广工10高数A试卷及答案

广东工业大学试卷用纸，共7页，第1页学院：专业：学号：姓名：装订线广东工业大学考试试卷(A卷)课程名称:高等数学A（2）试卷满分100分考试时间:2010年07月5日(第十九周星期一)题号一二三四五六七八九十总分评卷得分评卷签名复核得分复核签名一，填空题：（每小题4分，共20分）1.设,3,4ba且两向量的夹角32，则（ba23）（ba32）=___________2.曲面zxzyyzx823222上点（1,2，-1）处的法线方程为___________3.交换下列积分次序：dyyxfdxdyyxfdxxx2120010),(),(___________4.为圆柱面122yx介于z=0和z=1之间部分，则dSx)1(=___________5.设f(x)是周期为4的周期函数，它在区间(-2,2]上定义为2002,,2{)(3xxxxf，则f(x)的傅里叶数在x=2处收敛于___________二，选择题：（每小题4分，共20分）1.级数12sinnnn的收敛性为（）A绝对收敛B条件收敛C发散D敛散性不能确定广东工业大学试卷用纸，共7页，第2页2.设Ω未平面x+y+z=1与三个坐标面所围成的空间区域，则dV=（）A31B21C61D413.设f(x,y)在点（a,b）处偏导数存在，则xbxafbxafx),(),(lim0=（）A0B),2(bafxC),(bafxD2),(bafx4.平面x+2y+z=1与直线131{zyxzyx的关系是（）A平行且在平面外B垂直C相交但不垂直D平行且在平面内5.函数f（x,y,z）=z-2在124222zyx条件下的极大值是（）A1B0C-1D-2三、（6分）求直线02201{zyxzyx与平面x-2y+3z-3=0间夹角的正弦。四、（8分）设),(yxxfz，其中f具有二阶连续偏导数，求yxz2。五、（8分）计算二重积分dxdyyxD2，其中D={),(yx|10,10yx}。六、（8分）计算Lxdyydx，L是从点A（-1,1）沿1)1(22yx的上半圆到点B（1,1）的一段弧。七、（8分）求球面1222222zyx上一点，使函数f(x,y,z)=222zyx在该点处沿A（3,3,4）到B(4,5,6)方向的方向导数最大，并求出最大方向导数。八、（8分）计算三重积分zdvI，其中是锥面22yxz和球面221yxz所围成的空间区域。九、（8分）求幂函数nxnnn11)1(的收敛域与和函数，并求nnnn21)1(11的和。十、（6分）三维空间内任意光滑有向闭曲面都有：0),(ydzdxxydydzdxdyyxzfx，已知f(x,y)具有二阶连续偏导，其中8)0,0(,),(fxyxfy。计算}1|),{(,),(22)(22yxyxDdxdyeyxfDyx。广东工业大学试卷用纸，共7页，第3页广东工业大学试卷参考答案及评分标准(A)课程名称:高等数学A(2)。考试时间:2010年7月5日(第19周星期一)一、填空题：（4分×5＝20分）1、12；2、12161114xyz；3、120(,)yydyfxydx；4、2；5、5；二、选择题：（4分×5＝20分）1、A2、C3、D4、D5、A三、（6分）求直线02201zyxzyx与平面0332zyx间夹角正弦。解：直线的方向向量},2,3,1{21111121kjinnS…………………………2分平面的法向量}3,2,1{n设直线与平面的夹角为，则||||)2cos(sinnSnS……………………………………5分1411414)2(3)3()2(11…………………………6分四、（8分）设),(yxxfz，其中f具有二阶连续偏导数，求2zxy．解:'2'11fyfxz．…………………………………………………………4分广东工业大学试卷用纸，共7页，第4页''223'22''122''222'22''1222111fyxfyfyxfyxyfyfyxyxz…………8分广东工业大学试卷用纸，共7页，第5页五、（8分）计算二重积分2Dxydxdy，其中10,10),(yxyxD。解：2Dxydxdy=21()Dyxdxdy+22()Dxydxdy}1,10|),{(},0,10|),{(2221xyyyxDyxyyxD……1分1012)()(1041002221dyydxxydydxdyxyyD……………………………4分154)221()()(10421012222dyyydxyxdydxdyyxyD………………7分所以2Dxydxdy＝103154101.……………………………………………8分注：本题也可以用X型来做，评分标准与上面一样。六、（8分）解：由Lxdyydx，xQyP,，yPxQ1,1.………………2分利用格林公式补充直线段BA:)11(,1－：xy,BAL和围成的区域记为D；Lxdyydx=BALBAxdyydxxdyydx11)(dxdxdyyPxQD………………………………6分22Ddxdy（二重积分即为半圆的面积）2222……………………………………8分注：本题也可以直接用代入法来计算，酌情评分。广东工业大学试卷用纸，共7页，第6页七、（8分）解：设0000(,,)Mxyz为所求点，则2220002221xyz．（1）由于函数在一点处沿梯度方向的方向导数最大，而00002,2,2Mfxyzgrad，因此，要求0Mfgrad与(1,2,2)AB同向，即0t，使0002,2,21,2,2xyztAB=t．……………………………3分由此可得，000,,2txytzt，代入（1），解之得23t．因此，所求点为0222(,,)633M，……………………………………6分函数在该点的最大方向导数为：022200022Mfxyzgrad．…8分八、（8分）解法1：采用截面法．zdvI122)(220)(21zDzDdxdyzdzdxdyzdz……………………………6分21222202(1).8zzdzzzdz…………………………8分解法2：利用柱面坐标法：2221200rrIzdvdrdrzdz………………………………6分=222012(12)28rrdr……………………………………8分解法3利用球面坐标．zdvI2040102sincosdrrrdd………………………………6分40sincos412d8……………………………………8分广东工业大学试卷用纸，共7页，第7页九、（8分）求幂级数nxnnn11)1(的收敛域与和函数，并求nnnn21)1(11的和。解：先求收敛半径|11)1(||1)1(|lim1nnRnnn＝1当1x时，发散；当1x时，收敛。所以收敛域]1,1(……………2分设nxxSnnn11)1()(两边求导得：xxxSnnn11)1()(111'，11x；)1ln(11)(0xdxxxSx；其中11x…………………………6分nnnn21)1(11)21(S＝23ln…………………………………………8分十、（6分）解：不失一般性，假设曲面取外侧，设所围成的立体为，根据高斯公式，有(,)xzfxydxdyxydydzydzdx((,)1)xfxyydv0，由的任意性，知(,)10xfxyy，即(,)()fxyxxyy，又根据(,)yfxyx．所以有'()0y；即()Cy;所以(,)Cfxyxxy又(0,0)8f,故C8，于是(,)8fxyxxy……………………4分22()D(,)xyfxyedxdy22()D=(8)xyxxyedxdy22()D=8xyedxdy2D=8rerdrd221008rdredr8(1)e………………6分