幻方的研究

1幻方的研究作者姓名学科专业指导教师培养院系摘要在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。本文主要介绍了幻方的起源、解法与应用。关键词：magicsquare,magicsquaresolution,applicationofmagicsquares.3AbstractInasquareconsistsofseveralrowsofnumbersconsistingofthefigureanyoframpant,alongitudinalandafewnumberofdiagonalandareequal,havingachartofthisnature,knownasthemagicsquare.AncientChinesecalledRiverside,LuoShu,alsocalledaspectmap.Thispaperdescribestheoriginandapplicationsolutionmagicsquare.Keywords:keyword1,keyword2,keyword3,keyword4幻方的起源幻方的起源幻方(magicsquare)起源于《易》，古称九宫（龟文），乃是我国最先发现的一个著名组合算题。《易》算之于九宫，识之以天象，在古代天文、历法、农牧生产与社会生活中具有广泛的应用价值。易十数为体，八九为用，八九不离十。《易》九宫算动态组合模型（包括河图、洛书、八卦）是幻方的通解与最简模型[1]。幻方是一个高深莫测的数学迷宫和高智力游戏，它的重重大门闪似乎由一串串非常复、精密而又变化多端的连圜锁“参伍错综”地锁着的，人们走进去也许并不难，但是要走出来谈何容易。现代幻方组合理论及技术水平虽然达到了相当的高度，但我始终不敢轻言谁已经揭示了幻方谜底。幻方是一个丰蕴的知识宝库。幻方九宫算模型的精髓在于：变、变、变。正可谓“横看成岭侧成峰”。《系辞》曰：“神无方而《易》无体”，这意思是说：九宫算神奇的数理变化不囿于一招一法，其几何形体亦无常于一制一式，因此研究幻方应尽可能采取多种多样的方法。发现新方法是很重要的，但各种方法的具体操作与用法创新、绝技的应用等，有时比方法本身更为重要。不同方法以及方法的不同用法，各种方法合理的交互应用等，必然会产生幻方新的结构与造型。n阶幻方的全部解各有一个幻方群，1至2n自然数列的2n个数在整个幻方群中的变位关系，阶次越大变化就越复杂，它们将遵守精密逻辑、模糊逻辑或非逻辑等等不同规则。《易》九宫学博大精深。汉徐岳在《数术记遗》中已从算学角度称洛书为九宫，南北朝甄鸾注：“九宫者，即二四为肩，六八为足，左三右七，戴九lu一，五居中央。”唐王希《太乙金镜式经》曰：“九宫之义，法以灵龟—此不易之道也”等等。但幻方九宫算的开拓者首当宋大数学家杨辉，他不仅发现了洛书（三阶幻方）的构图口诀，而且还填出了四阶至十阶多幅幻方以及幻圆、幻环等图形。同时，宋丁易东、明程大位、清张潮与方中通等人，也对幻方组合技术做出过重要贡献[2]。幻方九宫算是东方大易文化的瑰宝。自汉唐以来统一的中国繁荣富强，在拓疆、移民、传教、航海与丝路开通等对外经贸与文化交流过程中，幻方古算题飘洋过海，5东传日本，西播欧美。日本人如获至宝，竟把九宫算更名为“大和算”，也填出了不少幻方杰作。西方人则更为之着迷，轰动了整个学界，并称之为有魔力的魔方，名冠“幻方大王”者有之。尔今，炎黄子孙在易学、幻学研究方面理当领先于世界。完全幻方是幻方的稀世珍品，具有最优化组合性质。在浩如烟海的幻方世界中，完全幻方只占其一小部份，而且三阶及2（2k+1）阶（k0）领域内还不存在幻方最优化解[3]，但是完全幻方却代表着高难度的组合技术水平。迄今所知，完全幻方最早的历史遗存：一幅见之于古中国伊斯兰教的传世“玉挂”；另一幅则见之于古印度公元十一世纪刻在神庙前的“石碑”。中印“玉、石”奇方都为四阶完全幻方[4]。幻方的解法幻方的解法幻方按照阶数可分成了三类，即奇数阶幻方、单偶阶幻方、双偶阶幻方。一、奇数阶幻方（罗伯法）所谓奇数阶幻方就是当n不可以被2整除时的奇阶幻方，即2K+1阶幻方。奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法[5]。填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：（1）每一个数放在前一个数的右上一格；（2）如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；（3）如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；（4）如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在底行且最左列；（5）如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。例，用该填法获得的3阶（表1），5阶幻方：816357492表1717241815235714164613202210121921311182529表2二、单偶数阶幻方（斯特拉兹法）所谓单偶阶幻方就是当n不可以被4整除时的偶阶幻方，即4k+2阶幻方。如(n=6，10，14……)的幻方。单偶数阶幻方最经典的填法是斯特拉兹法[6]。填写的方法是：以10阶幻方为例。这时，k=2。（1）把魔方阵分为A，B，C，D四个区域，这样每一个象限肯定是奇数阶。用罗伯法，依次在A区域（红），D区域（黄），B区域（绿），C区域（白）按奇数阶幻方的填法填数（表3）。1724181567745158652571175566幻方的解法34635746461320225456637072101219213606269715311182529616875525992997683904249263340988082899148303239417981889597293138454785879496783537444628869310077843643502734表3（2）在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。