射【辨析】①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集．点集或由图形组成的集合等；②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都有原象，即A中元素的象集是B的子集.2．映射三要素：集合A．B以及对应法则f，缺一不可．3．映射与函数有什么关系？答案：由映射的概念可以看出，映射是函数概念的推广，特殊在函数概念中，A、B为两个非空数集．二．应用数学：例1判断下列对应是否映射？有没有对应法则？aeaeaebfbfbfcgcgcgdd(1)（2）（3）答案：（1）、（3）是映射，有对应法则，对应法则是用图形表示出来的例2下列各组映射是否同一映射？aeaeaebfbfbf第3页cgcgcg答案：不是．例3判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则12:xxf；（2）设}1,0{,*BNA，对应法则得的余数除以2:xxf；（3）NA，}2,1,0{B，除所得的余数被3:xxf；（4）设}41,31,21,1{},4,3,2,1{YX，取倒数xxf:；（5）NBNxxxA},,2|{，的最大质数小于xxf:．解：（1）是；（2）是；（3）是；（4）是；（5）是．例4给出下列四个对应的关系：①A=N*,B=Z,f:x→y=2x－3；②A={1，2，3，4，5，6}，B={y|y∈N*,y≤5}，f:x→y=|x－1|；③A={x|x≥2}，B={y|y=x2－4x+3}，f:x→y=x－3；④A=N,B={y∈N*|y=2x－1，x∈N*}，f:x→y=2x－1．上述四个对应中是函数的有．解：①中，对x∈A，在f作用下，在B中都有唯一的象，因此能构成映射.由于A、B均为非空数集，因而能构成函数；②中，当x=1时,y=0B，即集合A中的元素1在集合B中无象，因而不能构成映射，从而也不能构成函数；③中的两个对应符合映射的定义，且两个集合均为非空数集，因而能构成函数；④中，当x=0时，y=－1B，即0在B中无象，因而不能构成映射，也就不能构成函数．答案：①③三．理解数学：1．下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？（1）A={P|P是数轴上的点}，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）A={P|P是平面直角体系中的点}，B={（x，y）|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应；（3）A={三角形}，B={x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）A={x|x是新华中学的班级}，B={x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．思考：将（3）中的对应关系f改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f：BA是从集合B到集合A的映射吗？2．已知集合A=R，B={(x,y)|x,y∈R}，f:A→B是从A到B的映射，f:x→(x+1,x2+1)，求A中的元素2在B中的象和B中元素(23,45)在A中的原象．第4页思路分析：将x=2代入对应关系，可求出其在B中对应元素，(23,45)在A中对应的元素可通过列方程组解出．解：将x=2代入对应关系，可求出其在B中的对应元素(2+1，3).可通过列方程组也可求出(23,45)在A中对应的元素为21．【课后提升】1．下列对应是A到B上的映射的是．（1）A=N*,B=N*,f:x→|x－3|；（2）A=N*，B={－1,1,－2}，f:x→(－1)x；（3）A=Z,B=Q,f:x→x3；（4）A=N*，B=R，f:x→x的平方根．答案：（2）2．设f:A→B是集合A到B的映射，下列命题中是真命题的是．（1）A中不同元素必有不同的象；（2）B中每一个元素在A中必有原象；（3）A中每一个元素在B中必有象；（4）B中每一个元素在A中的原象唯一．答案：（3）3．A=Z，B=N*，集合A中的元素x按照对应法则“求绝对值”和集合B中的元素对应．这个对应是不是映射？（不是，0在B中无象）4．已知映射f:A→B，其中集合A={－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B中元素都是A中的元素在映射f下的象，且对任意a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是．答案：45．下面哪一个说法正确？（1）对于任意两个集合A与B，都可以建立一个从集合A到集合B的映射；（2）对于两个无限集合A与B，一定不能建立一个从集合A到集合B的映射；（3）如果集合A中只有一个元素，B为任一非空集合，那么从集合A到集合B只能建立一个映射；（4）如果集合B只有一个元素，A为任一非空集合，则从集合A到集合B只能建立一个映射．答案：只有（4）正确．6．集合A=N，B={m|m=1212nn,n∈N},f:x→y=1212xx，x∈A，y∈B.请计算在f作用下，象119，1311的原象分别是多少．分析：求象119的原象只需解方程1212xx=119求出x即可.同理可求1311的原象.答案：5，67．若f：y=3x+1是从集合A={1,2,3,k}到集合B={4,7,a4,a2+3a}的一个映射，该映射满足B中任何一个元素均有原象，求自然数a、k及集合A、B.第5页答案：a=2,k=5,A={1,2,3,5}B={4,7,10,16}．