定价理论-第3章__资产组合理论

第3章资产组合理论资产组合理论是金融发展史上第一个获得诺贝尔经济学奖的金融理论．这个理论是由美国金融学家马克维茨(1952年)最早提出的．它通过将影响投资决策的众多因素简化为风险和收益两个重要因素，求解了在风险一定的条件下预期收益率最大化问题，或者在预期收益率一定的条件下风险最小化问题．在同时满足上述两条件下，投资者就可以根据自己的风险偏好选择适合自己的资产组合．在本章，我们从介绍资产组合理论相关知识出发，分别介绍标准均值-方差模型和存在无风险资产的均值-方差模型，并给出相应的程序．§3.1资产组合的风险与收益3.1.1金融风险定义及种类金融风险是指金融变量的各种可能值偏离其期望值的可能性及幅度．金融风险不仅包含损失的一面，还包含盈利的一面．一般来说，金融风险大的资产其收益率比风险小的资产的收益率高，故有收益与风险相当的说法．金融风险一般可分为市场风险(marketrisk)、流动性风险(liquidrisk)、信用风险(creditrisk)、运营风险(operationalrisk)和法律风险(1egalrisk)等．市场风险是指由于金融资产价格（包括利率、汇率、股票价格、债券价格、衍生证券价格等)波动所引起的未来损失的可能性．信用风险又称违约风险，是指交易对象不能或者不愿履行合同约定条款而带来损失的可能件．信用风险还包括由于债务人信用评级降低，致使其债务的市场价格下降而造成的损失．所以，信用风险的大小主要取决于交易对象的财务状况和风险状况．流动性风险是指对所持金融资产进行变现以及对金融交易的余额进行清算时所产生的风险．金融资产变现和金融交易清算的难易程度，称为流动性．变现和金融清算容易称流动性高；反之。则称流动性低．运营风险是指出于金融机构的交易系统不完善、管理失误、控制失误、诈骗或者其他一些人为图素而导致的潜在损失．法律风险是指在金融交易中出合同不健全、法律解释的差异以及交易对象是否具备正当的法律行为能力等法律方面的因素所形成的风险．在资产组合理论中，一般将风险分为系统风险和非系统风险．系统风险是指由影响整个金融市场的风险出素所引起的、不能通过分散投资相互抵消或者削弱的风险．非系统风险是指一种与特定公司或者行业相关的风险，是可以通过分散投资抵消或者削弱的风险．3.1.2单个证券风险与收益的度量度量风险与收益的方法很多，在资产组合理论中用期望度量收益，用标准差或者方差度量风险．1．两种计算收益率的数学表达式对于单个证券，其收益率的实际值为（离散）1tt1tttPDPPR(3.1.1)或者可表示为（连续）1ttttPDPlnR（3.1.2）式中各符号的含义如下：tR：第t期的收益率；tP：第t期的证券价格；1tP：第1t期的证券价格；tD：第t期的红利或者利息收人．在上述两公式中，前者是单利收益率，后者是复利收益率，两者的数值相差一个高阶无穷小，即1tt1tt1tt1tt1tt1tt1tt1tt1ttttPDPPPDPPoPDPPPDPP1lnPDPlnR其中(.)o表示高阶无穷小量‘2．证券收益和风险的度量一般来说，证券的收益是不能预先知道的．投资者只能估计各种可能发生的结果以及每一种结果发生的概率，所以证券的收益通常用收益率的期望值E(R)表示：n1iiipR)R(E（3.1.3）其中)n,...,2,1i(Ri表示有可能出现的收益率，ip表示获得收益率iR的概率，它反映了投资者对未来收益水平的总体预期，称为预期收益率．显然，未来实际收益率与预期收益率是有偏差她如果投资者以预期收益率为依据进行决策．就有实现不了预期收益率的可能．这种未来实际收益率与预期收益率的偏离，就是收益率的方差或标准差，即in1i2iin1i2i2p))R(ER(,p))R(ER(（3.1.4）一般来说，方差或标准差越大，风险也就越大．因此，有时，我们直接把方差或者标准差叫做风险．