A象限的其它行则标出最左边的k格。将这些格，和C象限相对位置上的数互换位置（表4）。1724181567745158652357141673555764664612255677930246302101219213606269715311182529616875525992997683904249263340988082899148303239417981889597293138454785879496783537444628869310077843643502734表4（3）在B象限所有行的中间格，自右向左，标出k－1格。(注：6阶幻方由于k－1=0，所以不用再作B、D象限的数据交换)，将这些格，和D象限相对位置上的数互换位置（表5）。92991815677426586598807141673553264664688952254563870728587192136062447153幻方的解法8693252961685052591724768390424951334023582899148305739417981132097293163454710129496783537694628111810077843643752734表5三、双偶数阶幻方（海尔法）所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在n阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与1的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。如在四阶幻方中，每一对和为4×4+1=17的数，是一对互补数；在五阶幻方中，每一对和为26的数，是一对互补数。双偶数阶幻方最经典的填法是海尔法[6]。填写的方法是：以8阶幻方为例：（1）先把数字按顺序填。然后，按4×4把它分割成4块（表6）1234567891111111110123456171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364表6（2）每个小方阵对角线上的数字（如左上角小方阵部分），换成和它互补的数（表7）。64236160675795554121351501617474620214343244026273736303133323435292838392542244114幻方的解法132459884915145253111056858595462631表7当然，幻方也有其他解法，比如詹森在关于构造幻方的新方法[7]中提出的一些新的解法，等等。这里作者就不一一介绍了。13幻方的应用一、幻方应用于美术设计幻方可大量应用于美术设计，西方建筑学家勃拉东发现幻方的对称性相当丰富，它采用幻方组成许多美丽的图案，他把图案中的那些方阵内的线条称为“魔线”，并应用于轻工业品、封面包装设计中，德国著名版画家A·度勒的作品《忧郁症》中，因有一个能指明制作年代的幻方而闻名于世，艺术美与理性美的和谐组合，往往成为流芳千古的佳作。关于“魔线”图，日本幻方专家阿部乐方也做过许多工作，我国河南安阳一位教师姬广忠，曾研究出各种魔线图，奉献给了中央工艺美术学院。北京丁宝训在《幻方专辑》登载了17幅“魔线图”，都十分漂亮。幻方中数学布局十分对称均衡，又有丰富的变化，因而将其数字按序联起来，可形成一幅幅奇特的“魔方阵构造图”，经彩色处理可获得十分漂亮的美术图案，这种图案在表现出多样的对称美的同时，又有幻方原理的理性规律，因此耐人寻味，堪称天斧之工。二、“洛书”九方图在金融交易中的应用在西方国家虽然没有易学但也有指导相关领域决策的学问，例如，江恩理论就具有易学中的神秘色彩，江恩理论为金融预测领域的三大理论（道氏理论、波浪理论、江恩理论）之一，江恩将天文星相、宗教、哲学、几何学、数字学融为一体，认为金融指数的变化看似纷乱，其实都是十分有序的，以此进行金融交易预测，取得了很大成功。在江恩理论中有诸多几何线和数字方图，其中最重要图形之一就是江恩九九方图，见下图（图1）所示。幻方的应用图1该图出自收费版《江恩商品期货教程》，共六个图。后面的图就是在上图基础上依次加81、162、243、324、405。按照江恩理论，金融、商品期货的重要压力、支撑点位（或日期）均位于中心十字线或对角线上。笔者的九阶九宫格幻方就是江恩九九八十一方图的变形，幻方中的十字、对角线与江恩九九八十一方图没有变化。由于笔者的幻方具有数学分形和简易的可扩展性特点，在分析金融交易和商品期货方面独具特点。九阶幻方、二十七阶幻方、八十一阶幻方可以分析、演绎不同纬度的交易指数趋势。特别是二十七阶幻方为729个数字，恰好能演绎两年的变化周期，这就与时间建立了很好的联系[9]。经实践验证，这些幻方在分析、预测金融、期货指数方面是非常独到的，大家不妨可以验证。15三、幻方对科学的启迪河图可看成是二阶幻方模型，洛书是三阶幻方，由于它们流传甚广，从古到今给人们许多科学的启迪。例如，爱因斯坦的《相对论》，运用了11个公式推算时空相对增减元数，而河洛数对他很有启发。美籍华裔学者焦蔚芳，曾写有洛书矩阵、洛书几何、洛书空间方面的书，对数学的发展起了促进的作用。河南傅熙如运用洛书研究哥德巴赫猜想。我们知道电脑的产生基于自动控制理论，而美国自动控制论的发明人是通过研究中国的“三三迷宫图”(三阶幻方的联线图)突发奇想，做出一系列控制理论的。从这里的资料可看出，现在风靡世界的电脑，挖根寻源竟然跑到了幻方领域里去了。幻方因具有一种自然的属性，虽是数字关系，但往往抽象概括性特强，当人们反复深思以后，就有可能对某个科学理论激发出灵感来，从而推动其发展。在中国的传统文化中，我们能够看到洛书运用于军事、中医、天文、气象、气功等领域的大量资料，说明幻方与各种学科的密切关系是不可忽视的。笔者近来阅读了计算机网络系统，网络拓朴结构共有五种，它们各有优缺点，但当我们思考五阶完美幻方的结