广东省2010年中考数学试题解析

12010年广东省东莞市初中毕业生学业考试数学一、选择题（本大题5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．1．－3的相反数是（）A．3B．31C．－3D．31【分析】相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．从而可得－3的相反数是3【答案】A【涉及知识点】相反数的定义【点评】本题属于基础题，主要考查对相反数的概念的掌握情况．2．下列运算正确的是（）A．abba532B．baba4)2(2C．22))((bababaD．222)(baba【分析】不是同类项不能合并，乘法分配律运用时要将括号外的因式与括号内的各个因式分别相乘，不能漏乘．【答案】C【涉及知识点】同类项，整式的运算，乘法公式．【点评】本题属于基础题，主要考查整式运算中的有关知识，其中同类项要有三个同：所含字母相同，相同字母的指数相同；去括号法则的理论依据是乘法分配律，还有乘法公式的运用要注意区分平方差公式与完全平方公式的区别．对整式基本运算的知识点考查比较全面，信度较高．3．如图，已知∠1＝70°如果CD∥BE，那么∠B的度数为（）A．70°B．100°C．110°D．120°【分析】根据“两直线平行，同位角相等”可得的邻补角与∠B相等，所以∠B＝180°－70°＝110°【答案】C【涉及知识点】平行线性质，邻补角【点评】本题考查了平行线的性质定理，考查知识点单一，属于简单题，信度较高．4．某学习小组7位同学，为玉树地震灾区捐款，捐款金额分别为5元，10元，6元，6元，7元，8元，9元，则这组数据的中位数与众数分别为（）A．6，6B．7，6C．7，8D．6，8ABCDE2【分析】将这组数据从小到大排列后的顺序为：5，6，6，7，8，9，10．数据个数为7个，所以其中位数是其中第四个，即7；其中数据6出现的次数最多，因此众数为6．【答案】B【涉及知识点】中位数，众数【点评】本题考查数据的中位数、众数，属基本概念题，比较简单．只要掌握概念，就可以得分．5．左下图为主视方向的几何体，它的俯视图是（）【分析】根据几何体的摆放，其俯视图应为第四个．【答案】D【涉及知识点】几何体的三视图【点评】本题考查的知识点只有一个，要求考生有一定的空间想象力，属于基础题．二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．6．据新华网上海6月1日电：世博会开园一个月来，客流平稳，累计至当晚19时，参观者已超过8000000人次．试用科学记数法表示8000000＝．【分析】8000000＝8×1000000，1000000＝106，所以8000000＝8×106【答案】8×106【涉及知识点】科学记数法【点评】7．分式方程112xx解x＝．【分析】最简公分母为1x，所以两边同时乘上（1x），得：12xx，解得1x，检验：1x时，01x．所以1x是方程的解．【答案】1x【涉及知识点】分式方程【点评】解分式方程的关键是利用等式的性质去分母，将分式方程转化为一元一次方程，体现了转化的数学思想；解分式方程的另一个注意点是一定要检验，以防产生增根．8．如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，cosB＝54，则AC＝．AＢＣＤ主视方向第5题图A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．3【分析】由∠B＝∠CAD，可得cosCAD＝54ACAD，因为AD＝4，所以AC＝5【答案】5【涉及知识点】解直角三角形【点评】作为每年中考的必考知识点之一，解直角三角形的试题一般难度都不大，以考查基本概念为主，但如果混淆概念的话，将难以得分．9．某市2007年每平方米平均价格的年增长率都为x，试列出关于x的方程：．【分析】根据题意，得2008年的商品房每平方米的平均价格为)1(400040004000xx，2009年的商品房每平方米的平均价格为2)1(4000)1(4000)1(4000xxxx【答案】5760)1(40002x【涉及知识点】一元二次方程解决实际问题【点评】本题主要考查列一元二次方程解决实际问题，属常规题，难度不大．10．如图⑴，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍后得到正方形A2B2C2D2（如图⑵）；以此下去…，则正方形A4B4C4D4的面积为．【分析】AA1＝1，AB1＝2，所以A1B1＝5；A1A2＝5，A1B2＝52，所以A2B2＝5＝55；根据规律可以发现正方形AnBnCnDn的边长为n)5(，所以其面积为nnn5)5(])5[(22【答案】625【涉及知识点】勾股定理，正方形的面积【点评】本题巧妙地将求正方形的面积与勾股定理结合，并采用了规律探索的形式，对考生的思维能力要求较高，难度中等略偏上．ABCDA1B1C1D1第10题图（1）CDA1B1C1D1ABA2B2C2D2第10题图（2）4三、解答题（一）（本大题5小题，每小题6分，共30分）11．计算：01)2(60cos2)21(4．【答案】原式＝2＋2－2×21＋1＝4－1＋1＝4【涉及知识点】实数的运算，特殊角的三角函数值，零指数幂【点评】实数的运算一直是中考中的重要内容，经常与负整数指数幂、零指数幂及绝对值、特殊角的三角形函数值一起组合出题，题目不难，主要考查考生对基本概念的掌握和运算的基本功．12．先化简，再求值：)2(24422xxxxx，其中2x．【答案】原式＝xxxxx1)2(12)2(2；当2x时，原式＝2221【涉及知识点】因式分解，分式的乘除，二次根式的化简【点评】分式的运算总是与因式分解密不可分，本题比较简单，但在求值时应注意先化简这一前提，不能直接将2x代入式子求值；最后的结果也要化为最简二次根式．13．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，Rt△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（－6，1），点B的坐标为（－3，1），点C的坐标为（－3，3）．