3．预期收益率和方差的估计假设收益率分布不变，则实际收益率为来自同一分布的抽样样本，故可以用样本均值和样本方差来估计预期收益率和方差．我们假没有一组收益率的时间序列数据)n,...,2,1t(Rt，则预期收益率和方差分别由下面两式估计：n1ttRn1R（3.1.5）n1t2t2)RR(1n1（3.1.6）一般来说，认为收益率分布长时间保持不变是不合理的，所以在实际估计预期收益率和方差的时候，要做适当的调整．例如，将算术平均值改为加权平均值，让离现在较近时间的权重大，离现在较远时间的权重小．分析：式(3．1．5)和式(3．1．6)包含“-(减)、“／(除)”与累计求和运算，故可参照相关程序来实现．注意：在函数体中使用for语句实现循环计算的时候，循环次数多少要根据具体情况而定．程序3．1．1样本均值和方差．dm止比吩er明e＜c犯改ve吐or＜他处)江d改乙加加水s，con5tv凹tor＜加uble)良叔1t顺日)v既切＜如此1e)胆eld＜掀1t切essi2e())intll此此1es皿＝D．Oifor(i；16Xdit乙t如s。s12e()li十十)yieldLLl：(曲t又加。皿tsLi]—dab—删ntsLl—11)／此1驯咖tsrls皿十＝件eU[L163．1．3证券之间的关联性一般来说，证券之间普遍存在着一定的关联性．一种证券价格的变化经常引起另外一种证券价格的变化，因而这种关联性证券组合的风险和收益的计算要比单个证券复杂得多．1．证券之间关联性的度量-协方差和相关系数资产组合理论在描述证券之间的关联性时使用了统计学中的协方差和相关系数的知识．证券A和证券B的协方差为m1in1jBBiAAiBA))R(ER))(R(ER()R,Rcov((3.1.7)协方差度量了两个证券之间的协同变化．然而,应该注意的是，协方差的大小并不能直接反应证券之间的关联关系．为了度量关联程度，需对上面的协方差进行标准化．这种经过标准化后的协方差就是两个证券之间的相关系数AB，即BABAAB)R,Rcov(（3.1.8）式中A为证券A价格的标准差，B为证券B价格的标准差．2．证券之间的协方差和相关系数的估计假设两种证券之间的相关系数保持不变，则可由历史数据估算协方差和相关系数．由统计学的知识，证券A和证券B之间收益率协方差和相关系数可由样本协方差和样本相关系数估，即n1iBBiAAiBA)RR)(RR(1n1)R,Rcov(（3.1.9）BABAAB)R,Rcov(（3.1.10）式中AiR和BiR分别为证券A和证券B的收益率在时间i的实际值(样本值)．相关系数AB取值范围在-1和+l之间，至于相关系数对资产组合风险到底有什么影响，后面将专门进行介绍．3．1．4资产组合风险与收益的度量1．两证券组合收益的度量假设有A和B两个证券，对它们的投资比例分别为Aw和Bw，1wwBA，期末两证劵的收益率分别是AR和BR，则该资产组合的收益率为BBAAPRwRwR（3.1.11）式中Aw和Bw可以大于零，也可以小于零．例如，当Aw小于零时，则表示组合投资者卖空该证券A，并将所得收益连同原有资金买入证券B．AR和BR是随机变量，它们的预期收益率是)R(EA和)R(EB，则资产组合的预期收益率为)R(Ew)R(Ew)R(EBBAAp（3.1.12）2．两证券组合风险的度量两证券组合收益率的方差除了与证券A和证券B的期望收益率和收益率方基石关之外，还与两证券之间收益率的协方差cov(RA，RB)或相关系数Pu有关，即5资产组合与风险分散由式(3．1．16)可知，资产组合的风险不仅取决于每个证券自身的风险，还取决于证券之间的关联性(用协方差或者相关系数表示)．在两只证券构成的资产组合中，资产组合的风险为211221222221212pww2ww其中相关系数12的取值在-l和+1之间．