广东省中考冲刺二次函数压轴题及答案

1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=－32x2+bx+c经过A（0，－4）、B（x1，0）、C（x2，0）三点，且x2-x1=5．（1）求b、c的值；（4分）（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3分）（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分）解：（08广东茂名25题解析）解：（1）解法一：∵抛物线y=－32x2+bx+c经过点A（0，－4），∴c=－4……1分又由题意可知，x1、x2是方程－32x2+bx+c=0的两个根，∴x1+x2=23b，x1x2=－23c=62分由已知得（x2-x1）2=25又（x2-x1）2=（x2+x1）2－4x1x2=49b2－24∴49b2－24=25解得b=±3143分当b=314时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去．∴b=－314．4分解法二：∵x1、x2是方程－32x2+bx+c=0的两个根，即方程2x2－3bx+12=0的两个根．（第25题图）AxyBCO∴x=4969b32b，2分∴x2－x1=2969b2=5，解得b=±3143分（以下与解法一相同．）（2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，5分又∵y=－32x2－314x－4=－32（x+27）2+6256分∴抛物线的顶点（－27，625）即为所求的点D．7分（3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（－6，0），根据菱形的性质，点P必是直线x=-3与抛物线y=－32x2-314x-4的交点，8分∴当x=－3时，y=－32×（－3）2－314×（－3）－4=4，∴在抛物线上存在一点P（－3，4），使得四边形BPOH为菱形．9分四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（－3，3），但这一点不在抛物线上．10分2．如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(－2，－1)，B(0,7)两点．(1)求该抛物线的解析式及对称轴；(2)当x为何值时，y＞0?(3)在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于C、D两点(点C在对称轴的左侧)，过点C、D作x轴的垂线，垂足分别为F、E.当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标．22.解：(1)把A(－2，－1)，B(0,7)两点的坐标代入y＝－x2＋bx＋c，得－4－2b＋c＝－1c＝7，解得b＝2c＝7.所以，该抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋7，又因为y＝－x2＋2x＋7＝－(x－1)2＋8，所以对称轴为直线x＝1.(2)当函数值y＝0时，－x2＋2x＋7＝0的解为x＝1±22，结合图象，容易知道1－22x1＋22时，y0.(3)当矩形CDEF为正方形时，设C点的坐标为(m，n)，则n＝－m2＋2m＋7，即CF＝－m2＋2m＋7.因为C、D两点的纵坐标相等，所以C、D两点关于对称轴x＝1对称，设点D的横坐标为p，则1－m＝p－1，所以p＝2－m，所以CD＝(2－m)－m＝2－2m.因为CD＝CF，所以2－2m＝－m2＋2m＋7，整理，得m2－4m－5＝0，解得m＝－1或5.因为点C在对称轴的左侧，所以m只能取－1.当m＝－1时，n＝－m2＋2m＋7＝－(－1)2＋2×(－1)＋7＝4.于是，点C的坐标为(－1,4)．3如图11，已知抛物线243yxx与x轴交于两点A、B，其顶点为C．(1)对于任意实数m，点M（m，-2）是否在该抛物线上?请说明理由；(2)求证:△ABC是等腰直角三角形；(3)已知点D在x轴上，那么在抛物线上是否存在点P，使得以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1122．解：（1）假如点M（m，-2）在该抛物线上，则-2=m2-4m+3,m2-4m+5=0,由于△=（-4）2-4×1×5=-4＜0，此方程无实数解，所以点M（m，-2）不会在该抛物线上；（2）当y=0时，x2-4x+3=0,x1=1,x2=3,由于点A在点B左侧，∴A(1,0),B(3,0)y=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴顶点C的坐标是（2，-1），由勾股定理得，AC=2,BC=2,AB=2，∵AC2+BC2=AB2,∴△ABC是等腰直角三角形；(3)存在这样的点P.根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此连接点P与点C的线段应被x轴平分，∴点P的纵坐标是1，∵点P在抛物线y=x2-4x+3上，∴当y=1时，即x2-4x+3=1，解得x1=2-2,x2=2+2,∴点P的坐标是（2-2，1）或（2+2，1）.4如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点Ａ(0，4)，B(1，0)，C（5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（3分）（2）设点P为抛物线（5x）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；（2分）（3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．（3分）25、解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为)5)(1(xxay，············1分把点A（0，4）代入上式得：54a，∴y516)3(54452454)5)(1(5422xxxxx，···········2分∴抛物线的对称轴是：3x．························3分（2）由已知，可求得P（6，4）．··················5分第25题图提示：由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，又知点P的坐标中5x，所以，MP2,AP2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，在Rt△AOM中，5342222OMOAAM，因为抛物线对称轴过点M，所以在抛物线5x的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，即P（6，4）．···································5分⑶法一：在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N)452454,(2ttt（)50t，过点N作NG∥y轴交AC于G；由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：454xy；把tx代入得：454ty，则G)454,(tt，此时：NG=454t-（4524542tt），=tt520542．····················７分∴225)25(21025)52054(2121222tttttOCNGSACN∴当25t时，△CAN面积的最大值为225，由25t，得：34524542tty，∴N（25，-3）．········8分5.如图9，抛物线y＝(x＋1)2＋k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0，－3)．（1）求抛物线的对称轴及k的值；（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA＋PC的值最小，求此时点P的坐标；（3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限．①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标；xyOCABPxyOCABM②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标．【答案】（1）抛物线的对称轴为直线x＝－1，把C(0，－3)代入y＝(x＋1)2＋k得－3＝1＋k∴k＝－4（2）连结AC，交对称轴于点P∵y＝(x＋1)2－4令y＝0可得(x＋1)2－4＝0∴x1＝1x2＝－3∴A(－3，0)B(1，0)设直线AC的关系式为：y＝mx＋b把A(－3，0)，C(0，－3)代入y＝mx＋b得，－3m＋b＝0b＝－3∴m＝－1∴线AC的关系式为y＝－x－3当x＝－1时，y＝1－3＝－2∴P(－1，－2)②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标．（3）①设M的坐标为（x,(x＋1)2－4）∴S△AMB＝12×AB×｜ym｜＝12×4×[4－(x＋1)2]＝8－2(x＋1)2当x＝－1时，S最大，最大值为S＝8M的坐标为(－1，－4)②过M作x轴的垂线交于点E，连接OM，S四边形AMCB＝S△AMO＋S△CMO＋S△CBO＝12×AB×|ym|＋12×CO×|xm|＋12×OC×BO＝6－32(x＋1)2＋12×3×(－x)＋12×3×1＝－32x2－92x＋6＝－32（x2＋3x－9）＝－32（x＋32）2－818当x＝－32时，S最大，最大值为818xyOCAB