您好,欢迎访问三七文档
当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 资本运营 > 广州高中数学奥赛班专题资料-由数列的递推公式求通项公式
由数列的递推公式求通项公式一准备知识所谓数列,简单地说就是有规律的(有限或无限多个)数构成的一列数,常记作{an},an的公式叫做数列的通项公式.常用的数列有等差数列和等比数列.等差数列等比数列定义数列{an}的后一项与前一项的差an-an-1为常数d数列{an}的后一项与前一项的比1nnaa为常数q(q≠0)专有名词d为公差q为公比通项公式an=a1+(n-1)dan=a1·qn-1前n项和Sn=22)1(11naadnnnanSn=qqan111数列的前n项和Sn与通项公式an的关系是:an=Sn-Sn-1(n≥2).有些数列不是用通项公式给出,而是用an与其前一项或前几项的关系来给出的,例如:an+1=2an+3,这样的公式称为数列的递推公式.由数列的递推公式我们可以求出其通项公式.数列问题中一个很重要的思想是把数列的通项公式或递推公式变形,然后将它看成新数列(通常是等差或等比数列)的通项公式或递推公式,最后用新数列的性质解决问题.二例题精讲例1.(裂项求和)求Sn=222222)12()12(853283118nnn.解:因为an=22)12()12(8nnn=22)12(1)12(1nn所以Sn=222222)12(1)12(151313111nn=1-2)12(1n例2.(倒数法)已知数列{an}中,a1=53,an+1=12nnaa,求{an}的通项公式.解:211211nnnnaaaa∴na1是以35为首项,公差为2的等差数列,即351na+2(n-1)=316n∴an=163n练习1.已知数列{an}中,a1=1,Sn=1211nnSS,求{an}的通项公式.解:21121111nnnnSSSS∴nS1是以1为首项,公差为2的等差数列.∴nS1=1+2(n-1)=2n-1,即Sn=121n.∴an=Sn-Sn-1=321121nn=)32)(12(2nn∴an=3211211nn)2()1(nn例3.(求和法,利用公式an=Sn-Sn-1,n≥2)已知正数数列{an}的前n项和Sn=nnaa121,求{an}的通项公式.解:S1=a1=11121aa,所以a1=1.∵an=Sn-Sn-1∴2Sn=Sn-Sn-1+11nnSS∴Sn+Sn-1=11nnSS,即Sn2-Sn-12=1∴2nS是以1为首项,公差为1的等差数列.∴Sn2=n,即Sn=n∴an=Sn-Sn-1=n-1n(n≥2)∴an=n-1n.例4.(叠加法)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn-Sn-2=3×(-21)n-1(n≥3),且S1=1,S2=-23,求{an}的通项公式.解:先考虑偶数项有:S2n-S2n-2=-3·1221nS2n-2-S2n-4=-3·3221n……S4-S2=-3·321将以上各式叠加得S2n-S2=-3×4114112113n,所以S2n=-2+)1(2112nn.再考虑奇数项有:S2n+1-S2n-1=3·n221S2n-1-S2n-3=3·2221n……S3-S1=3·221将以上各式叠加得S2n+1=2-)1(212nn.所以a2n+1=S2n+1-S2n=4-3×n221,a2n=S2n-S2n-1=-4+3×1221n.综上所述an=为偶数,为奇数nnnn112134,2134,即an=(-1)n-1·12134n.例5.(an+1=pan+r类型数列)在数列{an}中,an+1=2an-3,a1=5,求{an}的通项公式.解:∵an+1-3=2(an-3)∴{an-3}是以2为首项,公比为2的等比数列.∴an-3=2n∴an=2n+3.练习2.在数列{an}中,a1=2,且an+1=212na,求{an}的通项公式.解:an+12=21an2+21∴an+12-1=21(an2-1)∴{an+12-1}是以3为首项,公比为21的等差数列.∴an+12-1=3×121n,即an=1231n例6(an+1=pan+f(n)类型)已知数列{an}中,a1=1,且an=an-1+3n-1,求{an}的通项公式.解:(待定系数法)设an+p·3n=an-1+p·3n-1则an=an-1-2p·3n-1,与an=an-1+3n-1比较可知p=-21.所以23nna是常数列,且a1-23=-21.所以23nna=-21,即an=213n.练习3.已知数列{an}满足Sn+an=2n+1,其中Sn是{an}的前n项和,求{an}的通项公式.解:∵an=Sn-Sn-1∴Sn+Sn-Sn-1=2n+1∴2Sn=Sn-1+2n+1(待定系数法)设2(Sn+pn+q)=Sn-1+p(n-1)+q化简得:-pn-p-q=2n+1,所以12qpp,即12qp∴2(Sn-2n+1)=Sn-2(n-1)+1,又∵S1+a1=2+1=3,∴S1=23,S1-2+1=21∴{Sn-2n+1}是以21为公比,以21为首项的等比数列.∴Sn-2n+1=n21,即Sn=n21+2n-1,an=2n+1-Sn=2-n21.例7.(an+1=panr型)(2005年江西高考题)已知数列{an}各项为正数,且满足a1=1,an+1=)4(21nnaa.(1)求证:anan+12;(2)求{an}的通项公式.解:(1)略.(2)an+1=-21(an-2)2+2∴an+1-2=-21(an-2)2∴2-an+1=21(2-an)2∴由(1)知2-an0,所以log2(2-an+1)=log221(2-an)2=2·log2(2-an)-1∴log2(2-an+1)-1=2[log2(2-an)-1]即{log2(2-an)-1}是以―1为首项,公比为2的等比数列∴log2(2-an)-1=-1×2n-1化简得an=2-1212n.练习4.(2006年广州二模)已知函数4444(1)(1)()(1)(1)xxfxxx(0x).在数列{}na中,12a,1()nnafa(nN),求数列{}na的通项公式.解:4444114441(1)(1)1(1)1(1)(1)1(1)1nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaa,从而有1111ln4ln11nnnnaaaa,由此及111lnln301aa知:数列1ln1nnaa是首项为ln3,公比为4的等比数列,故有11141441131ln4ln331131nnnnnnnnnaaaaa(nN)。例8.(三角代换类型)已知数列{an}中,a1=2,an=1111nnaa,求{an}的通项公式.解:令an-1=tan,则an+1=tan4tan1tan4tan=tan4∴an=tan2tan4)1(atcn.
本文标题:广州高中数学奥赛班专题资料-由数列的递推公式求通项公式
链接地址:https://www.777doc.com/doc-2498165 .html