当01时，通过组合投资可以降低风险；当1012时，通过资产组合不能分散风险．因此，要分散风险，必须保证组合中的证券负相关．通过选择负相关证券可以分散的风险是非系统风险．从理论上讲，当资产组合中包含了足够多的相关系数为负的证券时，非系统风险可以消除掉．如图3．1．1所示，坐标的横轴表示资产组合中资产的数目，纵轴表示资产组合风险．资产组合的总风险等于系统风险加上非系统风险．当资产组合中负相关性资产达到一定数量之后，非系统风险趋近于零，剩下的仅仅是系统风险．§3.2均值-方差模型的相关概念均值-方差模型包括标准均值-方差模型及其拓展模型．这些模型是本章以后几节将要介绍的主要内容．本节仅介绍均值-方差模型中将要用到的一些概念，包括资产组合的可行集、资产组合的有效集、最优资产组合等．3．2．1资产组合的可行集满足约束条件的组合策略称为可行的，在投资策略空间上对应的点称为可行点，对应的区域称为可行域。每个可行的组合策略都对应一个组合收益率和方差，即在收益-方差平面上对应一个点。为便于直观分析，以下在M-V平面上讨论组合策略。选择每个证券的投资比例，就确定了一个资产组合，在预期收益率)R(Ep与方差p构成的坐标平面pp)R(E上就确定了一个点．因此，每个资产组合对应着pp)R(E坐标平面上的一个点；反之，pp)R(E坐标平面上某个区域内的的一个点对应着某个特定的资产组合．如果投资者选择了所有可能的投资比例，则这些众多的资产组合点将在pp)R(E坐标平面上构成一个区域．这个区域称为资产组合的可行集或可行域．简而言之，可行集是实际投资中所有可能的集合．也就是说，所有可能的组合将位于可行集的边界和内部．一般来说，可行集的形状像伞形（组合策略空间上的约束一般为线性约束，在M-V空间上表示为抛物线，收益-标准差平面上为双曲线）如图3．2．1中曲线所包围的区域ANBH．实际上，由于各种证券特性的千差万别，可行集的位置可能比图3．2．1更左、更右、更高、更低，但是它们的基本形状大致如此．1．有效边界的定义对于一个理性的投资者，他们都是厌恶风险而偏好收益的．在一定的收益下，他们将选择风险最小的资产组合；在一定的风险下，他们将选择收益最大的资产组合．同时满足这两个条件的资产组合的集合就是有效集，又称有效边界．位于有效边界上的资产组合为有效组合.2．有效集的位置有效集是可行集的一个子集．它是图3.2.1中介于N,B两点之间的可行集的上方边界上．这是因为，在图3．2.1中，如果过N点画一垂直线，则可行集都在这条线的右边．N点所代表的组合称为全局最小方差组合．这条垂线离开N点向右移动，满足风险一定、收益最大的只能是N、H两点上方边界上的组合．同样，过A点做平行于横轴的直线并向上平行移动，满足收益一定，风险最小的只能是A、B两点左边边界上的组合．同时满足上述两条件的组合只能是介于N、B两点之间的可行集的上方边界．3.2.3最优资产组合的确定在确定了有效集的形状之后，投资者就可以根据自己的无差异曲线选择效用最大化的资产组合．这个最优资产组合位于无差异曲线与有效集的相切点．如图3．2．2所示，321U,U,U分别代表三条无差异曲线，它们的特点是下凸，其中1U的效用水平最高，2U次之，3U最低．虽然投资者更加偏好于1U，但是在可行集中找不到这样的组合，因而是不可能实现的．3U上的组合虽然可以找到，但是由于3U所代表的效用低于2U，所以3U上的组合都不是最优资产组合．2U正好与有效边界相切，代表了可以实现的最高投资效用，因此P点所代表的组合就是最优资产组合．§3.3均值-方差模型标准均值-方差模型是标准的资产组合理论模型，也就是马克维茨最初构建的模型．它讨论的是理性投资者如何在投资收益和风险两者之间进行权衡，以获得最优回报问题．这个问题是一个二次规划问题，分为等式约束和非等式约束两种．在本节，我们仅讨论等式约束下的资产组合优化问题‘3．3．1标准均值-方差模型的求解在介