⑴将Rt△ABC沿x轴正方向平移5个单位得到Rt△A1B1C1，试在图上画出Rt△A1B1C1的图形，并写出点A1的坐标．⑵将原来的Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°得到Rt△A2B2C2，试在图上画出Rt△A2B2C2的图形CBAyx1－110第13题图5【答案】－1O1C2B2A2C1B1A1CBAA1（－1，1）【涉及知识点】平移，旋转，平面直角坐标系【点评】本题在平面直角坐标系中实现图形的平移、旋转，题目比较简单，属送分题．14．如图，PA与⊙O相切于A点，弦AB⊥OP，垂足为C，OP与⊙O相交于D点，已知OA＝2，OP＝4．⑴求∠POA的度数；⑵计算弦AB的长．【分析】⑴由PA是切线可得∠PAO＝90°；由OA＝2，OP＝4得∠APO＝30°，所以∠POA＝60°．⑵根据AB⊥OP得△AOC为直角三角形，又由∠POA＝60°，AO＝2得OC＝１，所以AC＝3；根据垂径定理，有CB＝AC＝3，所以AB＝32【答案】⑴∵PA与⊙O相切于A点∴∠PAO＝90°∵OA＝2，OP＝4∴∠APO＝30°∴∠POA＝60°⑵∵AB⊥OP∴△AOC为直角三角形，AC＝BC∵∠POA＝60°∴∠AOC＝30°ABCDPO第14题图6∵AO＝2∴OC＝１∴在Rt△AOC中，322OCAOAC∴AB＝AC＋BC＝32【涉及知识点】垂径定理，切线的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理【点评】本题属于垂径定理、切线性质的基本运用，综合了直角三角形的相关知识，难度不高，容易上手，只要掌握了基本概念，运算仔细，就可以拿分．15．如图，一次函数y＝kx－1的图象与反比例函数xmy的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（2，1）．⑴试确定k、m的值；⑵求B点的坐标．【分析】⑴把A点坐标分别代入两个函数表达式，就可以解得mk,；⑵将两个解析式联立构成一个方程组，解方程组可得两个坐标，又因为B点在第三象限，所以可以确定B点的坐标．【答案】⑴把点（2，1）分别代入函数解析式得：12112mk，解得21mk⑵根据题意，得xyxy212解得2111yx，1222yx（舍去）所以B点坐标为（－1，－2）【涉及知识点】待定系数法求函数解析式，函数与方程（组）【点评】待定系数法求函数解析式和求函数图象的交点坐标都是历年中考中出现频率相当高的知识点，本题着重考查基本概念、方法的运用，比较简单，稍加注意就可得满分．四、解答题（二）（本大题4小题，每小题7分，共28分）16．分别把带有指针的圆形转盘A、B分成4等分、3等分的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示）．欢欢、乐乐两人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．xy21ABO7⑴试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；⑵请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．【答案】⑴列表：123511235224610336915所以P（奇）＝21126⑵由表格得P（偶）＝21126，所以P（奇）＝P（偶），所以游戏规则对双方是公平的．【涉及知识点】概率【点评】用列表法或树状图求概率是中考中的常见题型，只要掌握求概率的基本方法，一般不会失分，此题较简单．17．已知二次函数cbxxy2的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（－1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）⑴求出b,c的值，并写出此时二次函数的解析式；⑵根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．【答案】⑴根据题意，得：301ccb，解得32cb，所以抛物线的解析式为322xxy⑵令0322xxy，解得3,121xx；根据图象可得当函数值y为正数时，自变量x转盘B转盘A5231321第16题图xy3－1OAB积8的取值范围是－1＜x＜3．【涉及知识点】待定系数法，二次函数，一元二次方程，数形结合思想【点评】本题除了考查待定系数法、方程（组）的解法外还涉及到数形结合这一重要数学[思想，第二小题有一定的难度，相当多的考生可能会列出一个一元二次不等式却无法解决，但利用图象解更直观，更方便．18．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，边结DF．⑴试说明AC＝EF；⑵求证：四边形ADFE是平行四边形．【分析】⑴由等边△ABE得∠ABE＝60°，AB＝BE，由EF⊥AB得∠BFE＝90°，从而可证△ABC≌△EFB，得AC＝EF⑵由等边△ACD得AD＝AC，∠CAD＝60°，所以∠BAD＝90°，则AD∥EF，由AC＝EF得AD＝EF，所以四边形ADFE为平行四边形【答案】⑴∵等边△ABE∴∠ABE＝60°，AB＝BE∵EF⊥AB∴∠BFE＝∠AFE＝90°∵∠BAC＝30°，∠ACB＝90°∴∠ABC＝60°∴∠ABC＝∠ABE，∠ACB＝∠BFE＝90°∴△ABC≌△EFB，∴AC＝EF⑵∵等边△ACD∴AD＝AC，∠CAD＝60°∴∠BAD＝90°，∴AD∥EF∵AC＝EF∴AD＝EF∴四边形ADFE是平行四边形．【涉及知识点】等边三角形，直角三角形，平行四边形的判定【点评】特殊三角形与平行四边形一直是中考的必考内容，此题将两者巧妙地组合，且难度不高，是道好题．19．某学校组织340名师生进行长途考察活动，带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车共10辆．经了解，甲车每辆最多能载40人和16件行李，乙车每辆最多能载30人和20件行李．⑴请你帮助学校设计所有可行的租车方案；ABCDEF9⑵如果甲车的租金为每辆2000元，乙车的租金为每辆1800元，问哪