定积分在经济中的应用习题解答

定积分在经济中得应用习题解答1．设商品的需求函数1005Qp（其中：Q为需求，p为单价）、边际成本函数150.05CQQ且012.5C问：当p为什么值时？工厂的利润达到最大？试求出最大利润.解收益函数为R(p)=100p-5p2成本函数为0()(150.05)(0)QCQtdtC211512.540QQ由已知将Q=100-5p代入上式，得25()501262.58Cppp于是利润函数为L(P)=R(p)-C(p)2451501262.58pp令245'15004Lp12012045120,'()07727pL得且故当1207p时利润达到最大，且最大利润maxL(1207)=23.12.2.某厂生产的某一产品的边际成本函数231833CQQQ且当产量为3个单位时，成本为55个单位，求：(1)成本函数与平均成本函数；(2)当产量由2个单位增加到10个单位时，成本的增量是多少？解(1)因为20()(31833)QCQQQdQ32933QQQC由已知当产量Q为3时，成本为55，代入上式得C=10,于是成本函数为32()93310CQQQQ平均成本函数为2()10()933CQCQQQQQ(2)当产量由2个单位增至10个单位时，成本的增量是C(Q)=C(10)–C(2)=392.3.已知生产某产品的固定成本为6万元，边际收益与边际成本（单位:万元/百台）分别为'()338RQQ，2()31836CQQQ(1)求当产量由1百台增加到4百台时，总收益与总成本各增加多少？(2)求产量为多少时,总利润最大？(3)求最大总利润时的总收益、总成本、总利润.解(1)由公式得总收益与总成本的增量为41(338)39QdQ(万元)421(31836)36QQdQ(万元)(2)由极值存在的必要条件：边际收益'()RQ＝边际成本()CQ即338Q＝231836QQ解得121,33QQ，又由极值存在的充分条件：()(338)'8RQQ,2()(31836)'618CQQQQ显然，3Q满足充分条件，即获得最大总利润的产量是3Q百台.(3)由公式得最大总利润总收益与总成本30(338)63QdQ(万元)320(31836)60QQdQ(万元)所以最大总利润＝总收益－总成本＝63－60＝3(万元).